数学 において、集合 のデカルト積 （デカルト せき、英 : Cartesian product 直積 （ちょくせき、英 : direct product 直積集合 、または単に積 （せき、英 : product 積集合 は、集合 の集まり （集合族 ）に対して各集合から一つずつ元 をとりだして組 にしたもの（元の族）を元として持つ新たな集合である。
この項目では、集合の直積について説明しています。その他の用法については「直積 」をご覧ください。
A = {x , y , z } と B = {1, 2, 3} との直積の図示具体的に二つの集合 A, B に対し、それらの直積とはそれらの任意の元 a ∈ A , b ∈ B 順序対 (a , b ) 全てからなる集合をいう。集合の組立記法 （英語版 ）
A
×
B
=
{
(
a
,
b
)
∣
a
∈
A
∧
b
∈
B
}
{\displaystyle A\times B=\{(a,b)\mid a\in A\land b\in B\}}
と書くことができる。有限個の集合の直積 A 1 × ⋯ × A n n -組 からなる集合として定義されるが、二つの集合の直積を入れ子 (nested) にして、(A 1 × ⋯ × A n − 1A n と帰納的に定めることもできる。
順序対 (a , b ) は、たとえ a , b (a ≠ b )A にも B にも属していたとしても、一般には (a , b ) ≠ (b , a ) である。ゆえに、集合としても、A = B 空集合 でない限り
A
×
B
≠
B
×
A
{\displaystyle A\times B\neq B\times A}
である。すなわち、直積は二項演算 として可換 でない。
また厳密に言えば、直積は結合的 でもない。すなわち、A , B , C
(
A
×
B
)
×
C
,
A
×
(
B
×
C
)
,
A
×
B
×
C
{\displaystyle (A\times B)\times C,\quad A\times (B\times C),\quad A\times B\times C}
はすべて集合として異なる。しかし誤解の虞が無いならば、しばしばこれらの間の自然 (canonical) な全単射
(
(
a
,
b
)
,
c
)
←
↦
(
a
,
(
b
,
c
)
)
←
↦
(
a
,
b
,
c
)
{\displaystyle ((a,b),c)\gets \!\mapsto (a,(b,c))\gets \!\mapsto (a,b,c)}
によって全て同一視（成分の並びを変えずに括弧だけを外）される。この同一視のもとで、直積は結合的二項演算を定める。その意味で n -項直積 A 1 × ⋯ × A n
A
1
×
⋯
×
A
n
:=
(
A
1
×
⋯
×
A
n
−
1
)
×
A
n
{\displaystyle A_{1}\times \cdots \times A_{n}:=(A_{1}\times \cdots \times A_{n-1})\times A_{n}}
と定義することは可能である。
直積は添字集合 I を伴う集合族 {A i : i ∈ I } に対して定められるから、∏ n i =1A i ∏ i ∈I A i A 1 × ⋯ × A n ∏ A i ∏ i A i ⨉ A i A × ⋯ × A A の n 個のコピーの直積）は A n A ×n n ⨉ A
標準的なトランプの52枚のデッキ 直積集合の視覚的にわかりやすい例としては、標準的な52枚一組のトランプのデッキがある。トランプのランクは {A, K, Q, J, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2} という 13 の元からなる集合である。スーツは {♠, ♥ , ♦ , ♣} という 4 の元からなる集合である。この2つの集合の直積集合は、52 の組の元からなる集合であり、それぞれの元は、52枚のトランプのカードと1対1に対応している。
たとえば、ランク × スーツ
{(A, ♠), (A, ♥ ), (A, ♦ ), (A, ♣), (K, ♠), ..., (3, ♣), (2, ♠), (2, ♥ ), (2, ♦ ), (2, ♣)}
という集合であり、スーツ × ランク
{(♠, A), (♠, K), (♠, Q), (♠, J), (♠, 10), ..., (♣, 6), (♣, 5), (♣, 4), (♣, 3), (♣, 2)}
という集合である。
直積集合の元は順序対なので、同じ元はひとつも含まれていない。
点の直交座標の例 有名な歴史的な例としては、解析幾何学 における直交座標系 がある。ルネ・デカルト は、数を用いて幾何学的な図形を表現したり、図形から数の情報を得たりするために、平面のそれぞれの点に実数の組を対応させ、その点の座標と名付けた。ふつう、このような組の1番目および2番目の要素は、それぞれ x および y 座標と呼ばれる。したがって、実数 の組のすべての集合、すなわち ℝ×ℝ （ℝ は実数）という直積集合は、平面上のすべての点の集合に対応する。
有限直積
n 個の集合 A 1 , …, A n
∏
i
=
1
n
A
i
=
A
1
×
A
2
×
⋯
×
A
n
:=
{
(
a
1
,
…
,
a
n
)
∣
a
1
∈
A
1
∧
…
∧
a
n
∈
A
n
}
{\displaystyle \prod _{i=1}^{n}A_{i}=A_{1}\times A_{2}\times \dotsb \times A_{n}:=\{(a_{1},\dots ,a_{n})\mid a_{1}\in A_{1}\wedge \ldots \wedge a_{n}\in A_{n}\}}
(a 1 , …, a n は a 1 , …, a n n -組である。任意濃度の直積
