위상 K이론

대수적 위상수학에서 위상 K이론(位相K理論, 영어: topological K-theory)은 위상 공간 위의 벡터 다발을 연구하는 분야이다.^[1] 보다 일반적인 K이론의 특수한 경우다.

정의

벡터 다발을 통한 정의

0차 K군

다음이 주어졌다고 하자.

• 콤팩트 하우스도르프 공간 ${\displaystyle X}$
• 기호 ${\displaystyle G\in \{\operatorname {O} ,\operatorname {U} ,\operatorname {Sp} \}}$. 이에 대하여,
  • ${\displaystyle \operatorname {O} }$-벡터 다발은 ${\displaystyle X}$ 위의 (유한 차원, 연속) 실수 벡터 다발이다. (O는 직교군을 뜻한다.)
  • ${\displaystyle \operatorname {U} }$-벡터 다발은 ${\displaystyle X}$ 위의 (유한 차원, 연속) 복소수 벡터 다발이다. (U는 유니터리 군을 뜻한다.)
  • ${\displaystyle \operatorname {Sp} }$-벡터 다발은 ${\displaystyle X}$ 위의 (유한 차원, 연속) 실수 짝수 차원 벡터 다발 가운데, (만약 ${\displaystyle 2n}$차원이라면) ${\displaystyle \operatorname {Sp} (2n;\mathbb {R} )}$--주다발의 연관 벡터 다발로 표현되는 것이다. (Sp는 심플렉틱 군을 뜻한다.)

그렇다면, ${\displaystyle X}$ 위의 ${\displaystyle G}$-벡터 다발

${\displaystyle E\twoheadrightarrow X}$

들의 동형류들의 집합을 생각할 수 있다. 이는 직합을 통하여 가환 모노이드를 이루며, ${\displaystyle G\in \{\operatorname {O} ,\operatorname {U} \}}$인 경우 텐서곱을 통하여 가환 반환을 이룬다. (직합에 대한 항등원은 자명한 0차원 벡터 다발이며, 텐서곱에 대한 항등원은 자명한 1차원 실수 또는 복소수 벡터 다발이다.)

${\displaystyle X}$의 ${\displaystyle G}$에 대한 K군(K-group) ${\displaystyle \mathrm {K} G^{0}(X)}$는 ${\displaystyle X}$ 위의 ${\displaystyle G}$-벡터 다발들의 그로텐디크 군이다. 만약 ${\displaystyle G\in \{\operatorname {O} ,\operatorname {U} \}}$라면, 이는 가환환을 이룬다.

흔히, 만약 ${\displaystyle G}$를 생략하였다면, ${\displaystyle G=\operatorname {U} }$를 뜻한다.

축소 K군

${\displaystyle (X,x_{0})}$가 점을 가진 공간이라고 하자. 그렇다면 축소 K군(縮小K群, 영어: reduced K-group) ${\displaystyle \operatorname {\tilde {K}} ^{0}(X,x_{0})}$는 다음과 같다. 다음과 같은 준동형이 존재한다.

${\displaystyle \phi \colon \operatorname {K} ^{0}(X)\to \operatorname {K} ^{0}(\{x_{0}\})}$

그렇다면

${\displaystyle \operatorname {\tilde {K}} ^{0}(X,x_{0})=\ker \phi =\operatorname {K} ^{0}(X)/\operatorname {K} ^{0}(\{x_{0}\})}$

이다.

벡터 다발의 차원에 해당하는, 다음과 같은 군 준동형이 존재한다.

${\displaystyle \dim \colon \operatorname {K} ^{0}(X)\to \operatorname {\check {H}} ^{0}(X,\mathbb {Z} )}$

여기서 ${\displaystyle {\check {H}}^{0}(X,\mathbb {Z} )}$는 정수 계수를 가지는 체흐 코호몰로지다. 만약 ${\displaystyle X}$가 연결 공간이라면 ${\displaystyle {\check {H}}^{0}(X,\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} }$이다. 이 경우 ${\displaystyle \dim \colon K^{0}(X)\to \mathbb {Z} }$이며, 벡터 공간 ${\displaystyle K_{n}^{0}(X)=\dim ^{-1}(n)}$은 ${\displaystyle n}$차원 벡터 다발들이 이루는 그로텐디크 군이다.

