일반화 리만 다양체

미분기하학에서 일반화 리만 다양체(一般化Riemann多樣體, 영어: generalized Riemannian manifold)는 리만 계량과 2차 미분 형식을 갖춘 매끄러운 다양체이다.

이 문서는 2차 미분 형식과 정부호 리만 계량을 갖춘 다양체에 관한 것입니다. 부정부호 계량을 갖춘 다양체에 대해서는 준 리만 다양체 문서를 참고하십시오.

정의

일반화 리만 다양체의 개념은 여러 가지로 정의될 수 있으며, 이 정의들은 서로 동치이다.

미분 형식을 통한 정의

일반화 리만 다양체 ${\displaystyle (M,g,B)}$는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

• 리만 다양체 ${\displaystyle (M,g)}$
• 2차 미분 형식 ${\displaystyle B\in \Omega ^{2}(M)}$

일반화 접다발을 통한 정의

매끄러운 다양체 ${\displaystyle M}$ 위의 일반화 접다발은 다음과 같은 ${\displaystyle 2\dim M}$차원 매끄러운 벡터 다발이다.

${\displaystyle E=\mathrm {T} M\oplus \mathrm {T} ^{*}M}$

즉, 접다발과 공변접다발의 직합이다. 그 위에는 자연스러운 쌍선형 형식

${\displaystyle \langle X+\alpha ,Y+\beta \rangle ={\frac {\alpha (Y)+\beta (X)}{2}}}$

이 존재하며, 그 부호수는 ${\displaystyle (\dim M,\dim M)}$이다. 이에 따라 자연스러운 벡터 다발 동형 사상

${\displaystyle E\cong E^{*}}$

이 존재한다.

${\displaystyle M}$ 위의 일반화 리만 계량

${\displaystyle G\colon E\to E}$

은 다음 조건들을 만족시키는 벡터 다발 사상이다.^[1]:§1.1

• (자기 수반) ${\displaystyle G^{\top }=G}$이다. 즉, ${\displaystyle \langle x,Gy\rangle =\langle Gx,y\rangle }$이다.
• (직교성) ${\displaystyle G}$는 벡터 다발의 동형 사상이며, ${\displaystyle G=G^{-1}}$이다.
• (정부호성) ${\displaystyle \langle G-,-\rangle }$는 양의 정부호이다.

두 정의 사이의 관계

이 두 정의는 서로 동치이다.^{[2]:Proposition 2.1}

일반화 접다발 ${\displaystyle E=\mathrm {T} M\oplus \mathrm {T} ^{*}M}$ 위의 일반화 리만 계량 ${\displaystyle G}$가 주어졌다면, ${\displaystyle G^{2}=1}$이므로 그 고윳값은 ±1이다. 즉, ${\displaystyle E}$는 고유 공간

${\displaystyle E=E^{+}\oplus E^{-}}$

로 분해되며, 이들은 서로 직교이다.

${\displaystyle \langle E^{+},E^{-}\rangle =0}$

이 부분 공간 ${\displaystyle E^{+}}$는 어떤 벡터 다발 사상 ${\displaystyle \mathrm {T} M\to \mathrm {T} ^{*}M}$의 그래프로 해석할 수 있다. 이 벡터 다발 사상은 대칭 성분과 반대칭 성분으로 분해하여

${\displaystyle g+B}$

로 쓸 수 있으며, 이는 각각 리만 계량과 2차 미분 형식에 해당한다. 마찬가지로, ${\displaystyle E^{-}}$는 ${\displaystyle B-g}$의 그래프가 된다.

${\displaystyle E_{x}^{\pm }=\{X+B(X,-)\pm g(X,-)\colon X\in \mathrm {T} _{x}M\}}$

예

모든 켈러 다양체는 (심플렉틱 형식과 리만 계량을 사용하여) 자연스럽게 일반화 리만 다양체를 이룬다.