必ずしも有限でない集合 Λ で添字付けられる集合の族 {A λ λ ∈Λ それらの直積は、写像の集合
{
a
:
Λ
→
A
∣
a
(
λ
)
∈
A
λ
,
∀
λ
∈
Λ
}
⊂
Map
(
Λ
,
A
)
(
A
:=
⋃
λ
∈
Λ
A
λ
)
{\displaystyle \{a\colon \Lambda \to \mathbf {A} \mid a(\lambda )\in A_{\lambda },\,\forall \lambda \in \Lambda \}\subset \operatorname {Map} (\Lambda ,\mathbf {A} )\quad (\mathbf {A} :=\bigcup _{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda })}
a λ a (λ )
∏
λ
∈
Λ
A
λ
=
{
(
a
λ
)
λ
∈
Λ
∣
a
λ
∈
A
λ
,
∀
λ
∈
Λ
}
{\displaystyle \prod _{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }=\{(a_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }\mid a_{\lambda }\in A_{\lambda },\,\forall \lambda \in \Lambda \}}
Λ が有限 ならばこれは先に述べた有限直積と一致する[注釈 1]
標準射影
直積 ∏ A λ Aλ をこの直積の直積因子 と呼ぶ。各直積因子 A μ μ ∈ Λ)全射
π
μ
:
∏
λ
∈
Λ
A
λ
→
A
μ
;
(
a
λ
)
λ
∈
Λ
↦
a
μ
{\displaystyle \pi _{\mu }\colon \prod _{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }\to A_{\mu };\;(a_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }\mapsto a_{\mu }}
μ -成分への射影 あるいは簡単に第 μ -射影などと呼ぶ。
集合 A に対し、それ自身の（任意個の）直積として得られる集合
A
×
A
,
A
2
:=
A
×
A
,
…
{\displaystyle A\times A,\,A^{2}:=A\times A,\,\ldots }
を得る演算を A のデカルト冪 (Cartesian exponentation) と呼ぶ。非負整数 n に対して n -乗デカルト冪 (n th Cartesian power) は
A
n
:=
∏
i
=
1
n
A
=
A
×
A
×
⋯
×
A
⏞
n
=
{
(
a
1
,
a
2
,
…
,
a
n
)
∣
a
i
∈
A
,
∀
i
=
1
,
…
,
n
}
{\displaystyle A^{n}:=\prod _{i=1}^{n}A=\overbrace {A\times A\times \cdots \times A} ^{n}=\{(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})\mid a_{i}\in A,\,\forall i=1,\ldots ,n\}}
で与えられる。一般の添字集合 Λ に対して
A
Λ
:=
∏
λ
∈
Λ
A
=
{
(
a
λ
)
λ
∈
Λ
∣
a
λ
∈
A
}
=
Map
(
Λ
,
A
)
{\displaystyle A^{\Lambda }:=\prod _{\lambda \in \Lambda }A=\{(a_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }\mid a_{\lambda }\in A\}=\operatorname {Map} (\Lambda ,A)}
は Λ から A への写像全体の成す集合 に他ならない[注釈 1]
集合 ℝ 実数直線 とすれば、デカルト冪の例としてデカルト座標平面 （ドイツ語版 ） ℝ 2 = ℝ × ℝ デカルト座標空間 ℝ 3 = ℝ × ℝ × ℝ n -次元実座標空間 ℝ n 実数列の全体 も自然数 の全体 ℕ 最小の超限順序数 ω ℝ ω ℝ × ℝ × ⋯
例として A y ∈ ℝ : 1 ≤ y ≤ 4}B x ∈ ℝ : 2 ≤ x ≤ 5}C x ∈ ℝ : 4≤x ≤7}A ×(B ∩ C ) = (A × B )∩(A × C )A ×(B ∪ C ) = (A × B )∪(A × C )A ×(B ∖ C ) = (A × B )∖ (A × C ) 上と同じ例で (A ∪ B )×(C ∪ D ) ≠ (A × C )∪(B × D ) もわかる。 集合 A x ∈ ℝ : 2 ≤ x ≤ 5}B x ∈ ℝ : 3 ≤ x ≤ 7}C y ∈ ℝ : 1 ≤ y ≤ 3}D y ∈ ℝ : 2 ≤ y ≤ 4}(A ∩ B )×(C ∩ D ) = (A × C )∩(B × D ) が成り立つ。
A λ ∅ λ ∈ Λ∏ λ ∈ΛA λ ∅ 選択公理 （と同値）である。
集合のデカルト積は交叉 に関してよく振る舞う。すなわち
(
A
∩
B
)
×
(
C
∩
D
)
=
(
A
×
C
)
∩
(
B
×
D
)
{\displaystyle (A\cap B)\times (C\cap D)=(A\times C)\cap (B\times D)}
[4] が成り立つが、この式の交叉を合併 に置き換えた式は一般には正しくない:
(
A
∪
B
)
×
(
C
∪
D
)
≠
(
A
×
C
)
∪
(
B
×
D
)
.
