상극한과 하극한

수학에서, 수열의 상극한(上極限, 영어: limit superior)과 하극한(下極限, 영어: limit inferior)은 간단히 말하면 일종의 수열의 경계의 극한이다. 함수의 상극한과 하극한도 이와 비슷하다. 집합의 극한점의 상한·하한으로 생각할 수도 있다. 상극한의 기호는 ${\displaystyle \limsup }$ 또는 ${\displaystyle \varlimsup }$이며, 하극한의 기호는 ${\displaystyle \liminf }$ 또는 ${\displaystyle \varliminf }$이다.

수열의 상극한과 하극한. 파란 선은 수열 ${\displaystyle x_{n}}$이고, 두 빨간 곡선은 수열의 경계이며 ${\displaystyle x_{n}}$의 상극한과 하극한(검은 선)으로 수렴한다.

정의

상극한과 하극한은 기본적으로 부분 순서를 갖춘 위상 공간 속의 점렬 및 그 일반화에 대하여 정의되는 개념이다. 위상수학에서, 점렬의 개념은 그물과 필터(또는 필터 기저)로 일반화된다. 필터는 집합족의 일종이며, 상극한·하극한의 개념은 임의의 집합족에 대하여 일반화된다.

또한, 임의의 함수 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ 및 임의의 점 ${\displaystyle x_{0}\in X}$가 주어졌을 때, ${\displaystyle f}$가 ${\displaystyle x_{0}}$의 근방에서 취하는 값들의 집합족을 정의할 수 있으며, 이를 통해 함수 ${\displaystyle f}$의, 특정한 점 ${\displaystyle x_{0}\in X}$에서의 상극한·하극한을 정의할 수 있다.

집합족

${\displaystyle Y}$가 완비 격자라고 하자. ${\displaystyle Y}$ 속의 집합족 ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {P}}(Y)}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle Y}$의 부분 집합

${\displaystyle \{\sup B\colon B\in {\mathcal {B}}\}}$

${\displaystyle \{\inf B\colon B\in {\mathcal {B}}\}}$

을 정의할 수 있다. 만약 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$가 하향 집합족라면 이들 역시 하향 집합이며, 만약 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$가 상집합이라면 이들 역시 상집합이다. 즉, 만약 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$가 필터라면 이들 역시 필터이다.

증명:

${\displaystyle {\mathcal {B}}}$가 하향 집합족이라고 하면, 임의의 ${\displaystyle B_{1},B_{2}\in {\mathcal {B}}}$에 대하여, ${\displaystyle B_{3}\subseteq B_{1}\cap B_{2}}$인 ${\displaystyle B_{3}\in {\mathcal {B}}}$가 존재한다. 그렇다면 ${\displaystyle \sup B_{3}\leq \sup(B_{1}\cap B_{2})\leq (\sup B_{1})\land (\sup B_{2})}$이다.

${\displaystyle {\mathcal {B}}}$가 상집합이며, 임의의 ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ 및 ${\displaystyle y\in Y}$에 대하여, ${\displaystyle \sup B\leq y}$라고 하자. 그렇다면 ${\displaystyle B\cup \{y\}\in {\mathcal {B}}}$이며 ${\displaystyle \sup(B\cup \{y\})=y}$이다.

이제, ${\displaystyle Y}$에 추가로 하우스도르프 위상이 부여되었다고 하고, ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$가 하향 집합족이라고 하자. 그렇다면,

${\displaystyle \sup \colon {\mathcal {B}}\to Y}$

${\displaystyle \sup \colon (B\in {\mathcal {B}})\to \sup B}$

는 그물을 이룬다. 만약 이 그물이 수렴한다면, ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$의 상극한은 이 그물의 극한이다.

${\displaystyle \limsup {\mathcal {B}}=\lim _{B\to \bot }\sup B}$

마찬가지로, ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {P}}(Y)}$가 상향 집합족이라고 하자. 그렇다면,

${\displaystyle \inf \colon {\mathcal {B}}\to Y}$

${\displaystyle \inf \colon (B\in {\mathcal {B}})\mapsto \inf B}$

는 그물을 이룬다. 만약 이 그물이 수렴한다면, ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$의 하극한은 이 그물의 극한이다.