상대 K군(영어: relative K-group)은 상대 호몰로지와 유사한 개념으로, 다음과 같다. ${\displaystyle A\subseteq X}$가 부분 공간이라고 하자. 그렇다면 ${\displaystyle X}$의 ${\displaystyle A}$에 대한 상대 K군 ${\displaystyle \operatorname {K} ^{0}(X,A)}$는 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {K} ^{0}(X,A)=\operatorname {\tilde {K}} ^{0}(X/A)}$

여기서 ${\displaystyle X/A}$의 점은 물론 ${\displaystyle A/A\in X/A}$이다.

${\displaystyle X}$가 (콤팩트하지 않을 수 있는) 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이라고 하자. 그렇다면, 콤팩트 지지 K군(영어: K-group with compact support) ${\displaystyle \operatorname {K} _{\text{c}}^{0}(X)}$는 그 알렉산드로프 콤팩트화 ${\displaystyle X^{+}}$의 축소 K군이다.

${\displaystyle \operatorname {K} _{\text{c}}^{0}(X)=\operatorname {\tilde {K}} ^{0}(X^{+})}$

물론, 만약 ${\displaystyle X}$가 콤팩트 하우스도르프 공간이라면,

${\displaystyle \operatorname {K} _{\text{c}}^{0}(X)=\operatorname {\tilde {K}} ^{0}(X^{+})=\operatorname {\tilde {K}} ^{0}(X\sqcup \{\bullet \})=\operatorname {K} ^{0}(X)}$

이다.

고차 K군

−n차 축소 K군 ${\displaystyle \operatorname {K} ^{-n}(X)}$는 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {\tilde {K}} ^{-n}(X)=\operatorname {\tilde {K}} (\mathbb {S} ^{n}\wedge X)}$

여기서 ${\displaystyle \wedge }$는 위상 공간의 분쇄곱이고, ${\displaystyle \mathbb {S} ^{n}}$은 ${\displaystyle n}$차원 초구다. 여기서 ${\displaystyle S^{0}\wedge X\cong X}$이므로, ${\displaystyle \operatorname {\tilde {K}} ^{0}(X)}$의 정의는 일관적이다. 또한 ${\displaystyle \mathbb {S} ^{m}\wedge \mathbb {S} ^{n}\cong \mathbb {S} ^{m+n}}$이므로, ${\displaystyle {\tilde {K}}^{-m-n}(X)={\tilde {K}}^{-m}(S^{n}\wedge X)}$이다.

−n차 (비축소) K군 ${\displaystyle \operatorname {K} ^{-n}(X)}$는 그 알렉산드로프 콤팩트화 ${\displaystyle X^{+}=X\sqcup \{\infty \}}$의 축소 K군이다.

${\displaystyle \operatorname {K} ^{-n}(X)=\operatorname {\tilde {K}} ^{-n}(X^{+})}$

고차 축소 K군들은 주기적이다. 즉, 다음이 성립한다.

• ${\displaystyle \operatorname {{\tilde {K}}U} ^{-n-2}(X)=\operatorname {{\tilde {K}}U} ^{-n}(X)}$
• ${\displaystyle \operatorname {{\tilde {K}}O} ^{-n-8}(X)=\operatorname {{\tilde {K}}O} ^{-n}(X)}$.

이를 보트 주기성(Bott periodicity)이라고 한다. 보트 주기성을 사용하여 양의 정수차 K군 ${\displaystyle K^{1}}$, ${\displaystyle K^{2}}$ 등을 정의할 수 있다.

