틀다발

위상수학에서 틀다발(영어: frame bundle)은 임의의 벡터 다발에 대응되는, 일반 선형군을 올로 삼는 특별한 주다발이다.^{[1]:§4.3, 121–131} 벡터 다발의 틀다발은 원래 벡터 다발의 위상수학적 정보를 담고 있으며, 원래 벡터 다발은 틀다발의 연관 벡터 다발로서 재구성된다.

정의

틀

${\displaystyle n}$차원 실수 벡터 공간 ${\displaystyle V}$ 위의 ${\displaystyle k}$차 틀(영어: frame)은 다음 조건을 만족시키는 미분 동형 사상

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to V}$

${\displaystyle f\colon 0\mapsto 0}$

의 ${\displaystyle k}$차 제트 ${\displaystyle \mathrm {j} _{0}^{k}}$이다. (그러나 ${\displaystyle f}$가 선형 변환일 필요는 없다.) 이제, ${\displaystyle k}$차 틀들의 집합을 ${\displaystyle \operatorname {Frame} _{k}(V)}$라고 표기하자. 그 위에는 ${\displaystyle k}$차 제트 군 ${\displaystyle \operatorname {Frame} _{k}(\mathbb {R} ^{k})=\operatorname {Jet} (n,k)}$의 자연스러운 오른쪽 작용이 존재한다.

${\displaystyle (\mathrm {j} _{0}^{k}f)\cdot (\mathrm {j} _{0}^{k}g)=\mathrm {j} _{0}^{k}(f\circ g)\qquad \forall \mathrm {j} _{0}^{k}f\in \operatorname {Frame} _{k}(V),\;\mathrm {j} _{0}^{k}g\in \operatorname {Jet} (n,k)}$

특히, 1차 틀은 단순히 전단사 실수 선형 변환 ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to V}$에 불과하다.^{[1]:121, §4.3}

틀다발

위상 공간 ${\displaystyle X}$ 위의 ${\displaystyle n}$차원 벡터 다발 ${\displaystyle \pi \colon E\twoheadrightarrow X}$이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 각 ${\displaystyle x\in X}$에 대하여 올 ${\displaystyle E_{x}}$는 실수 벡터 공간을 이룬다. 이제, 다음과 같은 집합을 생각하자.

${\displaystyle \mathrm {F} ^{n}E=\bigsqcup _{x\in X}\operatorname {Frame} _{k}(E_{x})}$

이 위에는 제트 군 ${\displaystyle \operatorname {Jet} (n,k)=\operatorname {Frame} _{k}(\mathbb {R} ^{n})}$의 오른쪽 작용이 다음과 같이 자연스럽게 존재한다.

${\displaystyle \mathrm {j} _{0}^{k}f\cdot \mathrm {j} _{0}^{k}g=\mathrm {j} _{0}^{k}(f\circ g)\qquad \forall x\in X,\;f\in \operatorname {Frame} _{k}(E_{x}),\;g\in \operatorname {Jet} (n,k)}$

이 위에는 다음과 같이 자연스럽게 위상을 줄 수 있다. 구체적으로, ${\displaystyle E}$의 국소 자명화 ${\displaystyle (U_{i},\phi _{i})}$는 부분 집합 ${\displaystyle U_{i}\subseteq X}$ 및 위상 동형

${\displaystyle \phi _{i}\colon \pi ^{-1}(U_{i})\to U_{i}\times \mathbb {R} ^{k}}$

으로 구성된다. 이에 따라, 전단사 함수

${\displaystyle \bigsqcup _{x\in U_{i}}\operatorname {Frame} _{k}(E_{x})\to U_{i}\times \operatorname {Jet} (n,k)}$

를 정의할 수 있으며, 이를 통해 ${\displaystyle \textstyle \bigsqcup _{x\in U_{i}}\operatorname {Frame} _{k}(E_{x})}$에 위상을 부여할 수 있다. 이러한 위상들은 서로 호환되며, 이들을 짜깁기하여 ${\displaystyle \mathrm {F} ^{n}E}$ 전체에 위상을 줄 수 있다.

