클리퍼드 다발

미분기하학에서 클리퍼드 다발(Clifford다발, 영어: Clifford bundle)은 각 올이 클리퍼드 대수의 구조를 갖는 벡터 다발이다.

정의

위상 공간 ${\displaystyle X}$ 위의 벡터 다발 ${\displaystyle E\twoheadrightarrow X}$이 주어졌다고 하자. 또한, 대칭 다발

${\displaystyle \operatorname {Sym} ^{2}E^{*}}$

의 연속 단면

${\displaystyle Q\in \Gamma ^{0}(\operatorname {Sym} ^{2}E)}$

이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 각 ${\displaystyle x\in X}$에 대하여, 벡터 공간 ${\displaystyle E_{x}}$와 이차 형식 ${\displaystyle Q_{x}}$로부터 실수 클리퍼드 대수 ${\displaystyle \operatorname {Cl} (E_{x},Q_{x})}$를 정의할 수 있다. 이를 올로 하는, ${\displaystyle X}$ 위의 벡터 다발

${\displaystyle \operatorname {Cl} (E,Q)=\bigsqcup _{x\in X}\operatorname {Cl} (E_{x},Q_{x})}$

을 자연스럽게 정의할 수 있으며, 이를 클리퍼드 다발이라고 한다.

만약 미분기하학을 전개하려면, ${\displaystyle X}$가 매끄러운 다양체이며, ${\displaystyle E}$가 매끄러운 벡터 다발이며, ${\displaystyle Q}$가 매끄러운 단면인 경우를 생각하여 매끄러운 클리퍼드 다발을 정의할 수 있다.

클리퍼드 다발 접속

매끄러운 클리퍼드 다발 ${\displaystyle C}$ 위의 코쥘 접속 ${\displaystyle \nabla }$가 다음과 같은 곱 규칙을 만족시킨다면, 클리퍼드 다발 접속이라고 한다.

${\displaystyle \nabla _{X}(ab)=a\nabla _{X}b+(\nabla _{X}a)b}$

즉, 코쥘 접속이 클리퍼드 대수의 연산과 호환되어야 한다.

예

리만 다양체

준 리만 다양체 ${\displaystyle (M,g)}$가 주어졌을 때, 그 접다발 ${\displaystyle \mathrm {T} M}$의 올 위에는 자연스러운 이차 형식 ${\displaystyle g}$이 존재하며, 마찬가지로 공변접다발 ${\displaystyle \mathrm {T} _{x}M}$의 올 위에는 이차 형식 ${\displaystyle g^{-1}}$가 존재한다. 이에 따라, 클리퍼드 다발

${\displaystyle \operatorname {Cl} (\mathrm {T} M,g)}$

과

${\displaystyle \operatorname {Cl} (\mathrm {T} ^{*}M,g^{-1})}$

를 정의할 수 있다.^{[1]:113, Definition 3.30} 리만 계량에 따라 사실 표준적인 벡터 다발 동형

${\displaystyle g^{\flat }\colon \mathrm {T} M\to \mathrm {T} ^{*}M}$

이 존재하므로, 이 두 클리퍼드 다발은 사실 동형이다.

이는 직교군의 클리퍼드 대수 위의 표현을 통해, 직교 틀다발 ${\displaystyle \mathrm {F} _{\operatorname {O} }M}$의 연관 벡터 다발로도 구성될 수 있다.

이 경우, 레비치비타 접속을 ${\displaystyle \operatorname {Cl} (\mathrm {T} M,g)}$ 위로 자연스럽게 확장할 수 있으며, 이는 클리퍼드 대수 구조와 호환된다. 만약 ${\displaystyle (M,g)}$ 위에 스핀 구조 또는 스핀C 구조가 주어졌을 때, 스피너 다발 ${\displaystyle \mathrm {S} M}$은 그 위의 클리퍼드 가군 다발을 이룬다.

일반화 기하학

매끄러운 다양체 ${\displaystyle M}$ 위의 임의의 매끄러운 벡터 다발 ${\displaystyle E}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면 ${\displaystyle E\oplus E^{*}}$ 위에는 자연스러운 이차 형식

${\displaystyle Q(x,\xi )=\xi (x)}$

이 주어지며, 이에 따라 클리퍼드 다발 ${\displaystyle \operatorname {Cl} (E\oplus E^{*})}$을 정의할 수 있다.

이 경우, ${\displaystyle \textstyle \bigwedge E^{*}}$은 ${\displaystyle \operatorname {Cl} (E\oplus E^{*})}$ 위의 클리퍼드 가군 다발을 이룬다.

같이 보기

• 스피너
• 스핀 다양체
• 클리퍼드 가군 다발

참고 문헌

1. Berline, N.; Getzler, E.; Vergne, M. (1992). 《Heat kernels and Dirac operators》. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften (영어) 298. Springer-Verlag.

외부 링크

• “Clifford bundle”. 《nLab》 (영어).