パスカルの定理

パスカルの定理（パスカルのていり、英: Pscal's theorem , hexagrammum mysticum theorem）は、ブレーズ・パスカルが16歳のときに発見した円錐曲線に関する射影幾何学の定理である。

六角形ABCDEFの並び方を変えたもの。同じ色は対辺同士であることを表す。この場合はG、H、Kが一直線上にあることが定理の主張である。

円に内接する六角形ABCDEFの対辺の延長線の交点M、N、Pは一直線上にある。

円に内接する六角形の対辺の延長線の交点は一直線上にある。更に拡張して、二次曲線上に異なる六つの点 P₁ ～ P₆をとると、直線 P₁P₂ と P₄P₅ の交点 Q₁、P₂P₃ と P₅P₆ の交点 Q₂、P₃P₄ と P₆P₁ の交点 Q₃ は同一直線上にある。この直線はパスカル線（Pascal line）と呼ばれる。 定理の証明の一つはうまく補助円を書くことで円の性質と三角形の相似だけで解くことができる。補助円を使わない証明も存在する。ブレーズ・パスカルの証明は歴史に残されていない。

また、この定理はユークリッド平面上でも有効であるが、平行など特別な場合は別途調整を行う必要がある。円錐曲線を2直線に退化させればパップスの六角形定理を得る。

関連する定理

この定理の双対、ブリアンションの定理によるとP_iにおける接線と P_j における接線の交点を R_ij とすると、3 直線 R₁₂R₄₅、R₂₃R₅₆、R₃₄R₆₁ は一点で交わる^[1]。

パスカルの定理はケイリー＝バッハラッハの定理の特殊な場合である。

パスカルの定理を4点に対して適応する。円錐曲線上の4点A,B,C,Dについて、六角形の対辺の交点の AB ∩ CD, BC ∩ DAと、対頂点の組(A, C)と (B, D)の接線の交点の延べ4点は共線である。これは、極と極線の関係と接触三角形の特性を用いて、証明できる。

パスカルの定理の逆はブライケンリッジ-マクローリンの定理（英語版）として知られる。

出典

1. Pascal 1640, translation Smith 1959, p. 326

参考文献

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• Conway, John; Ryba, Alex (2012), “The Pascal Mysticum Demystified”, The Mathematical Intelligencer 34 (3): 4–8, doi:10.1007/s00283-012-9301-4
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• Pascal, Blaise (1640年). “Essay pour les coniques” (facsimile). Niedersächsiche Landesbibliothek, Gottfried Wilhelm Leibniz Bibliothek. 21 June 2013閲覧。

• Smith, David Eugene (1959), A Source Book in Mathematics, New York: Dover, ISBN 0-486-64690-4, https://books.google.com/books?id=awAfO7Ff_z0C&q=smith+source+book
• Stefanovic, Nedeljko (2010), A very simple proof of Pascal's hexagon theorem and some applications, Indian Academy of Sciences, http://www.ias.ac.in/mathsci/vol120/nov2010/pm-10-00024.PDF
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外部リンク

• Interactive demo of Pascal's theorem (Java required) at cut-the-knot
• 60 Pascal Lines (Java required) at cut-the-knot
• The Complete Pascal Figure Graphically Presented by J. Chris Fisher and Norma Fuller (University of Regina)
• Planar Circle Geometries, an Introduction to Moebius-, Laguerre- and Minkowski Planes (PDF; 891 kB), Uni Darmstadt, S. 29–35.
• How to Project Spherical Conics into the Plane by Yoichi Maeda (Tokai University)