스핀 다양체

미분위상수학에서 스핀 다양체(spin多樣體, 영어: spin manifold)는 스피너장을 정의할 수 있는 다양체다.^[1][2] 즉, 직교 틀다발 ${\displaystyle P_{\operatorname {SO} }M\to M}$을 이중 피복 공간 ${\displaystyle \operatorname {Spin} (n)\to \operatorname {SO} (n)}$에 대하여 적절히 주다발 ${\displaystyle P_{\mathrm {Spin} }M\to M}$으로 확장할 수 있는 가향 (준) 리만 다양체다.

정의

임의의 두 자연수 ${\displaystyle (p,q)}$에 대하여, 스핀 군에서 특수 직교군으로 가는 표준적인 2겹 전사 군 준동형

${\displaystyle \rho \colon \operatorname {Spin} (p,q)\to \operatorname {SO} (p,q;\mathbb {R} )}$

이 존재한다.

파라콤팩트 공간 ${\displaystyle M}$ 위의 ${\displaystyle \operatorname {SO} (p,q)}$-주다발 ${\displaystyle \pi _{\operatorname {SO} }\colon P\twoheadrightarrow M}$ 위의 스핀 구조(spin構造, 영어: spin structure)란 다음 데이터로 구성된다.

• Spin(p,q)-주다발 ${\displaystyle \pi _{\operatorname {Spin} }\colon P_{\mathrm {Spin} }(M)\to M}$
• 이중 피복 공간 ${\displaystyle p\colon P_{\operatorname {Spin} }(M)\twoheadrightarrow P_{\operatorname {SO} }(M)}$

이 데이터는 다음 두 조건을 만족시켜야 한다.

• ${\displaystyle \pi _{\operatorname {SO} }\circ p=\pi _{\operatorname {Spin} }}$
• 임의의 ${\displaystyle x\in P_{\operatorname {Spin} }}$, ${\displaystyle h\in \operatorname {Spin} (n)}$에 대하여 ${\displaystyle p(x\cdot h)=p(x)\cdot \rho (h)}$이다. (여기서 ${\displaystyle \cdot }$은 주다발 위의 군의 작용이다.) 즉, 군의 작용은 ${\displaystyle p}$와 가환한다.

파라콤팩트 공간 ${\displaystyle M}$ 위의 유향(有向) 벡터 다발 ${\displaystyle E}$ 위의 스핀 구조는 ${\displaystyle E}$의 직교 틀다발 ${\displaystyle P_{\operatorname {SO} }(E)}$ 위의 스핀 구조이다.

매끄러운 다양체 ${\displaystyle M}$ 위의 스핀 구조는 그 접다발 ${\displaystyle \mathrm {T} M}$(의 틀다발) 위의 스핀 구조이다. 스핀 다양체는 스핀 구조를 지닌 가향 준 리만 다양체다.

스피너 다발

${\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}$라고 하고, 스핀 군 ${\displaystyle \operatorname {Spin} (p,q)}$의 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-선형 표현

${\displaystyle \kappa \colon \operatorname {Spin} (p,q)\to \operatorname {GL} (\Delta$ ;\mathbb {K} )}

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 올이 ${\displaystyle \Delta }$인 복소수 연관 벡터 다발

${\displaystyle S=P_{\operatorname {Spin} }\times _{\kappa }\Delta }$

을 정의할 수 있다.

특히, ${\displaystyle \operatorname {Spin} (p,q)}$는 항상 ${\displaystyle 2^{\lfloor (p+q)/2\rfloor }}$차원 복소수 표현(디랙 스피너)을 갖는다. 이에 대응되는 복소수 벡터 다발을 디랙 스피너 다발 ${\displaystyle \mathrm {S} M}$이라고 한다. 만약 ${\displaystyle p+q}$가 짝수라면, 디랙 스피너는 왼쪽·오른쪽 바일 스피너의 직합으로 표현되며, 디랙 스피너 다발은 다음과 같은 두 바일 스피너 다발의 직합으로 분해된다.

${\displaystyle \mathrm {S} M=\mathrm {S} ^{+}M\oplus \mathrm {S} ^{-}M}$

만약 ${\displaystyle (p-q){\bmod {8}}\in \{0,\pm 1,\pm 2\}}$라면, 마찬가지로 마요라나 스피너 다발 ${\displaystyle \mathrm {S} _{\mathbb {R} }M}$을 정의할 수 있다. 이는 실수 벡터 다발이며,

${\displaystyle \mathrm {S} M=\mathrm {S} _{\mathbb {R} }M\otimes \mathbb {C} }$

이다. 만약 ${\displaystyle p-q}$가 8의 배수라면, 마요라나-바일 스피너 다발 ${\displaystyle \mathrm {S} _{\mathbb {R} }^{\pm }M}$이 존재하며,

${\displaystyle \mathrm {S} _{\mathbb {R} }^{\pm }M\otimes \mathbb {C} =\mathrm {S} ^{\pm }M}$

${\displaystyle \mathrm {S} _{\mathbb {R} }^{+}M\oplus \mathrm {S} _{\mathbb {R} }^{-}M=\mathrm {S} _{\mathbb {R} }M}$

이다.