안정 벡터 다발을 통한 정의

콤팩트 하우스도르프 공간 ${\displaystyle X}$가 주어졌다고 하자. ${\displaystyle X}$ 위의 두 (유한 차원, 연속) 복소수 벡터 다발 ${\displaystyle E}$, ${\displaystyle F}$ 사이에 다음과 같은 동치 관계를 정의하자.

${\displaystyle E\sim F\iff \exists n\in \mathbb {N} \colon E\oplus \mathbb {C} ^{n}\cong F\oplus \mathbb {C} ^{n}}$

여기서 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$은 ${\displaystyle n}$차원 자명한 복소수 벡터 다발이며, 우변의 ${\displaystyle \cong }$은 연속 복소수 벡터 다발의 동형이다.

이 동치 관계에 대한 동치류를 안정 벡터 다발(安定vector다발, 영어: stable vector bundle)이라고 한다. 안정 벡터 다발들은 직합에 대하여 가환 모노이드를 이루며, 이는 사실 아벨 군이다. 이를 ${\displaystyle X}$의 0차 축소 K군 ${\displaystyle \operatorname {\widetilde {KU}} ^{0}(X)}$이라고 한다.

분류 공간을 통한 정의

기호 ${\displaystyle G\in \{\operatorname {O} ,\operatorname {U} ,\operatorname {Sp} \}}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 리 군의 포함 관계

${\displaystyle G(0)\hookrightarrow G(1)\hookrightarrow \dotsb }$

에 대한 분류 공간의 포함 관계

${\displaystyle \mathrm {B} G(0)\to \mathrm {B} G(1)\to \mathrm {B} G(2)\to \dotsb }$

가 존재한다. 구체적으로, 이는 어떤 위상 공간 ${\displaystyle X}$ 위의 ${\displaystyle G(n)}$-벡터 다발 ${\displaystyle E\twoheadrightarrow X}$가 주어졌을 때, ${\displaystyle \operatorname {G} (n+1)}$-벡터 다발 ${\displaystyle E\oplus \mathbb {K} }$를 취하는 것이다 (${\displaystyle \mathbb {K} }$는 자명한 1차원 또는 2차원 벡터 다발). 이에 따라서, 귀납적 극한

${\displaystyle \varinjlim \mathrm {B} G(\infty )}$

를 취할 수 있다.

이들은 구체적으로 다음과 같이 표현된다. 직교군 ${\displaystyle \operatorname {O} (n)}$의 분류 공간 ${\displaystyle \operatorname {BO} (n)}$은 무한 차원 실수 벡터 공간에서 원점을 지나는 ${\displaystyle n}$차원 부분 공간들의 공간(그라스만 다양체)이며, 유니터리 군 ${\displaystyle \operatorname {U} (n)}$의 분류 공간 ${\displaystyle \operatorname {BU} (n)}$은 무한 차원 복소수 벡터 공간에서 원점을 지나는 복소수 ${\displaystyle n}$차원 부분 공간들의 공간이다.

${\displaystyle X}$가 CW 복합체와 호모토피 동치인 위상 공간이라고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle X}$의 K군은 다음과 같다.

${\displaystyle \mathrm {K} G(X)=[X,\mathbb {Z} \times \mathrm {B} G(\infty )]}$

여기서 ${\displaystyle [X,Y]}$는 ${\displaystyle X\to Y}$ 호모토피류들의 집합이다.

만약, ${\displaystyle X}$가 ${\displaystyle n}$차원 연결 공간이고 ${\displaystyle k>n/2}$일 때,

${\displaystyle \operatorname {\widetilde {KO}} (X)\cong [X,\operatorname {BO} (k)]}$

${\displaystyle \operatorname {\widetilde {KU}} (X)\cong [X,\operatorname {BU} (k)]}$

이 성립한다.

성질

함자성

${\displaystyle {\mathcal {C}}}$가 적절한 위상 공간의 범주(예를 들어, 콤팩트 생성 약한 하우스도르프 공간의 범주)라고 하자. 그렇다면, 위상 K이론은 다음과 같은 함자를 정의한다.

