Ext 함자

호몰로지 대수학에서 Ext 함자(Ext函子, 영어: Ext functor)는 아벨 범주의 두 대상 사이를 잇는 완전열들을 분류하는 함자이다. 사상군 함자의 유도 함자와 같다.

정의

Ext 함자는 세 가지로 정의할 수 있다.

• Ext 함자는 특정 완전열들의 동치류 집합으로 정의할 수 있다. 이는 가장 구체적이지만 복잡하며, 또 집합론적 문제가 발생할 수 있다 (즉, Ext 함자의 값이 고유 모임일 수 있다). 이 정의는 요네다 노부오가 도입하였다.^[1]
• 단사 대상을 충분히 가지는 범주 또는 사영 대상을 충분히 가지는 범주에서, Ext 함자는 오른쪽 유도 함자 또는 왼쪽 유도 함자를 사용하여 정의할 수 있다. 이 경우 집합론적 문제가 발생하지 않지만, 이는 단사 대상 또는 사영 대상이 부족한 아벨 범주에서는 사용할 수 없다.
• 유도 범주의 개념을 사용하면 Ext 함자는 매우 간단하게 정의된다. 그러나 유도 함자의 존재 역시 여러 집합론적 문제를 야기한다.

대수학에서 가장 중요한 경우인 환 위의 가군 범주의 경우 단사 대상을 충분히 가지는 범주이자 사영 대상을 충분히 가지는 범주이므로, 유도 함자 정의를 사용할 수 있다.

완전열을 통한 정의

0차 Ext

임의의 아벨 범주 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$에 대하여, 0차 Ext 함자는 다음과 같은 사상군 함자이다.

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathcal {A}}^{0}(-,-)=\hom _{\mathcal {A}}(-,-)\colon {\mathcal {A}}^{\operatorname {op} }\times {\mathcal {A}}\to \operatorname {Ab} }$

1차 Ext

임의 아벨 범주 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$의 대상 ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {A}}}$에 대하여, ${\displaystyle A}$의 ${\displaystyle B}$에 대한 확대(영어: extension of ${\displaystyle A}$ by ${\displaystyle B}$)는 다음과 같은 짧은 완전열이다.

${\displaystyle 0\to B\to X\to A\to 0}$

두 확대 사이에 다음 그림을 가환하게 만드는 사상 ${\displaystyle X\to X'}$이 존재한다면, 두 확대가 서로 동치라고 한다.

${\displaystyle {\begin{matrix}0\to &B&\to &X&\to &A&\to 0\\&\|&&\downarrow \scriptstyle \wr &&\|\\0\to &B&\to &X'&\to &A&\to 0\end{matrix}}}$

(이 사상 ${\displaystyle X\to X'}$은 짧은 5항 보조정리에 따라서 항상 동형 사상이다.) 이는 확대에 대한 동치 관계를 이룬다.

확대의 동치류들은 베어 합(영어: Baer sum)이라는 연산 아래 아벨 군을 이룬다.^{[2]:78, Definition 3.4.4} 두 확대 ${\displaystyle 0\to B{\xrightarrow {\iota }}X{\xrightarrow {\pi }}A\to 0}$, ${\displaystyle 0\to B{\xrightarrow {\iota '}}X'{\xrightarrow {\pi '}}A\to 0}$가 주어졌을 때, ${\displaystyle Y}$를 ${\displaystyle X}$와 ${\displaystyle X'}$의 ${\displaystyle A}$에 대한 당김이라고 하자. 미첼 매장 정리를 사용하면, 이는 다음과 같다.

