線型代数学 におけるケイリー・ハミルトンの定理 （ケイリー・ハミルトンのていり、英 : Cayley–Hamilton theorem ）、またはハミルトン・ケイリーの定理 とは、（実数 体や複素数 体などの）可換環 上の正方行列 は固有方程式 を満たすという定理 である。アーサー・ケイリー とウィリアム・ローワン・ハミルトン に因む。
王立協会フェロー ・アーサー・ケイリー (1821-1895) は19世紀のブリテンを代表する純粋数学者として広く知られている。ケイリーは1848年にダブリンに赴き、ハミルトンから発見者直々に四元数 の講義を受けている。のちにケイリーは、四元数に関する成果を出版する2番目となることによりハミルトンに印象付けた。
ケイリーは 3 次以下の行列に対して定理を証明したが、2 次の場合に対してだけ証明を発表した。一般の n 次の場合についてケイリーは「……、任意次数の行列という一般の場合に定理をきちんと証明する労を引き受ける必要を覚えない。」と述べている。アイルランドの物理学・天文学・数学者ウィリアム・ローワン・ハミルトン (1805-1865) は米国科学アカデミー 初の外国人会員である。幾何学をいかにして研究すべきかについては対立する位置に立ちながらも、ハミルトンは常にケイリーと最良の関係を留めていた。
ハミルトンは四元数 に関する線型函数に対して、それ自身が満足するある種の方程式の存在を証明した。 n 次正方行列 A に対して、In を n 次単位行列 とすると、A の固有多項式 は
p
(
λ
)
:=
det
(
λ
I
n
−
A
)
{\displaystyle p(\lambda ):=\det(\lambda I_{n}-A)}
で定義される。ここで det は行列式 を表し、λ は係数環の元（スカラー ）である。引数の行列は各成分が λ の 1 次式以下の多項式（1 次式または定数）だから、その行列式も λ の n 次モニック多項式 になる。ケイリー・ハミルトンの定理の主張は、固有多項式を行列多項式 と見れば A が零点 であること、すなわち上記の λ を行列 A で置き換えた計算結果が零行列 であること、すなわち
p
(
A
)
=
O
{\displaystyle p(A)=O}
注 置き換えにおいて、λ の冪は、A の、行列の積 による冪に置き換わるから、特に p (λ )A 0 定理により、特に An は、より低次の A の多項式で表されることが分かる。係数環が体 （英語版 ） A の最小多項式 は A の固有多項式を整除 する（割り切る）」という主張に同値である。
この定理は1853年にハミルトンが初めて証明した（それは「非可換」環である四元数 を変数とする一次函数の逆を用いたものであった）。これは一般の定理において、実4 次または複素2 次という特別の場合に当たるものである。
ケイリー・ハミルトンの定理は、四元数係数の行列に対しても成立する[注 1]
1858年にケイリーは 3 次およびそれより小さい行列に関して定理を述べているが、証明は 2 次の場合のみを著している。一般の場合が初めて証明されたのは1878年でフロベニウス による。
1 次1 次正方行列 A = (a )p (λ ) ≔ λ − a p (A ) = (a ) − a ⋅ I 1 = (0)
2 次2 次正方行列
A
=
(
a
b
c
d
)
{\displaystyle A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}
p (λ ) ≔ λ 2 − (a + d )λ + (ad − bc ) となり、ケイリー・ハミルトンの定理の述べるところによれば
p
(
A
)
=
A
2
−
(
a
+
d
)
A
+
(
a
d
−
b
c
)
I
2
=
(
0
0
0
0
)
{\displaystyle p(A)=A^{2}-(a+d)A+(ad-bc)I_{2}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}}
が成り立つはずであるが、これは実際に A 2
この定理を証明するのに、固有多項式：
p
(
λ
)
=
det
(
λ
I
n
−
A
)
{\displaystyle p(\lambda )=\det(\lambda I_{n}-A)}
(1 )
の λ を A に置き換えて
p
(
A
)
=
det
(
A
I
n
−
A
)
=
det
(
A
−
A
)
=
0
{\displaystyle p(A)=\det(AI_{n}-A)=\det(A-A)=0}
(error )
を得るとするのは、明らかに誤った論法である。
この論法が誤りである理由は、第一に、上式 error n 次正方行列、右辺はスカラーである 0 であり、（n = 1
第二に、(1 λ はスカラーだからこそ行列式として意味をもつものであり、行列式の展開の前に λ を A に置き換えると意味をなさなくなる。
様子が分かるように具体的に 2 次の場合をとらえると、
p
(
λ
)
=
|
λ
−
a
−
b
−
c
λ
−
d
|
{\displaystyle p(\lambda )={\begin{vmatrix}\lambda -a&-b\\-c&\lambda -d\end{vmatrix}}}
の λ を
A
=
(
a
b
c
d
)
{\displaystyle A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}
ただし、スカラーであるところをスカラー行列（単位行列のスカラー倍）で置き換えた区分行列