${\displaystyle \operatorname {KO} \colon \operatorname {ho} ({\mathcal {C}})\to \operatorname {CRing} ^{\operatorname {op} }}$

${\displaystyle \operatorname {KU} \colon \operatorname {ho} ({\mathcal {C}})\to \operatorname {CRing} ^{\operatorname {op} }}$

${\displaystyle \operatorname {KSp} \colon \operatorname {ho} ({\mathcal {C}})\to \operatorname {Ab} ^{\operatorname {op} }}$

여기서

• ${\displaystyle \operatorname {ho} ({\mathcal {C}})}$는 위상 공간의 호모토피 범주이다.
• ${\displaystyle \operatorname {CRing} }$은 가환환의 범주이다.
• ${\displaystyle \operatorname {Ab} }$은 가환군의 범주이다.
• ${\displaystyle (-)^{\operatorname {op} }}$은 반대 범주이다.

즉, 연속 함수 ${\displaystyle X\to Y}$가 주어지면, 이에 따라 환 준동형 ${\displaystyle K(Y)\to K(X)}$가 존재한다.

또한, 축소 위상 K이론은 다음과 같이 점을 가진 공간의 범주 위의 함자를 정의한다.

${\displaystyle \operatorname {\widetilde {KO}} \colon \operatorname {ho} ({\mathcal {C}}/\bullet )\to \operatorname {CRing} ^{\operatorname {op} }}$

${\displaystyle \operatorname {\widetilde {KU}} \colon \operatorname {ho} ({\mathcal {C}}/\bullet )\to \operatorname {CRing} ^{\operatorname {op} }}$

${\displaystyle \operatorname {\widetilde {KSp}} \colon \operatorname {ho} ({\mathcal {C}}/\bullet )\to \operatorname {Ab} ^{\operatorname {op} }}$

특히, 위상 K이론은 호모토피 불변량이다. 즉, 서로 호모토피 동치인 공간들의 K군들은 동형이다.

보트 주기성

다음이 성립한다.

${\displaystyle \operatorname {\widetilde {KU}} ^{\bullet +2}(X)\cong \operatorname {\widetilde {KU}} ^{\bullet }(X)}$

${\displaystyle \operatorname {\widetilde {KO}} ^{\bullet +8}(X)\cong \operatorname {\widetilde {KO}} ^{\bullet }(X)}$

${\displaystyle \operatorname {\widetilde {KSp}} ^{\bullet +8}(X)\cong \operatorname {\widetilde {KSp}} ^{\bullet }(X)}$

분류 공간으로서, 이는 다음과 같은 호모토피 동치에서 기인한다.

${\displaystyle \Omega ^{8}\mathrm {BO} (\infty )\simeq \mathbb {Z} \times \mathrm {BO} (\infty )}$

${\displaystyle \Omega ^{2}\mathrm {BU} (\infty )\simeq \mathbb {Z} \times \mathrm {BU} (\infty )}$

${\displaystyle \Omega ^{8}\mathrm {Sp} (\infty )\simeq \mathbb {Z} \times \mathrm {BSp} (\infty )}$

코호몰로지

위상 K이론은 코호몰로지에 대한 에일렌베르크-스틴로드 공리들을 차원 공리를 제외하고 모두 만족시킨다. 따라서, 위상 K이론은 특수(extraordinary) 코호몰로지 이론을 이룬다. (차원 공리에 따르면 ${\displaystyle H^{n}(\{\bullet \})=0\forall n>0}$이어야 하지만, K이론에서는 ${\displaystyle \operatorname {KU} ^{2n}(\{\bullet \})=\mathbb {Z} }$이다.)

