수술 (수학)

미분위상수학에서 수술(手術, 영어: surgery 서저리^[*])은 다양체 속의 원기둥을 도려내고 그 자리에 다른 모양의 원기둥을 붙여 전체의 위상을 바꾸는 연산이다. 수술은 고차원 (5차원 이상) 다양체의 연구에 매우 중요한 역할을 하며, 그 이론을 수술 이론(手術理論, 영어: surgery theory)이라고 한다.

원에 0-수술을 가하면 하나의 원 또는 두 개의 원으로 만들 수 있다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• ${\displaystyle p+q}$차원 다양체 ${\displaystyle M}$
• 연속인 매장 ${\displaystyle \phi \colon \mathbb {S} ^{p}\times \mathbb {D} ^{q}\hookrightarrow M}$

여기서 ${\displaystyle \mathbb {S} ^{p}}$는 ${\displaystyle p}$차원 초구이며 ${\displaystyle \mathbb {D} ^{q}}$는 ${\displaystyle q}$차원 닫힌 공이다. 이 때 ${\displaystyle \phi }$의 상에 해당하는 ${\displaystyle M}$의 부분다양체 ${\displaystyle N:=\operatorname {im} \phi }$의 경계는 ${\displaystyle \mathbb {D} ^{p+1}\times \mathbb {S} ^{q-1}}$의 경계와 같다.

${\displaystyle \partial (N)\simeq \partial (\mathbb {S} ^{p}\times \mathbb {D} ^{q})\simeq \mathbb {S} ^{p}\times \mathbb {S} ^{q-1}\simeq \partial (\mathbb {D} ^{p+1}\times \mathbb {S} ^{q-1})}$

그러므로 ${\displaystyle N}$을 도려내고 그 자리에 ${\displaystyle (\mathbb {D} ^{p+1}\times \mathbb {S} ^{q-1})}$를 채워넣어 새로운 ${\displaystyle p+q}$차원 다양체 ${\displaystyle M'}$을 만들 수 있다.

${\displaystyle M':=\left(M\setminus N\right)\cup _{\partial (N)}\left(\mathbb {D} ^{p+1}\times \mathbb {S} ^{q-1}\right)}$

이와 같은 과정을 ${\displaystyle p}$-수술이라고 한다.

만약 ${\displaystyle M}$이 매끄러운 다양체일 경우, 수술한 자리 주변에 매끄럽게 하는 작업(smoothing)을 가해서 ${\displaystyle M'}$이 매끄러운 구조를 가지도록 만들 수 있다. 조각적 선형 다양체일 경우에도 비슷한 작업이 가능하다.

예

원 위의 수술

원 위에서 0-수술을 다음과 같이 가하자.

즉, 원 속에서 ${\displaystyle \mathbb {S} ^{0}\times \mathbb {D} ^{1}}$을 도려내고, 그 속에 다른 방향으로 ${\displaystyle \mathbb {D} ^{1}\times \mathbb {S} ^{0}}$를 이어붙인다. 이 경우, 수술의 방향에 따라 두 가지가 존재하는데, 하나는 한 개의 원, 다른 하나는 두 개의 원을 얻는다.

구 위의 수술

구 ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}}$ 위에 1-수술을 가한다면, 두 개의 구를 얻는다.

구 ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}}$ 위에 0-수술을 가하자. 이 경우, ${\displaystyle \mathbb {S} ^{0}\times \mathbb {D} ^{2}\cong \mathbb {D} ^{2}\sqcup \mathbb {D} ^{2}}$를 도려내면 원기둥 ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {D} ^{1}}$을 얻으며, 여기에 ${\displaystyle \mathbb {D} ^{1}\times \mathbb {S} ^{1}}$을 이어붙인다면 이는 방향에 따라 원환면 ${\displaystyle \mathbb {T} ^{2}=\mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {S} ^{1}}$ 또는 클라인 병을 얻는다.

모스 함수

 이 부분의 본문은 모스 이론입니다.

${\displaystyle n+1}$차원 매끄러운 다양체 ${\displaystyle M}$ 위의 모스 함수 ${\displaystyle f}$의 임곗값 ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$이 정확히 하나의 임계점 ${\displaystyle x\in M}$에 대응한다고 하고, ${\displaystyle x}$의 모스 지표가 ${\displaystyle p+1}$이라고 하자. 모스 이론에 따르면 이 때 충분히 작은 ${\displaystyle \epsilon \in \mathbb {R} ^{+}}$에 대하여 다양체 ${\displaystyle f^{-1}(c-\epsilon )}$를 ${\displaystyle f^{-1}(c+\epsilon )}$에 ${\displaystyle p}$-수술을 가하여 얻을 수 있다.

참고 문헌

• Browder, William (1972). 《Surgery on simply-connected manifolds》 (영어). Berlin, New York: Springer-Verlag. MR 0358813.
• Ranicki, Andrew (2002). 《Algebraic and Geometric Surgery》. Oxford Mathematical Monographs, Clarendon Press (영어). ISBN 978-0-19-850924-0. MR 2061749.
• Wall, C. T. C. (1999). 《Surgery on compact manifolds》. Mathematical Surveys and Monographs (영어) 69 2판. Providence, R.I.: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-0942-6. MR 1687388.

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Surgery”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
• “Surgery”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.