그렇다면, 자연스러운 사영 함수

${\displaystyle \mathrm {F} ^{n}E\twoheadrightarrow X}$

${\displaystyle (\phi \in \in \operatorname {Frame} _{k}(E_{x}))\mapsto x}$

는 ${\displaystyle X}$ 위의, 올 ${\displaystyle \operatorname {Jet} (n,k)}$의 올다발을 이룬다. 또한, ${\displaystyle \operatorname {Jet} (n,k)}$의 오른쪽 작용을 통하여 이는 ${\displaystyle \operatorname {Jet} (n,k)}$-주다발을 이룬다. 이를 ${\displaystyle E}$의 ${\displaystyle k}$차 틀다발(${\displaystyle k}$次-, 영어: ${\displaystyle k}$th-order frame bundle)이라고 한다.^{[2]:122, §12.12[3]:Definition 3.2}

흔히, 만약 ${\displaystyle k}$가 생략되었다면 1차 틀다발 ${\displaystyle \mathrm {F} E=\mathrm {F} ^{1}E}$를 뜻한다.

군 구조를 갖춘 다양체 위의 틀다발

직교 틀다발

다양체 ${\displaystyle M}$ 위의 ${\displaystyle k}$차원 벡터 다발 ${\displaystyle \pi \colon E\twoheadrightarrow X}$이 주어졌다고 하고, 또 그 위에 부호수 ${\displaystyle (p,q)}$ (${\displaystyle p+q=k}$)의 내적 ${\displaystyle g}$가 주어졌다고 하자. 즉, 어떤 단면

${\displaystyle g\in \Gamma (\operatorname {Sym} ^{2}E^{*})}$

가 주어졌으며, 임의의 ${\displaystyle x\in M}$에 대하여 ${\displaystyle g_{x}}$는 ${\displaystyle E_{x}}$ 위의, 부호수 ${\displaystyle (p,q)}$의 비퇴화 이차 형식을 이룬다고 하자.

이제, 다음과 같은 집합을 생각하자.

${\displaystyle \mathrm {F} _{\operatorname {o} }E=\bigsqcup _{x\in X}\operatorname {Hilb} (\mathbb {R} ^{(p,q)};E_{x},g_{x})}$

여기서,

• ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p,q}}$는 부호수 ${\displaystyle (p,q)}$의 민코프스키 공간이다. 즉, 실수 벡터 공간 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$ 위에 이차 형식 ${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{p}^{2}-x_{p+1}^{2}-\cdots -x_{k}^{2}}$을 부여한 것이다.
• ${\displaystyle \operatorname {Hilb} (-;-)}$는 유니터리 변환(즉, 이차 형식을 보존하는 선형 변환)들의 집합이다.

이 경우, 위와 마찬가지로 자연스럽게 직교군 ${\displaystyle \operatorname {O} (p,q;\mathbb {R} )}$의 오른쪽 작용이 존재하며, 또한 자연스럽게 위상을 부여하여 ${\displaystyle \operatorname {O} (p,q;\mathbb {R} )}$-주다발로 만들 수 있다. 이를 직교 틀다발(直交-, 영어: orthogonal frame bundle)이라고 한다.^{[2]:94, §10.11}

위와 비슷하게, 적절한 가향성 가정 아래, ${\displaystyle \operatorname {O} (p,q)}$ 대신 특수 직교군 ${\displaystyle \operatorname {SO} (p,q)}$를 사용하여, ${\displaystyle \operatorname {SO} (p,q)}$-주다발인 특수 직교 틀다발(特殊直交-, 영어: special orthogonal frame bundle) ${\displaystyle \mathrm {F} _{\operatorname {SO} }E}$을 정의할 수 있다.

복소수 틀다발

위와 마찬가지로, 복소구조가 주어진 ${\displaystyle 2n}$차원 벡터 다발 ${\displaystyle E}$의 경우, 복소수 틀다발(영어: complex frame bundle) ${\displaystyle \mathrm {F} _{\mathbb {C} }E}$을 정의할 수 있다. 이는 올이 복소수 일반 선형군 ${\displaystyle \operatorname {GL} (n;\mathbb {C} )}$인 주다발이다.

또한, 추가로 에르미트 구조가 주어졌다면, 마찬가지로 유니터리 틀다발(영어: unitary frame bundle) ${\displaystyle \mathrm {F} _{\operatorname {U} }E}$을 정의할 수 있으며, 그 올은 ${\displaystyle \operatorname {U} (n)}$이다.