${\displaystyle X\oplus X\supseteq Y=\{(x,x')\in X\oplus X'\colon \pi (x)=\pi '(x)\}\supseteq \iota (B)\oplus \iota '(B)}$

즉, ${\displaystyle Y}$는 ${\displaystyle B}$를 두 번 부분 대상으로 포함한다. 대각 사상 ${\displaystyle \operatorname {diag} _{B}\colon B\to B\oplus B}$사용하여, ${\displaystyle Y}$의 몫대상

${\displaystyle X''={\frac {Y}{\left((\iota ,-\iota ')\circ \operatorname {diag} _{B}\right)(B)}}}$

을 정의할 수 있다. 이는 ${\displaystyle Y}$ 속에 존재하는 두 개의 ${\displaystyle B}$를 하나로 합치는 것이다. 그렇다면

${\displaystyle 0\to B\to X''\to A\to 0}$

는 짧은 완전열을 이룬다. ${\displaystyle 0\to X\to X''\to A\to 0}$의 동치류를 ${\displaystyle 0\to B{\xrightarrow {\iota }}X{\xrightarrow {\pi }}A\to 0}$, ${\displaystyle 0\to B{\xrightarrow {\iota '}}X'{\xrightarrow {\pi '}}A\to 0}$의 동치류의 베어 합(영어: Baer sum)이라고 한다. 확대의 동치류들은 베어 합 아래 아벨 군을 이룬다. 베어 합의 항등원은 분할 완전열 ${\displaystyle 0\to B\to A\oplus B\to A\to 0}$이며, 확대 ${\displaystyle 0\to B{\xrightarrow {\iota }}X{\xrightarrow {\pi }}A\to 0}$의 베어 합에 대한 역원은 ${\displaystyle 0\to B{\xrightarrow {-\iota }}X{\xrightarrow {\pi }}A\to 0}$ 또는 ${\displaystyle 0\to B{\xrightarrow {\iota }}X{\xrightarrow {-\pi }}A\to 0}$이다. (이 둘은 서로 동치이다.)

${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 속의 대상 ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {A}}}$에 대하여, 1차 Ext 함자 ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathcal {A}}^{1}(A,B)}$는 ${\displaystyle A}$의 ${\displaystyle B}$에 대한 확대들의 동치류 집합이다. 이는 베어 합 아래 아벨 군을 이루며, 함자

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathcal {A}}^{1}(-,-)\colon {\mathcal {A}}^{\operatorname {op} }\times {\mathcal {A}}\to \operatorname {Ab} }$

를 정의한다. 또한, 각 ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$에 대하여

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathcal {A}}^{1}(A,-)\colon {\mathcal {A}}^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Ab} }$

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathcal {A}}^{1}(-,A)\colon {\mathcal {A}}^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Ab} }$

는 둘 다 가법 함자를 이룬다.

위 정의에서, 집합론적 문제를 무시하였다. 사실, (국소적으로 작은) 아벨 범주의 경우 1차 Ext 함자의 값이 고유 모임일 수 있다.^{[3]:131, Exercise 6.A} 물론, 작은 아벨 범주에 대해서는 이러한 문제가 생기지 않는다. 또한, 단사 대상을 충분히 가지는 범주나 사영 대상을 충분히 가지는 범주에서는 유도 함자를 통한 정의를 사용할 수 있으며, 이 경우 집합론적 문제가 발생하지 않는다.

고차 Ext

2차 이상의 Ext 함자는 임의의 아벨 범주에 대하여 다음과 같이 정의할 수 있다.^{[1][4][2]:79–80, Vista 3.4.6[5]:82–87, §III.5}

아벨 범주 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$가 주어졌다고 하자. ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 속의 대상 ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$에 대하여, ${\displaystyle A}$의 ${\displaystyle B}$에 대한 ${\displaystyle n}$차 확대(영어: ${\displaystyle n}$-fold extension of ${\displaystyle A}$ by ${\displaystyle B}$)는 다음과 같은 완전열이다.

${\displaystyle 0\to B\to X_{n}\to X_{n-1}\to \cdots \to X_{1}\to A\to 0}$

두 ${\displaystyle n}$차 확대 ${\displaystyle (B,X_{\bullet },A)}$, ${\displaystyle (B',X_{\bullet }',A')}$ 사이에 다음과 같은 가환 그림이 존재한다면, ${\displaystyle (B,X_{\bullet },A)}$가 ${\displaystyle (B',X_{\bullet }',A')}$의 닮은 확대(영어: similar extension)라고 한다.