{\displaystyle (A\cup B)\times (C\cup D)\neq (A\times C)\cup (B\times D).}
実は右辺は
(
A
×
C
)
∪
(
B
×
D
)
=
[
(
A
∖
B
)
×
C
]
∪
[
(
A
∩
B
)
×
(
C
∪
D
)
]
∪
[
(
B
∖
A
)
×
D
]
{\displaystyle (A\times C)\cup (B\times D)=[(A\setminus B)\times C]\cup [(A\cap B)\times (C\cup D)]\cup [(B\setminus A)\times D]}
と書くことができる。差 に関しては等式
(
A
×
C
)
∖
(
B
×
D
)
=
[
A
×
(
C
∖
D
)
]
∪
[
(
A
∖
B
)
×
C
]
{\displaystyle (A\times C)\smallsetminus (B\times D)=[A\times (C\smallsetminus D)]\cup [(A\smallsetminus B)\times C]}
が成り立つ。直積はいくつかの集合算に対して分配的 であることが示せる[5]
A
×
(
B
∩
C
)
=
(
A
×
B
)
∩
(
A
×
C
)
,
{\displaystyle A\times (B\cap C)=(A\times B)\cap (A\times C),}
A
×
(
B
∪
C
)
=
(
A
×
B
)
∪
(
A
×
C
)
,
{\displaystyle A\times (B\cup C)=(A\times B)\cup (A\times C),}
A
×
(
B
∖
C
)
=
(
A
×
B
)
∖
(
A
×
C
)
,
{\displaystyle A\times (B\setminus C)=(A\times B)\setminus (A\times C),}
∁
(
A
×
B
)
=
(
∁
A
×
∁
B
)
∪
(
∁
A
×
B
)
∪
(
A
×
∁
B
)
,
{\displaystyle \complement (A\times B)=(\complement A\times \complement B)\cup (\complement A\times B)\cup (A\times \complement B),}
[4] ここで ∁A は A の補集合 である。
一般に
(
∏
λ
∈
Λ
A
λ
)
∩
(
∏
μ
∈
Λ
B
μ
)
=
∏
λ
∈
Λ
(
A
λ
∩
B
λ
)
{\displaystyle (\prod _{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda })\cap (\prod _{\mu \in \Lambda }B_{\mu })=\prod _{\lambda \in \Lambda }(A_{\lambda }\cap B_{\lambda })}
(
⋃
λ
∈
Λ
A
λ
)
×
(
⋃
μ
∈
M
B
μ
)
=
⋃
(
λ
,
μ
)
∈
Λ
×
M
(
A
λ
×
B
μ
)
{\displaystyle (\bigcup _{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda })\times (\bigcup _{\mu \in \mathrm {M} }B_{\mu })=\bigcup _{(\lambda ,\mu )\in \Lambda \times \mathrm {M} }(A_{\lambda }\times B_{\mu })}
(
⋂
λ
∈
Λ
A
λ
)
×
(
⋂
μ
∈
M
B
μ
)
=
⋂
(
λ
,
μ
)
∈
Λ
×
M
(
A
λ
×
B
μ
)
{\displaystyle (\bigcap _{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda })\times (\bigcap _{\mu \in \mathrm {M} }B_{\mu })=\bigcap _{(\lambda ,\mu )\in \Lambda \times \mathrm {M} }(A_{\lambda }\times B_{\mu })}
(
⋃
λ
∈
Λ
A
λ
)
∩
(
⋃
μ
∈
M
B
μ
)
=
⋃
(
λ
,
μ
)
∈
Λ
×
M
(
A
λ
∩
B
μ
)
{\displaystyle (\bigcup _{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda })\cap (\bigcup _{\mu \in \mathrm {M} }B_{\mu })=\bigcup _{(\lambda ,\mu )\in \Lambda \times \mathrm {M} }(A_{\lambda }\cap B_{\mu })}
(
⋂
λ
∈
Λ
A
λ
)
∪
(
⋂
μ
∈
M
B
μ
)
=
⋂
(
λ
,
μ
)
∈
Λ
×
M
(
A
λ
∪
B
μ
)
{\displaystyle (\bigcap _{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda })\cup (\bigcap _{\mu \in \mathrm {M} }B_{\mu })=\bigcap _{(\lambda ,\mu )\in \Lambda \times \mathrm {M} }(A_{\lambda }\cup B_{\mu })}
などが成り立つ。
ほかに、部分集合 に関しては以下の性質がある:
A
⊆
B
⟹
A
×
C
⊆
B
×
C
,
{\displaystyle A\subseteq B\implies A\times C\subseteq B\times C,}
A
≠
∅
∧
B
≠
∅
⟹
[
A
×
B
⊆
C
×
D
⟺
A
⊆
C
∧
B
⊆
D
]
.