${\displaystyle \liminf {\mathcal {B}}=\lim _{B\to \top }\inf B}$

그물과 점렬

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

• 부분 순서가 주어진 위상 공간 ${\displaystyle Y}$
• 상향 원순서 집합 ${\displaystyle (I,\lesssim )}$
• ${\displaystyle Y}$ 위의 그물 ${\displaystyle y\colon I\to Y}$

그렇다면, 그물 ${\displaystyle y}$의 꼬리들의 필터 기저

${\displaystyle \operatorname {tail} (y)=\left\{\{y_{i}\colon i\leq i_{0}\}\colon i_{0}\in I\right\}}$

를 생각하자. 그물 ${\displaystyle y}$의 상극한 및 하극한은 필터 기저 ${\displaystyle \operatorname {tail} (y)}$ (또는 이로부터 생성되는 필터)의 상극한·하극한이다.

${\displaystyle \limsup _{i\to \infty }y_{i}=\limsup \operatorname {tail} (y)}$

${\displaystyle \liminf _{i\to \infty }y_{i}=\liminf \operatorname {tail} (y)}$

특히, ${\displaystyle Y}$의 점렬 ${\displaystyle y\colon \mathbb {N} \to Y}$은 그물의 특수한 경우이므로, 그 상극한·하극한이 정의된다.

특히, ${\displaystyle Y}$가 순서 위상이 부여된 전순서 집합이며, 모든 상한과 하한이 존재한다고 하자 (예를 들어, 확장된 실수 ${\displaystyle Y={\bar {\mathbb {R} }}=[-\infty ,\infty ]}$). 그렇다면, 상극한·하극한의 정의는 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle \limsup _{i\to \infty }y_{i}=\lim _{i_{0}\to \infty }\sup _{i\geq i_{0}}y_{i}=\inf _{i_{0}\in I}\sup _{i\geq i_{0}}y_{i}}$

${\displaystyle \liminf _{i\to \infty }y_{i}=\lim _{i_{0}\to \infty }\inf _{i\geq i_{0}}y_{i}=\sup _{i_{0}\in I}\inf _{i\geq i_{0}}y_{i}}$

함수

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

• 부분 순서가 주어진 위상 공간 ${\displaystyle Y}$
• 위상 공간 ${\displaystyle X}$
• 함수 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$
• 점 ${\displaystyle x_{0}\in X}$

그렇다면, 다음과 같은 집합족을 생각할 수 있다.

${\displaystyle B_{f,x_{0},U}=f(U\setminus \{x_{0}\})=\left\{f(x)\colon x\in U\setminus \{x_{0}\}\right\}}$

${\displaystyle {\mathcal {B}}_{f,x_{0}}=\left\{B_{f,U,x_{0}}\colon U\in {\mathcal {N}}_{X,x_{0}}\right\}}$

여기서 ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{X,x_{0}}}$는 ${\displaystyle x_{0}\in X}$의 근방 필터이다. 즉, ${\displaystyle x_{0}}$의 근방에서 ${\displaystyle f}$가 취하는 값들의 집합족이다. ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{f,x_{0}}}$는 ${\displaystyle Y}$ 속의 필터를 이룬다.

${\displaystyle f}$의 ${\displaystyle x_{0}\in X}$에서의 상극한 ${\displaystyle \textstyle \limsup _{x\to x_{0}}f(x)}$과 하극한 ${\displaystyle \textstyle \liminf _{x\to x_{0}}f(x)}$은 각각 필터 ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{f,x_{0}}}$의 상극한과 하극한이다.