${\displaystyle {\begin{matrix}0\to &B&\to &X_{n}&\to &\cdots &\to &X_{1}&\to &A&\to 0\\&\|&&\downarrow &&\cdots &&\downarrow &&\|\\0\to &B'&\to &X_{n}'&\to &\cdots &\to &X_{1}'&\to &A'&\to 0\end{matrix}}}$

닮음 관계를 ${\displaystyle (B,X_{\bullet },A)\prec (B',X_{\bullet }',A')}$로 표기하자. 닮음 관계는 추이적 관계이지만 대칭 관계가 아니다. 닮음 관계로 생성되는 동치 관계를 생각하자. 즉, 두 ${\displaystyle n}$차 확대 ${\displaystyle (B,X_{\bullet },A)}$, ${\displaystyle (B',X_{\bullet }',A')}$ 사이에 다음과 같은 ${\displaystyle n}$차 확대들의 열

${\displaystyle (B,X_{\bullet },A)=(B^{(0)},X_{\bullet }^{(0)},A^{(0)}),(B^{(1)},X_{\bullet }^{(1)},A^{(1)}),\dots ,(B^{(k)},X_{\bullet }^{(k)},A^{(k)})=(B',X_{\bullet }',A')}$

이 존재하며, 이 열이 다음 조건을 만족시킨다면, ${\displaystyle (B,X_{\bullet },A)}$와 ${\displaystyle (B',X_{\bullet }',A')}$가 서로 동치라고 하자.

모든 ${\displaystyle i=1,2,\dots ,k}$에 대하여, ${\displaystyle (B^{(i-1)},X_{\bullet }^{(i-1)},A^{(i-1)})\prec (B^{(i)},X_{\bullet }^{(i)},A^{(i)})}$이거나 또는 ${\displaystyle (B^{(i)},X_{\bullet }^{(i)},A^{(i)})\prec (B^{(i-1)},X_{\bullet }^{(i-1)},A^{(i-1)})}$이다.

사실, 이 동치는 두 단계로 족하다. 즉, 다음 세 조건이 서로 동치이다.^[6]

• ${\displaystyle (B,X_{\bullet },A)}$와 ${\displaystyle (B',X_{\bullet }',A')}$가 서로 동치이다.
• ${\displaystyle (B,X_{\bullet },A)\prec (B'',X_{\bullet }'',A'')\succ (B',X_{\bullet }',A')}$인 ${\displaystyle n}$차 확대 ${\displaystyle (B'',X_{\bullet }'',A'')}$가 존재한다.
• ${\displaystyle (B,X_{\bullet },A)\succ (B'',X_{\bullet }'',A'')\prec (B',X_{\bullet }',A')}$인 ${\displaystyle n}$차 확대 ${\displaystyle (B'',X_{\bullet }'',A'')}$가 존재한다.

그렇다면, ${\displaystyle n}$차 Ext 함자 ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathcal {A}}^{n}(A,B)}$는 ${\displaystyle A}$의 ${\displaystyle B}$에 대한 ${\displaystyle n}$차 확대들의 동치류 집합이다.

두 ${\displaystyle n}$차 확대 ${\displaystyle (B,X_{\bullet },A)}$, ${\displaystyle (B',X_{\bullet }',A')}$가 주어졌을 때, ${\displaystyle Y_{i}}$를 다음과 같이 정의하자.

• ${\displaystyle i=1}$일 때, ${\displaystyle Y_{1}}$은 ${\displaystyle X_{1}}$과 ${\displaystyle X_{1}'}$의 ${\displaystyle A}$에 대한 당김이다.
• ${\displaystyle 1<i<n}$일 때, ${\displaystyle Y_{i}=X_{1}\oplus X_{1}'}$이다.
• ${\displaystyle i=n}$일 때, ${\displaystyle X_{n}{\xrightarrow {f}}{\tilde {Y}}{\xleftarrow {f'}}X_{n}'}$를 ${\displaystyle B{\xrightarrow {\iota }}X_{n}}$과 ${\displaystyle B{\xrightarrow {\iota '}}X_{n}}$의 ${\displaystyle B}$에 대한 밂이라고 하자. 그렇다면 대각 사상 ${\displaystyle \operatorname {diag} _{B}\colon B\to B\oplus B}$를 사용하여, ${\displaystyle (f\circ \iota ,-f'\circ \iota ')\circ \operatorname {diag} _{B}\colon B\to {\tilde {Y}}}$를 정의할 수 있다. 그렇다면, ${\displaystyle Y_{n}={\tilde {Y}}/((f\circ \iota ,-f'\circ \iota ')\circ \operatorname {diag} _{B})(B)}$이다.