{\displaystyle A\neq \emptyset \land B\neq \emptyset \implies [A\times B\subseteq C\times D\iff A\subseteq C\land B\subseteq D].}
[7] 有限集合 A, B の直積 A × B 濃度 は、| A × B | = | A | ⋅ | B | 数え上げに関する積の原理 から導くことができる。
A × B
A＼B
1 3
0
(0,1) (0,3)
1
(1,1) (1,3)
2
(2,1) (2,3)
3
(3,1) (3,3)
一例として、
A = {0, 1, 2, 3}B = {1, 3}このとき、| A | = 4, | B | = 2A × B = {(0,1), (0,3), (1,1), (1,3), (2,1), (2,3), (3,1), (3,3)}| A × B | = 8 = 4 × 2 = | A | ⋅ | B |
同様にして
| A × B × C | = | A | ⋅ | B | ⋅ | C | | A × B × C × D | = | A | ⋅ | B | ⋅ | C | ⋅ | D | 濃度の積の意味で | ∏ A λ | = ∏ | A λ | が成り立つ。特にデカルト冪について、
任意の自然数 n に対して | A n | = | A | n が言え、あるいは一般に
| ∏ λ ∈Λ A | = | A Λ | = | A | | Λ| が濃度の冪の意味で成り立つ。
直積の普遍性: この図式は可換である 直積は次のような普遍性 を持つものとして特徴付けることができる：
直積の普遍性
任意の集合 Y と任意の写像の族 (f i Y → X i i ∈I が与えられたとき、写像 f : Y → X ≔ ∏ i ∈I X i f i π i f 圏論の言葉で言えば、集合の直積は集合の圏 における積 である。
ふたつの写像 f : A → X , g : B → Y A × B X × Y
(
f
×
g
)
(
a
,
b
)
:=
(
f
(
a
)
,
g
(
b
)
)
(
a
∈
A
,
b
∈
B
)
{\displaystyle (f\times g)(a,b):=(f(a),\,g(b))\quad (a\in A,\,b\in B)}
で定義することができる。この f × g f , g
f × g 全射 (resp. 単射 ) であるための必要十分条件は f, g がともに全射 (resp. 単射) となることである。一般に、写像の族 (f λ A λ X λ の直積 f = ∏ f λ (f λ が全射 (resp. 単射) となることである。
集合の圏 Set 圏論的積 の例として、固定された添字集合 I で添字付けられる任意の集合の族 Xi ∏ Xi fi : Xi → Yi ∏ fi Set I Set 函手 （I -型の直積函手）を定める。
多変数の写像 f (x 1 , …, x n f ((x i i ∈I
二項演算 あるいは一般に多項演算 は多変数の写像として定式化できる。
二変数の写像 f : A × B → X 一変数化 g b a ) ≔ f (a , b ) (a ∈ A , b ∈ B )X A ×B X A B 配置集合 をとる操作の左随伴 となる。
添字集合 Λ が空集合 の場合、圏論においては任意の一元集合 1 集合の圏 の零対象 として（同型を除いて）唯一存在するから、∏ ∅ X = 1 X は任意) とすることで空積 に意味を持たせることができる（点付き集合 の圏で基点 ∗ より強く （英語版 ） 1 = {∗ }0 = ∅ , 1 = {∅ } ととれるから、その意味において X 0 = 1Map(∅ , X ) = {∅ } （右辺はすなわち空写像 ）と考えることにより、ここでの定義と矛盾しない（集合をその冪集合によって同定し部分集合の意味で基点 ∅
![{\displaystyle (A\times C)\cup (B\times D)=[(A\setminus B)\times C]\cup [(A\cap B)\times (C\cup D)]\cup [(B\setminus A)\times D]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67cfa315894265914c23ed2d555d05e6255d98a4)
![{\displaystyle (A\times C)\smallsetminus (B\times D)=[A\times (C\smallsetminus D)]\cup [(A\smallsetminus B)\times C]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9c0fffbea40ce3de441e81c8a525d713f42e3ed)
![{\displaystyle A\neq \emptyset \land B\neq \emptyset \implies [A\times B\subseteq C\times D\iff A\subseteq C\land B\subseteq D].}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/776c95d91bd946c0a0eb973956deb844cd274288)
