해석적 수론 에서 소수 정리 (素數定理, 영어 : prime number theorem , 약자 PNT)는 소수 의 분포를 근사적으로 기술하는 정리이다.
개념적으로, 소수 정리는 어떤 큰 수
N
{\displaystyle N}
정수 하나를 무작위로 골랐을 때 그 정수가 소수일 확률은
1
ln
N
{\displaystyle {\frac {1}{\ln N}}}
ln
{\displaystyle \ln }
자연로그 이다.) 이 식의 뜻은 소수의 분포는 더 큰 수로 갈수록 적어진다는 것을 의미한다.
π(x ) (적색) 과 x / ln x ,그리고 Li(x ) (청색)의 그래프 비교 임의의 실수
x
{\displaystyle x}
소수 계량 함수
π
(
x
)
{\displaystyle \pi (x)}
x
{\displaystyle x}
예를 들어, 10 이하의 소수는 2, 3, 5, 7로 4개이므로
π
(
10
)
=
4
{\displaystyle \pi (10)=4}
작은 몇 개의 값에 대해 소수 계량 함수의 함수값을 써 보면 다음과 같다.
π
(
1
)
=
0
,
π
(
2
)
=
1
,
π
(
3
)
=
2
,
π
(
4
)
=
2
,
π
(
5
)
=
3
,
π
(
6
)
=
3
,
π
(
7
)
=
4
{\displaystyle \pi (1)=0,\pi (2)=1,\pi (3)=2,\pi (4)=2,\pi (5)=3,\pi (6)=3,\pi (7)=4}
소수 정리는 두 함수
π
(
x
)
{\displaystyle \pi (x)}
x
ln
x
{\displaystyle {\frac {x}{\ln x}}}
x 가 무한히 커질수록 1에 수렴한다는 것을 말한다. 즉,
lim
x
→
∞
π
(
x
)
ln
x
x
=
1
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\pi (x)\ln x}{x}}=1}
가 성립한다. 점근 표기법 에 의해 다음과 같이 표현할 수도 있다.
π
(
x
)
∼
x
ln
x
{\displaystyle \pi (x)\sim {\frac {x}{\ln x}}}
이것은 두 함수의 차가
x
{\displaystyle x}
또한, 파프누티 체비쇼프 는 소수 정리를 다음과 같이 개량하였다.
만일 어떤 상수 C에 대하여 :
π
(
x
)
∼
C
x
ln
x
{\displaystyle \pi (x)\sim {\frac {Cx}{\ln x}}}
π
(
x
)
{\displaystyle \pi (x)}
x
/
log
(
x
)
{\displaystyle x/\log(x)}
소수 정리를 처음 제안한 것은 1798년 아드리앵마리 르장드르 이다. 카를 프리드리히 가우스 도 1792년 과 1793년 사이에 소수 정리를 연구한 적이 있지만 발표를 하지는 않았다. 1896년 에는 자크 아다마르 와 샤를장 드 라 발레푸생 이 각각 독립적으로 증명하였다. 이 증명은 해석적 수론 , 즉 리만 제타 함수 를 통한 복소해석학 적 기법을 바탕으로 하고 있다. 오랫동안 소수 정리의 초등적 (즉, 복소 해석학을 쓰지 않는) 증명 난제로 남아 있었으나, 1949년 에 아틀레 셀베르그 와 에르되시 팔 이 초등적 증명을 발표하였다. 에르되시는 이 결과를 셀베르그와 공저 논문으로 출판하려 하였으나, 셀베르그는 이를 거부하였다. 이 때문에 셀베르그와 에르되시 사이의 관계는 악화되고 말았다.[1]
수론적 함수 인 소수 계량 함수 의 점근적 성장은 리만 제타 함수 를 통해 복소해석학적인 명제로 치환할 수 있다. 우선, 다음과 같은 동치 관계는 초등적으로 보일 수 있다.
π
(
x
)
∼
x
⇔
ψ
(
x
)
∼
x
⇔
1
x
2
∫
1
x
ψ
(
x
′
)
d
x
′
=
1
x
2
∑
n
≤
x
(
x
−
n
)
Λ
(
n
)
∼
1
2
{\displaystyle \pi (x)\sim x\Leftrightarrow \psi (x)\sim x\Leftrightarrow {\frac {1}{x^{2}}}\int _{1}^{x}\psi (x')\,dx'={\frac {1}{x^{2}}}\sum _{n\leq x}(x-n)\Lambda (n)\sim {\frac {1}{2}}}
여기서
ψ
(
x
)
=
∑
n
≤
x
Λ
(
n
)
{\displaystyle \psi (x)=\sum _{n\leq x}\Lambda (n)}
는 제2종 체비쇼프 함수 이며,
Λ
(
n
)
{\displaystyle \Lambda (n)}
폰 망골트 함수 이다. 반면, 리만 제타 함수 의 로그 도함수는 다음과 같이 쓸 수 있다.