${\displaystyle \limsup _{x\to x_{0}}f(x)=\limsup {\mathcal {B}}_{f,x_{0}}}$

${\displaystyle \liminf _{x\to x_{0}}f(x)=\liminf {\mathcal {B}}_{f,x_{0}}}$

특히, 만약 ${\displaystyle Y}$가 순서 위상이 부여된 완비 전순서 집합이라고 하자 (예를 들어, 확장된 실수 ${\displaystyle Y={\bar {\mathbb {R} }}=[-\infty ,\infty ]}$). 그렇다면 이는 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle \limsup _{x\to x_{0}}f(x)=\inf _{U\in {\mathcal {N}}_{X,x_{0}}}\sup f\left(U\setminus \{x_{0}\}\right)}$

${\displaystyle \limsup _{x\to x_{0}}f(x)=\sup _{U\in {\mathcal {N}}_{X,x_{0}}}\inf f\left(U\setminus \{x_{0}\}\right)}$

성질

존재

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

• 순서 위상이 부여된 완비 전순서 집합 ${\displaystyle (X,\leq )}$
• 하향 원순서 집합 ${\displaystyle (I,\lesssim )}$
• 순서를 보존하는 그물 ${\displaystyle x\colon I\to X}$. 즉, 만약 ${\displaystyle i,i'\in I}$에 대하여 ${\displaystyle i\lesssim i'}$이라면 ${\displaystyle x_{i}\leq x_{i'}}$이다.

그렇다면, ${\displaystyle x}$는 ${\displaystyle \{x_{i}\}_{i\in I}}$의 하한으로 수렴한다.

${\displaystyle \lim _{i\to \bot }x_{i}=\inf _{i\in I}x_{i}}$

증명:

편의상

${\displaystyle y=\inf _{i\in I}x_{i}}$

로 표기하자. 임의의 ${\displaystyle y_{-}<y<y_{+}}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle y_{+}}$는 (하한의 정의에 의하여) ${\displaystyle \{x_{i}\}_{i\in I}}$의 하계가 될 수 없으며, 따라서 ${\displaystyle x_{i_{0}}<y}$인 ${\displaystyle i_{0}\in I}$가 존재한다. 그렇다면, 임의의 ${\displaystyle i\lesssim i_{0}}$에 대하여 ${\displaystyle y_{-}<x_{i}<y_{+}}$이다.

따라서, 만약 ${\displaystyle (X,\leq )}$가 순서 위상이 부여된 완비 전순서 집합 ${\displaystyle (X,\leq )}$이라면, ${\displaystyle X}$ 위의 필터 기저 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$는 항상 상극한과 하극한을 가지며, 이들은 다음과 같다.

${\displaystyle \limsup {\mathcal {B}}=\inf _{B\in {\mathcal {B}}}\sup B}$

${\displaystyle \liminf {\mathcal {B}}=\sup _{B\in {\mathcal {B}}}\inf B}$

특히, 확장된 실수 ${\displaystyle {\bar {\mathbb {R} }}=[-\infty ,\infty ]}$는 완비 전순서 집합이므로, 이 속의 그물 및 수열은 항상 상극한과 하극한을 가진다.

극한과의 관계

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

• 순서 위상이 부여된 완비 전순서 집합 ${\displaystyle (X,\leq )}$
• 하향 원순서 집합 ${\displaystyle (I,\lesssim )}$
• 그물 ${\displaystyle x\colon I\to X}$
• 점 ${\displaystyle x_{0}\in X}$

그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle \textstyle \lim _{i\in I}=x_{0}}$. 즉, ${\displaystyle (x_{i})_{i\in I}}$는 ${\displaystyle x_{0}\in X}$로 수렴한다.
• ${\displaystyle x_{0}=\limsup _{i\in I}=\liminf _{i\in I}}$이다.

상극한과 하극한의 관계

임의의 순서체 ${\displaystyle (K,\leq )}$ 속의 집합족 ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {P}}(K)}$에 대하여 다음이 성립한다.

${\displaystyle -\liminf {\mathcal {B}}=\limsup(-{\mathcal {B}})}$

${\displaystyle -{\mathcal {B}}=\{-B\colon B\in {\mathcal {B}}\}=\left\{\{-b\colon b\in B\}\colon B\in {\mathcal {B}}\right\}}$

마찬가지로, 임의의 순서체 ${\displaystyle (K,\leq )}$ 위의 그물 ${\displaystyle x\colon I\to K}$에 대하여, 상극한과 하극한에 대해 다음과 같은 관계가 성립한다.