(
(
a
b
c
d
)
−
a
I
2
−
b
I
2
−
c
I
2
(
a
b
c
d
)
−
d
I
2
)
=
(
0
b
−
b
0
c
d
−
a
0
−
b
−
c
0
a
−
d
b
0
−
c
c
0
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}-aI_{2}&-bI_{2}\\-cI_{2}&{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}-dI_{2}\end{pmatrix}}=\left({\begin{array}{cc|cc}0&b&-b&0\\c&d-a&0&-b\\\hline -c&0&a-d&b\\0&-c&c&0\end{array}}\right)}
を考えるならば式としては有効で、この行列式は実際に 0 になるが、この行列が上記の論法で det の引数とした AIn − A
あるいはまた、この論法が実際に成立していたと仮定した場合、それは行列式以外にもほかの任意の多重線型形式 についても成立しないといけないことになる（つまり任意の線型写像は零ベクトルを零ベクトルに写すのだから、AIn − A = O 0 に写る）。そのような多重線型形式として例えばパーマネント (permanent)[注 2] q (λ ) ≔ perm(λ⋅ In − A )q (A ) = 02 次の場合を書けば、
perm
(
a
b
c
d
)
=
a
d
+
b
c
{\displaystyle \operatorname {perm} {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}=ad+bc}
q
(
λ
)
=
perm
(
λ
I
2
−
A
)
=
λ
2
−
(
a
+
d
)
λ
+
(
a
d
+
b
c
)
{\displaystyle q(\lambda )=\operatorname {perm} (\lambda I_{2}-A)=\lambda ^{2}-(a+d)\lambda +(ad+bc)}
A を代入した
q
(
A
)
=
A
2
−
(
a
+
d
)
A
+
(
a
d
+
b
c
)
I
2
=
(
2
b
c
0
0
2
b
c
)
{\displaystyle q(A)=A^{2}-(a+d)A+(ad+bc)I_{2}={\begin{pmatrix}2bc&0\\0&2bc\end{pmatrix}}}
ケイリー・ハミルトンの定理の証明の中には、数以外を成分とする行列を用いて、あたかも error AIn は A と等しくなく、結論も異なる所へ到達する。
n 次正方行列の固有多項式：
p
(
t
)
=
t
n
+
c
n
−
1
t
n
−
1
+
⋯
+
c
1
t
+
c
0
{\displaystyle p(t)=t^{n}+c_{n-1}t^{n-1}+\dots +c_{1}t+c_{0}}
において、i 次の係数 ci は A の固有値たちのなす (n − i ) 基本対称式 に等しい。特に、定数項（0 次の係数）c 0 A の行列式 detA に等しい。
ニュートンの公式 （英語版 ） 冪和対称式 （英語版 ） ci は固有値の冪和対称式
s
k
=
∑
i
=
1
n
λ
i
k
{\displaystyle s_{k}=\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}{\lambda _{i}}^{k}}
s
k
=
∑
i
=
1
n
λ
i
k
=
tr
A
k
{\displaystyle s_{k}=\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}{\lambda _{i}}^{k}=\operatorname {tr} A^{k}}
である。したがって、ci は Ak のトレース たちで書き表せる。特に
c
n
−
1
=
tr
A
{\displaystyle c_{n-1}=\operatorname {tr} A}
ケイリー・ハミルトンの定理により、一般の n 次正則行列 A （つまり A の行列式は 0 でない）に対し、その逆行列 A − 1A の n − 1行列多項式 で表せる。実際、
p
(
A
)
=
A
n
+
c
n
−
1
A
n
−
1
+
⋯
+
c
1
A
+
(
−
1
)
n
det
(
A
)
I
n
=
O
{\displaystyle p(A)=A^{n}+c_{n-1}A^{n-1}+\cdots +c_{1}A+(-1)^{n}\det(A)I_{n}=O}
(∗
式 (∗
−
(
−
1
)
n
det
(
A
)
I
n
=
A
(
A
n
−
1
+
c
n
−
1
A
n
−
2
+
⋯
+
c
1
I
n
)
{\displaystyle -(-1)^{n}\det(A)I_{n}=A(A^{n-1}+c_{n-1}A^{n-2}+\cdots +c_{1}I_{n})}
両辺に A − 1
A
−
1
=
(
−
1
)
n
−
1
det
A
(
A
n
−
1
+
c
n
−
1
A
n
−
2
+
⋯
+
c
1
I
n
)
{\displaystyle A^{-1}={\frac {(-1)^{n-1}}{\det A}}(A^{n-1}+c_{n-1}A^{n-2}+\cdots +c_{1}I_{n})}
を得る。
一般に、係数 ci を与える公式が、完全指数型ベル多項式 によって
c
n
−
k
=
(
−
1
)
k
k
!
