1차 Ext
임의 아벨 범주 의 대상 에 대하여, 의 에 대한 확대(영어: extension of by )는 다음과 같은 짧은 완전열이다.
두 확대 사이에 다음 그림을 가환하게 만드는 사상 이 존재한다면, 두 확대가 서로 동치라고 한다.
(이 사상 은 짧은 5항 보조정리에 따라서 항상 동형 사상이다.) 이는 확대에 대한 동치 관계를 이룬다.
확대의 동치류들은 베어 합(영어: Baer sum)이라는 연산 아래 아벨 군을 이룬다.[2]:78, Definition 3.4.4
두 확대 , 가 주어졌을 때, 를 와 의 에 대한 당김이라고 하자. 미첼 매장 정리를 사용하면, 이는 다음과 같다.
즉, 는 를 두 번 부분 대상으로 포함한다.
대각 사상 사용하여, 의 몫대상
을 정의할 수 있다. 이는 속에 존재하는 두 개의 를 하나로 합치는 것이다. 그렇다면
는 짧은 완전열을 이룬다. 의 동치류를 , 의 동치류의 베어 합(영어: Baer sum)이라고 한다. 확대의 동치류들은 베어 합 아래 아벨 군을 이룬다. 베어 합의 항등원은 분할 완전열 이며, 확대 의 베어 합에 대한 역원은 또는 이다. (이 둘은 서로 동치이다.)
속의 대상 에 대하여, 1차 Ext 함자 는 의 에 대한 확대들의 동치류 집합이다. 이는 베어 합 아래 아벨 군을 이루며, 함자
를 정의한다. 또한, 각 에 대하여
는 둘 다 가법 함자를 이룬다.
위 정의에서, 집합론적 문제를 무시하였다. 사실, (국소적으로 작은) 아벨 범주의 경우 1차 Ext 함자의 값이 고유 모임일 수 있다.[3]:131, Exercise 6.A 물론, 작은 아벨 범주에 대해서는 이러한 문제가 생기지 않는다. 또한, 단사 대상을 충분히 가지는 범주나 사영 대상을 충분히 가지는 범주에서는 유도 함자를 통한 정의를 사용할 수 있으며, 이 경우 집합론적 문제가 발생하지 않는다.
고차 Ext
2차 이상의 Ext 함자는 임의의 아벨 범주에 대하여 다음과 같이 정의할 수 있다.[1][4][2]:79–80, Vista 3.4.6[5]:82–87, §III.5
아벨 범주 가 주어졌다고 하자. 속의 대상 , 에 대하여, 의 에 대한 차 확대(영어: -fold extension of by )는 다음과 같은 완전열이다.
두 차 확대 , 사이에 다음과 같은 가환 그림이 존재한다면, 가 의 닮은 확대(영어: similar extension)라고 한다.
닮음 관계를 로 표기하자.
닮음 관계는 추이적 관계이지만 대칭 관계가 아니다. 닮음 관계로 생성되는 동치 관계를 생각하자. 즉, 두 차 확대 , 사이에 다음과 같은 차 확대들의 열
이 존재하며, 이 열이 다음 조건을 만족시킨다면, 와 가 서로 동치라고 하자.
- 모든 에 대하여, 이거나 또는 이다.
사실, 이 동치는 두 단계로 족하다. 즉, 다음 세 조건이 서로 동치이다.[6]
- 와 가 서로 동치이다.
- 인 차 확대 가 존재한다.
- 인 차 확대 가 존재한다.
그렇다면, 차 Ext 함자 는 의 에 대한 차 확대들의 동치류 집합이다.
두 차 확대 , 가 주어졌을 때, 를 다음과 같이 정의하자.
- 일 때, 은 과 의 에 대한 당김이다.
- 일 때, 이다.
- 일 때, 를 과 의 에 대한 밂이라고 하자. 그렇다면 대각 사상 를 사용하여, 를 정의할 수 있다. 그렇다면, 이다.
그렇다면 는 차 확대를 이룬다.
의 동치류와 의 동치류의 합을 의 동치류로 정의하자.
그렇다면, 이 합에 대하여 는 아벨 군을 이룬다. 또한, 이는 함자
를 이루며, 각 에 대하여
둘 다 가법 함자를 이룬다.
요네다 합성
Ext는 가법 함자를 이루므로, 아벨 범주 의 대상 에 대하여 다음과 같은 두 군 준동형이 존재한다. (여기서 는 아벨 군의 텐서곱이다.)
이는 와 를 곱하는 것으로 볼 수 있다.
보다 일반적으로, 임의의 자연수 에 대하여 다음과 같은, 요네다 합성(영어: Yoneda composition)이라는 군 준동형들이 존재한다.[5]:82–87, §III.5
이는 구체적으로 다음과 같다. 두 완전열
이 주어졌을 때, 이들을 이어 다음과 같은 더 긴 완전열을 정의할 수 있다.
그렇다면 의 동치류와 의 동치류의 요네다 합성은 의 동치류이다.
요네다 합성을 사용하여, 자연수 등급 아벨 군의 범주 위의 풍성한 범주 를 다음과 같이 정의할 수 있다.
- 의 대상은 의 대상과 같다.
- 의 사상군은 다음과 같은 자연수 등급 아벨 군이다.
- 에서 사상의 합성은 요네다 합성에 의하여 주어진다.
- 에서 항등 사상은 에서의 항등 사상과 같다.
에서, 각 사상군에서 양의 정수 등급 성분을 망각한다면, 만 남으므로 원래 범주 를 얻는다.
특히, 대상 에 대하여, 에서의 자기 사상 등급 아벨 군
은 자연수 등급환을 이룬다.