${\displaystyle -\liminf _{i\to \infty }x_{i}=-\limsup _{n\to \infty }(-x_{i})}$

${\displaystyle \inf _{i\in I}x_{i}\leq \liminf _{i\to \infty }x_{i}\leq \limsup _{i\to \infty }(x_{i})\leq \sup _{i\in I}x_{i}}$

마찬가지로, 임의의 위상 공간 ${\displaystyle X}$ 및 함수 ${\displaystyle f\colon X\to K}$ 및 점 ${\displaystyle x_{0}\in X}$에 대하여, 다음이 성립한다.

${\displaystyle -\liminf _{x\to x_{0}}f(x)=\limsup _{x\to x_{0}}(-f(x))}$

${\displaystyle \inf _{x\in X}f(x)\leq \liminf f(x)\leq \limsup _{x\to x_{0}}f(x)\leq \sup _{x\in X}f(x)}$

가법성

순서체 ${\displaystyle (K,\leq )}$ 속의 두 그물

${\displaystyle a,b\colon I\to K}$

에 대하여, 만약 아래 부등식들의 우변이 존재한다면, 다음이 성립한다.

${\displaystyle \limsup _{i\in I}(a_{i}+b_{i})\leq \limsup _{i\in I}(a_{i})+\limsup _{i\in I}(b_{i})}$

${\displaystyle \liminf _{i\in I}(a_{i}+b_{i})\geq \liminf _{i\in I}(a_{i})+\liminf _{i\in I}(b_{i})}$

또한, 만약 ${\displaystyle a}$나 ${\displaystyle b}$가 수렴한다면, 위의 두 부등식은 등식이 된다.

예

수열 ${\displaystyle x_{n}=\sin n}$에 대하여, π가 무리수이므로 다음이 성립한다.

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }x_{n}=-1}$

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }x_{n}=+1}$

이는 균등 분포 정리에 의해 ${\displaystyle 1,2,3,\ldots \,{\bmod {\,}}2\pi }$가 균등 분포이기 때문이다.

쌍둥이 소수 추측은 다음과 같은 내용을 담는다.

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }(p_{n+1}-p_{n})=2}$

여기서 ${\displaystyle p_{n}}$은 ${\displaystyle n}$번째 소수이다.

함수

${\displaystyle f}$의 그래프 (위상수학자의 사인 곡선)

위상수학자의 사인 곡선을 정의하는 함수

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

${\displaystyle f\colon x\mapsto {\begin{cases}\sin(1/x)&x\neq 0\\0&x=0\end{cases}}}$

를 생각하자. 그렇다면,

${\displaystyle \liminf _{x\to 0}f(x)=-1}$

${\displaystyle \limsup _{x\to 0}f(x)=1}$

이다. (사실, ${\displaystyle f(0)}$의 값은 어떻든 상관없다.)

참고 문헌

• Rudin, Walter (1976). 《Principles of mathematical analysis》. International Series in Pure and Applied Mathematics (영어) 3판. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054235-8. MR 0385023. Zbl 0346.26002. 2014년 10월 6일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2014년 10월 6일에 확인함. CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
• Rudin, Walter (1987). 《Real and Complex Analysis》 (영어) 3판. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054234-1. MR 0924157. Zbl 0925.00005. 2014년 10월 6일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 6월 27일에 확인함. CS1 관리 - 추가 문구 (링크)

외부 링크

• “Upper and lower limits”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Supremum limit”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Infimum limit”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
• “Definition: limit superior”. 《ProofWiki》 (영어).
• “Definition: limit inferior”. 《ProofWiki》 (영어).
• “Definition: limit superior of a sequence of sets”. 《ProofWiki》 (영어).
• “Definition: limit inferior of a sequence of sets”. 《ProofWiki》 (영어).
• “Equivalence of definitions of limit superior of sequence of sets”. 《ProofWiki》 (영어).
• “Definition: lower limit (topological space)”. 《ProofWiki》 (영어).
• “Limsup and liminf are limits of bounds”. 《ProofWiki》 (영어).
• “Convergence of limsup and liminf”. 《ProofWiki》 (영어).
• “Limsup squeeze theorem”. 《ProofWiki》 (영어).
• “Relationship between limit inferior and lower limit” (영어).