천 지표

천 지표 ${\displaystyle \operatorname {ch} \colon \operatorname {Vect} (X)\to \operatorname {H} ^{\bullet }(X)}$는 ${\displaystyle X}$ 위의 벡터 다발들의 가환 모노이드 ${\displaystyle \operatorname {Vect} (X)}$로부터 짝수 차수 유리수 코호몰로지 ${\displaystyle \operatorname {H} ^{0}(X)\oplus \operatorname {H} ^{2}(X)\oplus \dotsb \subset \operatorname {H} ^{\bullet }(X;\mathbb {Q} )}$로 가는 모노이드 준동형이다.^{[1]:40–45[2]:100–102} 이는 그로텐디크 군 연산을 통해, 다음과 같은 환 준동형 ${\displaystyle \operatorname {ch} \colon K^{0}(X)\to H^{\bullet }(X;\mathbb {Q} )}$로 확장된다. 즉, ${\displaystyle [E],[F]\in K^{0}(X)}$라고 하면,

${\displaystyle \operatorname {ch} ([E]\oplus [F])=\operatorname {ch} ([E])+\operatorname {ch} ([F])}$

${\displaystyle \operatorname {ch} ([E]\otimes [F])=\operatorname {ch} ([E])\smile \operatorname {ch} ([F])}$

${\displaystyle \operatorname {ch} (-[E])=-\operatorname {ch} ([E])}$

${\displaystyle \operatorname {ch} ([\mathbb {C} ^{\oplus k}])=k}$

이다. 다시 말해, 천 지표는 K이론에서 코호몰로지로 가는 준동형이다. 마찬가지로, 축소 K이론에서 축소 코호몰로지로 가는 준동형 ${\displaystyle \operatorname {ch} \colon {\tilde {K}}^{0}(X)\to {\tilde {H}}^{\bullet }(X;\mathbb {Q} )}$ 또한 존재한다.

고차 K이론의 경우에도 천 지표를 정의할 수 있다.^[2]:102

${\displaystyle \operatorname {\widetilde {KU}} ^{1}(X)=\operatorname {KU} ^{0}(\mathbb {S} ^{1}\wedge X)}$

${\displaystyle \operatorname {\tilde {H}} ^{2k}(X;\mathbb {Q} )\cong \operatorname {H} ^{2k+1}(\mathbb {S} ^{1}\wedge X;\mathbb {Q} )}$

이므로, 이를 사용하여 천 지표를

${\displaystyle \operatorname {K} ^{\bullet }(X)\to \operatorname {H} ^{\bullet }(X;\mathbb {Q} )}$

로 확장시킬 수 있다. 대부분(유한 CW 복합체)의 경우, 천 지표는 ${\displaystyle K^{\bullet }(X)\otimes \mathbb {Q} }$와 ${\displaystyle H^{\bullet }(X;\mathbb {Q} )}$ 사이의 동형 사상이다. 즉, 다음과 같은 동형 사상이 성립한다.^[3]:7

${\displaystyle \operatorname {KU} ^{0}(X)\otimes \mathbb {Q} =\bigoplus _{k}\operatorname {H} ^{2k}(X;\mathbb {Q} )}$

${\displaystyle \operatorname {KU} ^{1}(X)\otimes \mathbb {Q} =\bigoplus _{k}\operatorname {H} ^{2k+1}(X;\mathbb {Q} )}$

마찬가지로, 실수 K군의 경우 다음이 성립한다.^[3]:7

${\displaystyle \operatorname {KO} ^{0}(X)\otimes \mathbb {Q} =\bigoplus _{k}\operatorname {H} ^{4k}(X;\mathbb {Q} )}$

예

축약 가능 공간

하나의 점을 포함하는 공간 ${\displaystyle \{\bullet \}}$의 K군들은 다음과 같다.

${\displaystyle K^{0}(\{\bullet \})=\mathbb {Z} }$

${\displaystyle {\tilde {K}}^{0}(\{\bullet \})=0}$

${\displaystyle K^{1}(\{\bullet \})={\tilde {K}}^{1}(\{\bullet \})=0}$

K이론은 호모토피 불변량이므로, 모든 콤팩트 하우스도르프 축약 가능 공간의 K군은 1점 공간 ${\displaystyle \{\bullet \}}$의 K군과 같다.

