直和

数学における直和（ちょくわ、英: direct sum）は、既知の数学的対象を「貼り合わせ」て同じ種類の対象を新たに作り出す操作の一種で、歴史的経緯から対象によってやや異なる意味で用いられるが、大雑把には集合論的、代数学的、圏論的用法に大別できる。またいずれの用法においても、直和を取る対象が全て一つの大きな対象の部分となっている場合（内部直和、構造的直和）と、そのようなものを仮定しない場合（外部直和、構成的直和）を区別することができる（場合によってはそれらの記述は見かけ上大きく異なる）が、それらの間に自然な同型があるため理論上区別して扱わないこともある。そのような自然同型は、しばしば圏論的直和（あるいは双積）の普遍性によって捉えることができる。

直和を表すのに用いられる記号には ${\textstyle \oplus ,\coprod }$ などがある。

集合論的直和

→詳細は「非交和」を参照

→「直和位相|位相空間の直和」も参照

集合論的な意味での、集合の（外部）直和は互いに交わらない（つまり共通部分が空である）ような集合の合併（英: disjoint union、非交和）によって与えられる。たとえば、ある位相空間の部分集合の、内部と境界と外部の和は直和になっている。

二つの集合 A, B がともに一つの集合の部分集合となっているときには、一般にはそれらが交わるため単純な合併では直和は与えられない。集合の（内部）直和は、各元の出自がどの集合であるかを指示する符牒を与えたうえでとった合併（discriminated union; 識別和）によって与えられる。A や B に属さない記号をたとえば * として、集合 A* ≔ A ∪ {*}, B* ≔ {*} ∪ B を考えてやると、二つの埋め込み

${\displaystyle A\hookrightarrow A^{*}\times B^{*};\;a\mapsto (a,*),}$

${\displaystyle B\hookrightarrow A^{*}\times B^{*};\;b\mapsto (*,b)}$

が得られ、この埋め込みによって A* × B* の部分集合と見なした A, B は交わりを持たない。この埋め込み像を記号の濫用で A*, B* と書けば A* × B* の部分集合としてとった和集合 A* ∪ B* を A と B の直和といい A ⊔ B などと書く。誤解のおそれのない場合には A^* と A, B^* と B はそれぞれ同一視して区別しない。

代数学的直和

→詳細は「群の直和」、「環の直和」、「線型空間の直和」、および「加群の直和」を参照

→「位相群の制限積（英語版）」および「表現の直和（英語版）」も参照

代数学的直和は、与えられた同じ型の代数系からなる族の直積のある部分空間に対して、それぞれの代数系がもつ所定の演算などの構造を成分ごとに定義することによって与えられる。

有限個の直和

例えば有限個のベクトル空間 W₁, …, W_n の集合としての直積に対して、和とスカラー倍を成分ごとに与えたベクトル空間 W のことを W₁, …, W_n の（外部）直和という。これを W ≔ W₁ ⊕ ⋯ ⊕ W_n と表す。

またベクトル空間 V の n 個の部分空間 W₁, …, W_n が

${\displaystyle W_{i}\cap \sum _{i\neq j}W_{j}=\{0\}}$

を満たすとき、それらの和空間（英語版） W ≔ W₁ + ⋯ + W_n を部分空間 W₁, …, W_n の（内部）直和という。直和であることを明示するためにこの場合もしばしば W = W₁ ⊕ ⋯ ⊕ W_n と表される。内部直和は外部直和と同型である。

内部直和 W₁ ⊕ ⋯ ⊕ W_n のベクトルは W₁, …, W_n のベクトルの和として一意的に表すことができ、その次元はそれぞれの次元の和に等しい。

任意個の直和

必ずしも有限個でない場合の直和は、以下のように定義される。例えば任意個の環上の加群からなる族 {M_i}_i∈I に対して、それらの直積

${\displaystyle \prod _{i\in I}M_{i}}$

に含まれる元^{[注釈 1]}のうち、「その成分が有限個のものを除いてすべて加法単位元 0 であるようなもの」全体の成す集合を考える。元の間に演算を (x_i)_i∈I + (y_i)_i∈I ≔ (x_i + y_i)_i∈I, 環の作用を a⋅(x_i)_i∈I ≔ (ax_i)_i∈I（a は環の元）で与えると、この集合は加群になる。これを加群の束 {M_i}_i∈I の直和と呼ぶ。なお、この定義から作用を無視すれば自然にアーベル群の直和が得られる。

ある加群の任意の元が部分加群 {M_i} の元の有限の和として一意的に書き表せるとき、この加群は {M_i} の直和と同型になる。直和はこのようにして構造的に定義することもできる。これに対して既に述べたような定義を構成的ということもある。

ベクトル空間と同じように、直和加群の長さはそれぞれの加群の長さ（またはアーベル群のランク）の和になる。

圏論的直和

→詳細は「余積」を参照

圏論における直和（英: coproduct; 余積、双対直積）とは、直積 (product) の双対概念で、次の普遍性を持つ対象 A のことである：

直和の普遍性

対象の族 {A_λ}_λ∈Λ を考える。対象 A と射 i_λ: A_λ → A が存在して、任意の対象 X と写像 f_λ: A_λ → X に対し、$${\displaystyle f_{\lambda }=f\circ i_{\lambda }}$$ を満たす f: A → X がただ一つ存在する。

集合の圏では、この圏論的定義でいう直積・直和と、上で述べた 「集合の直積・直和」 の概念は一致する。ところが、一般にはそうはならない。たとえば、

• 単位元を持つ可換環の圏における直和とは 「環のテンソル積」 であって、上で述べた 「環の直和」 は圏論的直積である。
• 群の圏における直和は「群の自由積」と呼ばれるものである。
• アーベル群の圏においては、直和は「直和」であり直積は「直積」である。この場合、有限個の対象に対する直積と直和は同じ対象を定め双積（英語版）と呼ばれる（これは環上の加群の圏においても同様である）。

脚注

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注釈

1. これが空でないことは選択公理を要さないことに注意。これは加群が零元という特定の基点を持つことに由来する。すなわち、各直和因子において零元をとることにより少なくとも一つの元を得ることができる

参考文献

関連項目

• 直積

外部リンク

• Rowland, Todd; Weisstein, Eric W. "Direct Sum". mathworld.wolfram.com (英語).
• direct sum in nLab
• direct sum - PlanetMath.（英語）
• Definition:Internal Direct Sum of Rings at ProofWiki
• Tsalenko, M.Sh. (2001), “Direct sum”, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Direct_sum