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왼쪽에서 소거 가능한 사상 위키백과, 무료 백과사전
범주론에서 단사 사상(單射寫像, 영어: monomorphism)은 두 사상의 등식에서 왼쪽에 합성되어 있을 때, 소거할 수 있는 사상이다. 전사 사상의 반대 개념이다.
범주 의 사상 가 다음 조건을 만족시키면, 단사 사상이라고 한다.
영 사상을 갖는 범주 에서, 어떤 사상 의 핵 으로 나타내어질 수 있는 사상을 정규 단사 사상이라고 한다. 정규 단사 사상은 항상 단사 사상이다. 이 개념은 군론에서의 정규 부분군의 개념의 일반화이다.
범주 에서, 강한 단사 사상(強-單射寫像, 영어: strong monomorphism)은 모든 전사 사상에 대하여 오른쪽 유일 올림 성질을 만족시키는 단사 사상이다. 즉, 단사 사상 가 다음 조건을 만족시킨다면 강한 단사 사상이라고 한다.
범주 의 단사 사상 가 다음 조건을 만족시키면, 극단 단사 사상(極端單射寫像, 영어: extremal monomorphism)이라고 한다.
다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
분할 단사 사상이 정칙 단사 사상인 이유는 분할 단사 사상 및 그 왼쪽 역사상 이 주어졌을 때 이기 때문이다.
단사 사상의 합성은 단사 사상이다. 극단 단사 사상의 합성은 극단 단사 사상일 필요가 없다. 예를 들어, 다음과 같은 그림으로 나타낸 범주를 생각하자.
이 범주에서 와 는 극단 단사 사상이지만, 는 극단 단사 사상이 아니다.
단사 사상은 당김의 특수한 경우이므로, 당김을 보존하는 함자에 대한 상에 의하여 보존된다. 단사 사상은 충실한 함자에 대한 원상에 의하여 보존된다.
요네다 매장을 통하여, 단사 사상의 조건을 준층 범주에서 해석할 수 있다. 즉, 국소적으로 작은 범주 속의 사상 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.
범주 의 단사 사상은 그 반대 범주 의 전사 사상이다.
구체적 범주 에서, 함수로서 단사 함수인 사상은 단사 사상이다. 그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 다만, 만약 자유 대상이 존재한다면, 즉 망각 함자 의 왼쪽 수반 함자 가 존재한다면, 그 역 또한 성립한다. 특히, 대수 구조 다양체의 범주의 경우, 항상 자유 대수 구조가 존재하므로 모든 단사 사상은 단사 함수이다.
여러 구체적 범주에서, 단사 사상들은 단사 함수인 준동형이다.
그러나 이는 항상 성립하지 않는다.
체의 범주에서는 모든 사상(체의 확대)이 단사 사상이다.
(이 범주에서는 영 사상이 존재하지 않아, 정규 단사 사상을 정의할 수 없다.)
위상 공간과 연속 함수의 범주 에서는 다음이 성립한다.
(이 범주에서는 영 사상이 존재하지 않아, 정규 단사 사상을 정의할 수 없다.)
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