그렇다면 ${\displaystyle (B,Y_{\bullet }',A)}$는 ${\displaystyle n}$차 확대를 이룬다. ${\displaystyle (B,X_{\bullet },A)}$의 동치류와 ${\displaystyle (B',X_{\bullet }',A')}$의 동치류의 합을 ${\displaystyle (B,Y_{\bullet }',A)}$의 동치류로 정의하자.

${\displaystyle [(B,X_{\bullet },A)]+[(B',X_{\bullet }',A')]=[(B,Y_{\bullet }',A)]}$

그렇다면, 이 합에 대하여 ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathcal {A}}^{n}(A,B)}$는 아벨 군을 이룬다. 또한, 이는 함자

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathcal {A}}^{n}(-,-)\colon {\mathcal {A}}^{\operatorname {op} }\times {\mathcal {A}}\to \operatorname {Ab} }$

를 이루며, 각 ${\displaystyle A\in {\mathcal {C}}}$에 대하여

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathcal {A}}^{n}(A,-)\colon {\mathcal {A}}\to \operatorname {Ab} }$

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathcal {A}}^{n}(-,A)\colon {\mathcal {A}}^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Ab} }$

둘 다 가법 함자를 이룬다.

요네다 합성

Ext는 가법 함자를 이루므로, 아벨 범주 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$의 대상 ${\displaystyle A,B,C\in {\mathcal {A}}}$에 대하여 다음과 같은 두 군 준동형이 존재한다. (여기서 ${\displaystyle \otimes }$는 아벨 군의 텐서곱이다.)

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathcal {A}}^{n}(A,B)\otimes \hom _{\mathcal {A}}(B,C)\to \operatorname {Ext} _{\mathcal {A}}^{n}(A,C)}$

${\displaystyle \hom _{\mathcal {A}}(A,B)\otimes \operatorname {Ext} _{\mathcal {A}}^{n}(B,C)\to \operatorname {Ext} _{\mathcal {A}}^{n}(A,C)}$

이는 ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathcal {A}}^{0}=\hom _{\mathcal {A}}}$와 ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathcal {A}}^{n}}$를 곱하는 것으로 볼 수 있다.

보다 일반적으로, 임의의 자연수 ${\displaystyle m,n\in \mathbb {N} }$에 대하여 다음과 같은, 요네다 합성(영어: Yoneda composition)이라는 군 준동형들이 존재한다.^{[5]:82–87, §III.5}

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathcal {A}}^{m}(A,B)\otimes \operatorname {Ext} _{\mathcal {A}}^{n}(B,C)\to \operatorname {Ext} _{\mathcal {A}}^{m+n}(A,C)}$

이는 구체적으로 다음과 같다. 두 완전열

${\displaystyle 0\to A\to X_{1}\to \cdots \to X_{m}{\xrightarrow {\pi }}B\to 0\qquad (m\geq 1)}$

${\displaystyle 0\to B{\xrightarrow {\iota }}Y_{1}\to \cdots \to Y_{n}\to C\to 0\qquad (m\geq 1)}$

이 주어졌을 때, 이들을 이어 다음과 같은 더 긴 완전열을 정의할 수 있다.

${\displaystyle 0\to A\to X_{1}\to \cdots \to X_{m}{\xrightarrow {\iota \circ \pi }}Y_{1}\to \cdots \to Y_{n}\to C\to 0}$

그렇다면 ${\displaystyle (A,X_{\bullet },B)}$의 동치류와 ${\displaystyle (B,Y_{\bullet },C)}$의 동치류의 요네다 합성은 ${\displaystyle (A,X_{\bullet },Y_{\bullet },C)}$의 동치류이다.