이에 따라, 축소 K군의 경우

${\displaystyle K^{0}(X)\cong {\tilde {K}}^{0}(X)\oplus \mathbb {Z} }$

${\displaystyle K^{1}(X)\cong {\tilde {K}}^{1}(X)}$

임을 알 수 있다.

초구

초구 ${\displaystyle S^{n}}$의 (비축소) 복소수 K군들은 다음과 같다.^[1]:39

${\displaystyle \operatorname {KU} ^{0}(\mathbb {S} ^{2n})=\mathbb {Z} ^{2}}$

${\displaystyle \operatorname {KU} ^{1}(\mathbb {S} ^{2n})=0}$

${\displaystyle \operatorname {KU} ^{0}(\mathbb {S} ^{2n+1})=\mathbb {Z} }$

${\displaystyle \operatorname {KU} ^{1}(\mathbb {S} ^{2n+1})=\mathbb {Z} }$

초구의 축소 복소수 K군들은 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {\widetilde {KU}} ^{0}(\mathbb {S} ^{2n})=\operatorname {\widetilde {KU}} ^{1}(\mathbb {S} ^{2n+1})=\mathbb {Z} }$

${\displaystyle \operatorname {\widetilde {KU}} ^{1}(\mathbb {S} ^{2n})=\operatorname {\widetilde {KU}} ^{0}(\mathbb {S} ^{2n+1})=0}$

초구의 축소 실수 K군들은 다음과 같다.^[4]:§3.1

${\displaystyle \operatorname {\widetilde {KO}} ^{m}(\mathbb {S} ^{n})={\begin{cases}\mathbb {Z} &n-m\equiv 0,4{\pmod {8}}\\\mathbb {Z} /(2)&n-m\equiv 1,2{\pmod {8}}\\0&n-m\equiv 3,5,6,7{\pmod {8}}\end{cases}}}$

기타 공간

복소수 사영 공간 ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$의 K군들은 다음과 같다.

${\displaystyle K^{0}(\mathbb {CP} ^{n})=\mathbb {Z} ^{n+1}}$

${\displaystyle K^{1}(\mathbb {CP} ^{n})=0}$

원환면 ${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}}$의 K군들은 다음과 같다.

${\displaystyle K^{0}(\mathbb {T} ^{n})=\mathbb {Z} ^{2^{n-1}}}$

${\displaystyle K^{1}(\mathbb {T} ^{n})=\mathbb {Z} ^{2^{n-1}}}$

역사

마이클 아티야와 프리드리히 히르체브루흐가 1950년대 말에 창시하였다.^[5]

같이 보기

• KR이론
• 아티야-싱어 지표 정리
• 대수적 K이론

각주

1. Zois, Ioannis P. (2010년 8월). “18 lectures on K-Theory” (영어). arXiv:1008.1346. Bibcode:2010arXiv1008.1346Z.
2. Hatcher, Allen (2009년 5월). 《Vector Bundles and K-Theory》 (PDF) (영어) 버전 2.1판.
3. Karoubi, Max (2006년 2월). “K-theory. An elementary introduction” (영어). arXiv:math/0602082. Bibcode:2006math......2082K.
4. Gukov, Sergei (1999). “K-theory, reality, and orbifolds” (영어). arXiv:hep-th/9901042.
5. Otsuka, Shu. “Correspondence Atiya ↔ Hirzebruch about K-theory” (PDF).

• Cortiñas, Guillermo (2011). 〈Algebraic v. topological K-theory: a friendly match〉. 《Topics in algebraic and topological K-theory》 (영어). Springer Lecture Notes in Mathematics 2008. Berlin: Springer. 103–165쪽. arXiv:0903.3983. Bibcode:2009arXiv0903.3983C. doi:10.1007/978-3-642-15708-0_3. ISBN 978-3-642-15707-3. MR 2762555. Zbl 1216.19002.