B
k
(
s
1
,
−
1
!
s
2
,
2
!
s
3
,
⋯
,
(
−
1
)
k
−
1
(
k
−
1
)
!
s
k
)
{\displaystyle c_{n-k}={\frac {(-1)^{k}}{k!}}B_{k}(s_{1},-1!s_{2},2!s_{3},\cdots ,(-1)^{k-1}(k-1)!s_{k})}
と与えられる[注 3] A の行列式は c 0 トレース恒等式 （英語版 ）
det
(
A
)
=
1
n
!
B
n
(
s
1
,
−
1
!
s
2
,
2
!
s
3
,
⋯
,
(
−
1
)
n
−
1
(
n
−
1
)
!
s
n
)
{\displaystyle \det(A)={\frac {1}{n!}}B_{n}(s_{1},-1!s_{2},2!s_{3},\cdots ,(-1)^{n-1}(n-1)!s_{n})}
と書ける。同様に、
A
−
1
=
1
det
A
∑
k
=
0
n
−
1
(
−
1
)
n
+
k
−
1
A
n
−
k
−
1
k
!
B
k
(
s
1
,
−
1
!
s
2
,
2
!
s
3
,
⋯
,
(
−
1
)
k
−
1
(
k
−
1
)
!
s
k
)
{\displaystyle A^{-1}={\frac {1}{\det A}}\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n-1}(-1)^{n+k-1}{\dfrac {A^{n-k-1}}{k!}}B_{k}(s_{1},-1!s_{2},2!s_{3},\cdots ,(-1)^{k-1}(k-1)!s_{k})}
なる表示もできる。
例えば、ベル多項式の最初の方は B 0 = 1, B 1 (x 1 ) = x 1 , B 2 (x 1 , x 2 ) = x 2 x 2 , B 3 (x 1 , x 2 , x 3 ) = x 3 x 1 x 2 + x 3 , …2 次の場合の固有多項式の係数 ci を具体的に計算すれば
c
2
=
B
0
=
1
,
c
1
=
−
1
1
!
B
1
(
s
1
)
=
−
s
1
=
−
tr
(
A
)
c
0
=
1
2
!
B
2
(
s
1
,
−
1
!