요네다 합성을 사용하여, 자연수 등급 아벨 군의 범주 ${\displaystyle \operatorname {GrAb} _{\mathbb {N} }}$ 위의 풍성한 범주 ${\displaystyle \operatorname {Ext} {\mathcal {A}}}$를 다음과 같이 정의할 수 있다.

• ${\displaystyle \operatorname {Ext} {\mathcal {A}}}$의 대상은 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$의 대상과 같다.
• ${\displaystyle \operatorname {Ext} {\mathcal {A}}}$의 사상군은 다음과 같은 자연수 등급 아벨 군이다.

  ${\displaystyle \hom _{\operatorname {Ext} {\mathcal {A}}}(A,B)=\bigoplus _{n}\operatorname {Ext} _{\mathcal {A}}^{n}(A,B)}$

• ${\displaystyle \operatorname {Ext} ({\mathcal {A}}}$에서 사상의 합성은 요네다 합성에 의하여 주어진다.
• ${\displaystyle \operatorname {Ext} {\mathcal {A}}}$에서 항등 사상은 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$에서의 항등 사상과 같다.

${\displaystyle \operatorname {Ext} {\mathcal {A}}}$에서, 각 사상군에서 양의 정수 등급 성분을 망각한다면, ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathcal {A}}^{0}=\hom _{\mathcal {A}}}$만 남으므로 원래 범주 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$를 얻는다.

특히, 대상 ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$에 대하여, ${\displaystyle \operatorname {Ext} {\mathcal {A}}}$에서의 자기 사상 등급 아벨 군

${\displaystyle \hom _{\operatorname {Ext} {\mathcal {A}}}(A,A)=\bigoplus _{n}\operatorname {Ext} _{\mathcal {A}}^{n}(A,A)}$

은 자연수 등급환을 이룬다.

유도 함자를 통한 정의

아벨 범주 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 속의 대상 ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$에 대하여,

${\displaystyle \hom _{\mathcal {A}}(A,-)\colon {\mathcal {A}}\to \operatorname {Ab} }$

는 왼쪽 완전 함자이며,

${\displaystyle \hom _{\mathcal {A}}(-,A)\colon {\mathcal {A}}^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Ab} }$

는 오른쪽 완전 함자이다. 따라서, 만약 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$가 단사 대상을 충분히 가지는 범주라면 ${\displaystyle \hom _{\mathcal {A}}(A,-)}$의 오른쪽 유도 함자를 Ext 함자라고 한다.

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathcal {C}}^{n}(A,-)=\operatorname {R} ^{n}\hom _{\mathcal {C}}(A,-)}$

만약 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$가 사영 대상을 충분히 가지는 범주라면 ${\displaystyle \hom _{\mathcal {A}}(-,A)}$의 왼쪽 유도 함자를 Ext 함자라고 한다.

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathcal {C}}^{n}(-,A)=\operatorname {L} ^{n}\hom _{\mathcal {C}}(-,A)}$

이 정의들은 (만약 존재한다면) 위의 일반적인 정의와 일치한다. 그러나 아벨 범주는 단사 대상이나 사영 대상을 충분히 가지지 않을 수 있으므로, 이 정의는 덜 일반적이다.

특히, 환 ${\displaystyle R}$ 위의 왼쪽 가군들의 아벨 범주 ${\displaystyle R{\text{-Mod}}}$는 단사 대상을 충분히 가지는 범주이자 사영 대상을 충분히 가지는 범주이다. 이 경우 Ext 함자를 ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{n}(-,-)}$로 표기한다.

유도 범주를 통한 정의

Ext 함자는 유도 범주의 개념을 사용하여 간단하게 정의할 수 있다. 아벨 범주 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$가 주어졌다고 하자. ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$의 대상을 하나의 성분만이 영 대상이 아닌 사슬 복합체로 간주한다면, ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$는 사슬 복합체 범주 ${\displaystyle \operatorname {Ch} ({\mathcal {A}})}$의 충만한 부분 범주를 이룬다.