성질

포함 관계

부호수 ${\displaystyle (p,q)}$의 내적이 주어진 벡터 다발 ${\displaystyle E}$를 생각하자. 군의 포함 관계 ${\displaystyle \operatorname {O} (p,q;\mathbb {R} )\subseteq \operatorname {GL} (p+q;\mathbb {R} )}$에 따라, 자연스러운 포함 관계 ${\displaystyle \mathrm {F} _{\operatorname {O} }E\subseteq \mathrm {F} E}$가 존재한다.

연관 다발과의 관계

${\displaystyle k}$차원 다양체 ${\displaystyle M}$의 접다발 ${\displaystyle \mathrm {T} M}$의 틀다발 ${\displaystyle \mathrm {FT} M}$을 생각하자. 이 주다발의, ${\displaystyle \operatorname {GL} (k;\mathbb {R} )}$의 벡터 표현을 사용한 연관 벡터 다발은 접다발 ${\displaystyle \mathrm {T} M}$이다. 즉, 틀다발과 연관 다발은 서로 일종의 역을 이룬다.

마찬가지로, ${\displaystyle (p,q)}$차원 일반화 리만 다양체 ${\displaystyle (M,g)}$의 직교 틀다발 ${\displaystyle \mathrm {F} _{\operatorname {O} }\mathrm {T} M}$을 생각하자. 이 주다발의, ${\displaystyle \operatorname {O} (p,q;\mathbb {R} )}$의 벡터 표현을 사용한 연관 벡터 다발은 접다발 ${\displaystyle \mathrm {T} M}$이다.

함자성

국소 미분 동형 사상 ${\displaystyle \phi \colon M\to N}$이 주어졌을 때, 다음과 같은 자연스러운 매끄러운 주다발 사상이 존재한다.

${\displaystyle \mathrm {F} ^{k}\phi \colon \mathrm {F} ^{k}M\to \mathrm {F} ^{k}N}$

${\displaystyle \mathrm {F} ^{k}\phi \colon (x,\mathrm {j} _{0}^{k}f)\to \left(\phi (x),\mathrm {j} _{0}^{k}(\mathrm {T} _{x}\phi \circ f)\right)\qquad (x\in M,\;f\colon \mathbb {R} ^{\dim M}\to \mathrm {T} _{x}M)}$

이에 따라, ${\displaystyle \mathrm {F} ^{k}}$는 ${\displaystyle n}$차원 매끄러운 다양체와 국소 미분 동형 사상들의 범주에서, ${\displaystyle \operatorname {Jet} (n,k)}$-매끄러운 주다발을 갖춘 ${\displaystyle n}$차원 매끄러운 다양체와 매끄러운 주다발 사상들의 범주로 가는 함자를 이룬다.^{[3]:Defintion 3.8}

접속

일반화 리만 다양체 ${\displaystyle (M,g)}$의 직교 틀다발 ${\displaystyle \mathrm {F} _{\operatorname {O} }\mathrm {T} M}$의 주접속 ${\displaystyle \omega }$가 주어졌다고 하자.

그렇다면, 군 표현 ${\displaystyle \operatorname {O} (p,q;\mathbb {R} )\to \mathrm {T} _{x}M\otimes \mathrm {T} _{x}^{*}M}$으로부터 다음과 같은 선형 사상을 정의할 수 있다.

${\displaystyle \kappa \colon {\mathfrak {o}}(p,q;\mathbb {R} )\otimes {\mathcal {C}}^{\infty }(M;\mathbb {R} )\to \Gamma (\mathrm {T} M\otimes \mathrm {T} ^{*}M)}$

이에 따라, 틀다발의 주접속 ${\displaystyle \omega }$로부터 접다발의 코쥘 접속 ${\displaystyle \nabla \colon \Gamma (\mathrm {T} M)\to \Gamma (\mathrm {T} M\otimes \mathrm {T} ^{*}M)}$을 다음과 같이 정의할 수 있다.

${\displaystyle \kappa (\omega (X))=\nabla X}$

이와 같이 정의한 접다발의 코쥘 접속의 리만 곡률은 틀다발의 주접속의 곡률과 같은 정보를 담고 있다 (이 둘 사이는 ${\displaystyle \kappa }$ 등으로 바꿀 수 있다).

반대로, 일반화 리만 다양체의 접다발에는 이미 또하나의 코쥘 접속 (레비치비타 접속)이 정의되어 있다. 따라서 레비치비타 접속으로부터 그 틀다발에 주접속을 정의할 수 있는데, 이를 스핀 접속이라고 한다.