스핀 다양체 위의 스피너장(spinor場, 영어: spinor field)은 스피너 다발의 매끄러운 단면이다.

성질

가향 다양체 ${\displaystyle M}$ 위에 스핀 구조가 존재할 필요 충분 조건은 2차 슈티펠-휘트니 특성류

${\displaystyle \mathrm {w} _{2}(M)\in \mathrm {H} ^{2}(M,\mathbb {Z} /2)}$

가 0인지 여부이다.^{[3]:115, Proposition 3.34}

분류

만약 매끄러운 다양체 ${\displaystyle M}$ 위에 스핀 구조가 존재한다면, 그 스핀 구조들의 집합은 코호몰로지류 ${\displaystyle \operatorname {H} ^{1}(M,\mathbb {Z} /2)}$의 집합과 일대일 대응한다.^{[3]:115, Proposition 3.34} 이 대응성은 표준적(canonical)이지 않으며, 구체적으로 스핀 구조들의 집합은 ${\displaystyle \operatorname {H} ^{1}(M,\mathbb {Z} /2)}$에 대한 아핀 공간이다.

직관적으로 해석하면, 축약 불가능 폐곡선들을 따라 스피너를 평행 운송하였을 때 그 부호가 ±인지 여부가 스핀 구조를 결정짓는다. 이는 양자장론에서 페르미온의 라몽 경계 조건(영어: Ramond boundary condition, +) 및 느뵈-슈워츠 경계 조건(영어: Neveu–Schwartz boundary condition, −)의 선택에 대응한다.

예

다음과 같은 다양체들은 적어도 하나의 스핀 구조를 갖는다.

• 종수 g의 콤팩트 리만 곡면은 2^2g개의 스핀 구조를 갖는다. 이들은 대수기하학에서 세타 지표(영어: theta characteristic)라고 불린다.
• 모든 3차원 이하 콤팩트 유향 다양체는 스핀 구조를 갖는다.
• 초구 Sⁿ는 모두 스핀 구조를 갖는다. ${\displaystyle n\neq 1}$일 때 이는 유일하며, 원 ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}}$은 두 개의 스핀 구조를 갖는다.
• 홀수 차원 복소수 사영 공간 ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{2k+1}}$은 스핀 구조를 갖는다.
• 모든 칼라비-야우 다양체는 스핀 구조를 갖는다.

다음과 같은 다양체들은 스핀 구조를 하나도 가지지 않는다.

• 짝수 차원 복소수 사영 공간 ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{2k}}$은 스핀 구조를 갖지 않는다.

낮은 차원의 벡터 다발의 스핀 구조

0차원에서는 Spin(0) = SO(0)이므로, 스핀 구조는 자명하다. 이는 1차원에서도 마찬가지다.

2차원에서는 Spin(2) = U(1) = SO(2)이지만, 이 경우 Spin(2)는 SO(2)의 2겹 피복이다. 이를 2차원 벡터 다발로 여길 경우, SO(2)=U(1) 구조를 갖는 2차원 벡터 다발은 에르미트 계량을 가진 복소수 선다발에 해당한다. 이 경우, 이 복소수 선다발 ${\displaystyle L}$의 스핀 구조는 복소수 선다발의 (텐서곱에 대한) 제곱근, 즉

${\displaystyle {\sqrt {L}}\otimes {\sqrt {L}}\cong L}$

이 되는 복소수 선다발 ${\displaystyle L}$에 해당한다.

각주

1. Lawson, H. Blaine; Marie-Louise Michelsohn (1989). 《Spin Geometry》. Princeton Mathematical Series (영어) 38. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-08542-5. 더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
2. Friedrich, Thomas (2000). 《Dirac Operators in Riemannian Geometry》. Graduate Studies in Mathematics (영어) 25. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-2055-1.
3. Berline, N.; Getzler, E.; Vergne, M. (1992). 《Heat kernels and Dirac operators》. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften (영어) 298. Springer-Verlag.

• Ebert, Johannes Felix (2006년 7월). 《Characteristic classes of spin surface bundles: Applications of the Madsen-Weiss theory》 (PDF) (영어). 박사 학위 논문. Universität Bohn. 2015년 3월 26일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2013년 1월 18일에 확인함.

같이 보기

• 스핀 접속
• 스피너
• 스핀C 다양체

외부 링크

• Alekseevskii, D.V. (2001). “Spinor structure”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. ISBN 978-1-55608-010-4.
• “Spin structure”. 《nLab》 (영어).
• “Twisted spin structure”. 《nLab》 (영어).
• “Differential spin structure”. 《nLab》 (영어).