${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 속의 사슬 복합체 ${\displaystyle A}$에 대하여,

${\displaystyle A[i]^{\bullet }=X^{\bullet +i}}$

${\displaystyle d_{A[i]}=(-1)^{n}d|_{A}}$

로 정의하자. (여기서 모든 사슬 복합체의 경계 사상의 차수는 ${\displaystyle \deg d=+1}$이다.) 또한, ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$의 유도 범주가 국소적으로 작은 범주라고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$의 두 대상 ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {A}}}$에 대한 ${\displaystyle n}$차 Ext 함자는 유도 범주 ${\displaystyle \operatorname {D} ({\mathcal {A}})}$의 다음과 같은 사상군이다.

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathcal {A}}^{n}(A,B)=\hom _{\operatorname {D} ({\mathcal {A}})}(A,B[i])}$

(이 경우, 집합론적 문제는 원래 아벨 범주가 국소적으로 작은 범주라고 해도, 그 유도 범주는 일반적으로 국소적으로 작은 범주가 아닐 수 있는 것이다.)

성질

만약 ${\displaystyle M}$이 사영 가군이거나 ${\displaystyle N}$이 단사 가군이라면,

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{n}(M,N)=0\qquad \forall n>0}$

이다. 또한, 다음이 성립한다.

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{n}\left(\bigoplus _{i\in I}M_{i},\prod _{j\in J}N_{j}\right)\cong \prod _{i\in I}\prod _{j\in J}\operatorname {Ext} _{R}^{n}(M_{i},N_{j})}$

예

벡터 공간

체 ${\displaystyle K}$ 위의 가군의 범주에서의 Ext 함자를 생각해 보자. 체 위의 가군은 벡터 공간이며, 모든 벡터 공간은 사영 가군이자 단사 가군이다. 즉, 벡터 공간 ${\displaystyle V}$의 단사 분해 및 사영 분해는 자명하다.

${\displaystyle 0\to V\to I^{0}=V\to 0}$

${\displaystyle 0\to P^{0}=V\to V\to 0}$

따라서, ${\displaystyle K}$ 위의 벡터 공간 ${\displaystyle V}$, ${\displaystyle W}$가 주어졌을 때, Ext 함자는 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{K}^{0}(V,W)=\hom(V,W)}$

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{K}^{n}(V,W)=0\qquad \forall n>0}$

아벨 군

정수환 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 위의 가군의 범주에서의 Ext 함자를 생각해 보자. 정수환 위의 가군은 아벨 군이며, 사영 가군은 자유 아벨 군이며, 단사 가군은 나눗셈군이다. 모든 아벨 군은 길이가 1 이하인 단사 분해 및 사영 분해를 갖는다. 즉, 임의의 아벨 군 ${\displaystyle G}$는 자유 아벨 군 ${\displaystyle P^{0}}$의 몫군 ${\displaystyle P^{0}/P^{1}}$으로 나타낼 수 있으며, 자유 아벨 군의 모든 부분군은 자유 아벨 군이므로 다음은 사영 분해이다.

${\displaystyle 0\to G\to P^{0}\to P^{1}\to 0}$

마찬가지로, 임의의 아벨 군 ${\displaystyle G}$는 나눗셈군 ${\displaystyle I^{0}}$의 부분군으로 나타낼 수 있으며, 나눗셈군의 모든 몫군은 나눗셈군이므로 다음은 단사 분해를 이룬다.

${\displaystyle 0\to G\to I^{0}\to I^{1}\to 0}$

아벨 군 ${\displaystyle G}$, ${\displaystyle H}$가 주어졌을 때, Ext 함자는 다음과 같다. ${\displaystyle G}$의 사영 분해가 ${\displaystyle G\cong P^{0}/P^{1}}$이라면, Ext 함자는 다음 사슬 복합체의 호몰로지 군이다.