ζ
′
(
z
)
ζ
(
z
)
=
−
∑
n
=
1
∞
Λ
(
n
)
n
z
{\displaystyle {\frac {\zeta '(z)}{\zeta (z)}}=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{n^{z}}}}
두 합을 서로 연관짓기 위해, 다음과 같은 복소해석학적 보조정리를 사용한다.
1
2
π
i
∫
c
−
∞
i
c
+
∞
i
(
x
/
n
)
z
d
z
z
(
z
+
1
)
=
{
1
−
n
/
x
n
≤
x
0
n
>
x
(
c
>
1
)
{\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-\infty i}^{c+\infty i}{\frac {(x/n)^{z}dz}{z(z+1)}}={\begin{cases}1-n/x&n\leq x\\0&n>x\end{cases}}\qquad (c>1)}
따라서, 제타 함수와 체비쇼프 함수를 다음과 같이 연관지을 수 있다.
1
x
2
∫
1
x
ψ
(
x
′
)
d
x
′
=
−
1
2
π
i
∫
c
−
∞
i
c
+
∞
i
x
z
−
1
z
(
z
+
1
)
ζ
′
(
z
)
ζ
(
z
)
d
z
(
c
>
1
)
{\displaystyle {\frac {1}{x^{2}}}\int _{1}^{x}\psi (x')\,dx'=-{\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-\infty i}^{c+\infty i}{\frac {x^{z-1}}{z(z+1)}}{\frac {\zeta '(z)}{\zeta (z)}}\,dz\qquad (c>1)}
이제, 우변이
x
→
∞
{\displaystyle x\to \infty }
경로적분법 으로 증명할 수 있다.[2]
다츠자와 지카오(Tikao Tatuzawa)와 가네시로 이세키(Iseki Kanesiroo)의 등식[3] 아틀레 셀베르그 의 다음 등식
Λ
(
n
)
log
n
+
∑
d
|
n
Λ
(
d
)
Λ
(
n
d
)
=
∑
d
|
n
μ
(
d
)
log
2
n
d
{\displaystyle \Lambda (n)\log n+\sum _{d|n}\Lambda (d)\Lambda \left({\frac {n}{d}}\right)=\sum _{d|n}\mu (d)\log ^{2}{\frac {n}{d}}}
을 이용하여 증명의 핵심적이라 할 수 있는, 아틀레 셀베르그 가 증명한 다음 점근적 등식을 유도한다.
∑
p
≤
x
log
2
p
+
∑
p
q
≤
x
log
p
log
q
=
2
x
log
x
+
O
(
x
)
{\displaystyle \sum _{p\leq x}\log ^{2}p+\sum _{pq\leq x}\log p\log q=2x\log x+O(x)}
σ
(
x
)
=
e
−
x
ψ
(
e
x
)
−
1
{\displaystyle \sigma (x)=e^{-x}\psi (e^{x})-1}
|
σ
(
x
)
|
x
2
≤
2
∫
0
x
∫
0
y
|
σ
(
u
)
|
d
u
d
y
+
O
(
x
)
{\displaystyle |\sigma (x)|x^{2}\leq 2\int _{0}^{x}\int _{0}^{y}|\sigma (u)|dudy+O(x)}
소수 정리는
σ
(
x
)
=
o
(
1
)
{\displaystyle \sigma (x)=o(1)}
상극한 을
C
=
lim sup
x
→
∞
|
σ
(
x
)
|
{\displaystyle C=\limsup _{x\to \infty }|\sigma (x)|}
라고 둔다면, 이 상수가 영으로 가는 것을 확인하여 소수 정리를 증명할 수 있다. 만약 이 상수가 양수라고 가정하여 모순임을 증명한다. 정의에 의해 상수부분을 뗀 나머지 영으로 가는 함수를 다음과 같이 정의한다.
|
σ
(
x
)
|
≤
C
+
g
(
x
)
{\displaystyle |\sigma (x)|\leq C+g(x)}
위 적분형태의 부등식과 이 부등식을 이용하여 다음과 같은 유사한 형태의 부등식을 유도한다.
|
σ
(
x
)
|
≤
C
′
+
h
(
x
)
{\displaystyle |\sigma (x)|\leq C'+h(x)}
다만 이 경우
0
<
C
′
<
C
{\displaystyle 0<C'<C}
C
<
C
′
{\displaystyle C<C'}
[2]
Apostol, Tom (1998). 《 Introduction to Analytic Number Theory》 . Springer. ISBN 978-0387901633 Tatuzawa, Tikao; Iseki Kaneshiro (1951). “ On Selberg's elementary proof of the prime number theorem” . 《 Proc. Japan Acad.》 (영어) 27 : 340–342.