${\displaystyle 0\to \hom _{\operatorname {Ab} }(P^{0},H){\xrightarrow {\operatorname {res} }}\hom _{\operatorname {Ab} }(P^{1},H)\to 0}$

여기서 ${\displaystyle \operatorname {res} \colon \hom _{\operatorname {Ab} }(P^{0},H)\to \hom _{\operatorname {Ab} }(P^{1},H)}$은 포함 사상 ${\displaystyle P^{1}\hookrightarrow P^{0}}$으로부터 유도된다. 즉, 군 준동형을 부분군에 제약한 것이다. 따라서,

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{0}(G,H)\cong \hom _{\operatorname {Ab} }(G,H)}$

이며,

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}(G,H)\cong \hom _{\operatorname {Ab} }(P^{1},H)/\operatorname {res} (\hom _{\operatorname {Ab} }(P^{0},H))}$

는 군의 확대

${\displaystyle 0\to H\to E\to G\to 0}$

들의 동형류와 일대일 대응한다.

나머지 고차 Ext 함자는 모두 0이다.

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{n}(G,H)=0\qquad \forall n\geq 2}$

또한, 임의의 나눗셈군 ${\displaystyle H}$에 대하여

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}(G,H)=0}$

이다. 특히, 유리수의 군 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$나 그 몫군 ${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$은 나눗셈군이므로

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}(G,\mathbb {Q} )=\operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}(G,\mathbb {Q} /\mathbb {Z} )=0}$

이다.

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{0}(G,H)=\hom _{\operatorname {Ab} }(G,H)}$

${\displaystyle G\backslash H}$	${\displaystyle \mathbb {Z} }$	${\displaystyle \mathbb {Z} /(n)}$	${\displaystyle \mathbb {Q} }$
${\displaystyle \mathbb {Z} }$	${\displaystyle \mathbb {Z} }$	${\displaystyle \mathbb {Z} /(n)}$	${\displaystyle \mathbb {Q} }$
${\displaystyle \mathbb {Z} /(m)}$	0	${\displaystyle \mathbb {Z} /(\gcd\{m,n\})}$	0
${\displaystyle \mathbb {Q} }$	0	0	${\displaystyle \mathbb {Q} }$

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}(G,H)}$

${\displaystyle G\backslash H}$	${\displaystyle \mathbb {Z} }$	${\displaystyle \mathbb {Z} /(n)}$	${\displaystyle \mathbb {Q} }$
${\displaystyle \mathbb {Z} }$	0	0	0
${\displaystyle \mathbb {Z} /(m)}$	${\displaystyle \mathbb {Z} /(m)}$	${\displaystyle \mathbb {Z} /(\gcd\{m,n\})}$	0
${\displaystyle \mathbb {Q} }$	${\displaystyle \mathbb {Q} ^{\oplus 2^{\aleph _{0}}}}$	0	0

리 대수 코호몰로지

 이 부분의 본문은 리 대수 코호몰로지입니다.

리 대수 코호몰로지는 리 대수의 보편 포락 대수의 Ext 함자와 같다. 이를 통해 리 군의 드람 코호몰로지를 계산할 수 있다.

층 코호몰로지

위상 공간 ${\displaystyle X}$ 위의 아벨 군층 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$의 층 코호몰로지는 다음과 같이 Ext 함자의 특수한 경우이다.

${\displaystyle \operatorname {H} ^{\bullet }(X,{\mathcal {F}})=\operatorname {Ext} ^{\bullet }({\underline {\mathbb {Z} }},{\mathcal {F}})}$

여기서

• Ext 함자는 ${\displaystyle X}$ 위의 아벨 군층의 아벨 범주에서 취한 것이다.
• ${\displaystyle {\underline {\mathbb {Z} }}}$는 정수환 값의 상수층이다.

스킴 ${\displaystyle X}$ 위의 구조층의 코호몰로지에 대하여 다음이 성립한다.

${\displaystyle \operatorname {Ext} ^{1}({\mathcal {O}}_{X},{\mathcal {O}}_{X})=\operatorname {H} ^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})}$

어원

‘Ext’는 영어: extension(확대)의 약자다. 이는 Ext 함자가 군의 확대와 관련있기 때문이다. 아벨 군 ${\displaystyle G}$를 다른 아벨 군 ${\displaystyle H}$로 확대한다면, 가능한 확대들은 ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}(G,H)}$와 일대일 대응한다.

같이 보기

• Tor 함자
• 그로텐디크 군
• 호몰로지 차원