s
2
)
=
1
2
(
s
1
2
−
s
2
)
=
1
2
(
(
tr
(
A
)
)
2
−
tr
(
A
2
)
)
{\displaystyle {\begin{aligned}&c_{2}=B_{0}=1,\quad c_{1}={\frac {-1}{1!}}B_{1}(s_{1})=-s_{1}=-\operatorname {tr} (A)\\&c_{0}={\frac {1}{2!}}B_{2}(s_{1},-1!s_{2})={\frac {1}{2}}(s_{1}^{2}-s_{2})={\frac {1}{2}}((\operatorname {tr} (A))^{2}-\operatorname {tr} (A^{2}))\end{aligned}}}
などとなる。ここで、c 0
A
−
1
=
−
1
det
A
(
A
+
c
1
I
2
)
=
−
2
(
A
−
tr
(
A
)
I
2
)
(
tr
(
A
)
)
2
−
tr
(
A
2
)
{\displaystyle A^{-1}={\frac {-1}{\det A}}(A+c_{1}I_{2})={\frac {-2(A-\operatorname {tr} (A)I_{2})}{(\operatorname {tr} (A))^{2}-\operatorname {tr} (A^{2})}}}
と計算することができる。
注
ここで出てきた式 1 / 2 A )2 − tr(A 2 ))cn− k に対する（ベル多項式を用いた）一般式から出たものだから、n 次正方行列に対してもこれは常に λ n − 2c n − 23 次正方行列 A に対するケイリー・ハミルトンの定理の主張を
A
3
−
(
tr
A
)
A
2
+
1
2
(
(
tr
A
)
2
−
tr
(
A
2
)
)
A
−
det
(
A
)
I
3
=
O
{\displaystyle A^{3}-(\operatorname {tr} A)A^{2}+{\frac {1}{2}}((\operatorname {tr} A)^{2}-\operatorname {tr} (A^{2}))A-\det(A)I_{3}=O}
と書くことができる。同様に
det
(
A
)
=
1
3
!
B
3
(
s
1
,
−
1
!
s
2
,
2
!
s
3
)
=
1
6
(
s
1
3
+
3
s
1
(
−
s
2
)
+
2
s
3
)
=
1
6
(
(
tr
A
)
3
−
3
tr
(
A
2
)
(
tr
A
)
+
2
tr
(
A
3
)
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\det(A)&={\frac {1}{3!}}B_{3}(s_{1},-1!s_{2},2!s_{3})={\frac {1}{6}}(s_{1}^{3}+3s_{1}(-s_{2})+2s_{3})\\&={\tfrac {1}{6}}((\operatorname {tr} A)^{3}-3\operatorname {tr} (A^{2})(\operatorname {tr} A)+2\operatorname {tr} (A^{3}))\end{aligned}}}
と書けるが、これはそのまま一般の場合の λ n − 3c n − 34 次正方行列 A に対する定理の主張は
A
4
−
(
tr
A
)
A
3
+
1
2
(
(
tr
A
)
2
−
tr
(
A
2
)
)
A
2
−
1
6
(
(
tr
A
)
3
−
3
tr
(
A
2
)
(
tr
A
)
+
2
tr
(
A
3
)
)
A
+
det
(
A
)
I
4
=
O
{\displaystyle A^{4}-(\operatorname {tr} A)A^{3}+{\tfrac {1}{2}}{\bigl (}(\operatorname {tr} A)^{2}-\operatorname {tr} (A^{2}){\bigr )}A^{2}-{\tfrac {1}{6}}{\bigl (}(\operatorname {tr} A)^{3}-3\operatorname {tr} (A^{2})(\operatorname {tr} A)+2\operatorname {tr} (A^{3}){\bigr )}A+\det(A)I_{4}=O}
と書けるし、この場合の行列式
1
24
(
(
tr
A
)
4
−
6
tr
(
A
2
)
(
tr
A
)
2
+
3
(
tr
(
A
2
)
)
2
+
8
tr
(
A
3
)
tr
(
A
)
−
6
tr
(
A
4
)
)
{\displaystyle {\tfrac {1}{24}}((\operatorname {tr} A)^{4}-6\operatorname {tr} (A^{2})(\operatorname {tr} A)^{2}+3(\operatorname {tr} (A^{2}))^{2}+8\operatorname {tr} (A^{3})\operatorname {tr} (A)-6\operatorname {tr} (A^{4}))}
は c n − 4
係数 ck に対するもっと複雑な表示が、ニュートンの公式 （英語版 ） ファデーエフ–ルヴェリエのアルゴリズム （英語版 ） ck を求める別の方法として、一般の n 次正方行列でどの根も 0 でないものと仮定すれば、指数函数を用いた行列式の別表示
p
(
λ
)
=
det
(
λ
I
n
−
A
)
=
λ
n
exp
(
tr
(
log
(
I
n
−
A
/
λ
)
)
)
{\displaystyle p(\lambda )=\det(\lambda I_{n}-A)=\lambda ^{n}\exp(\operatorname {tr} (\log(I_{n}-A/\lambda )))}
を用いたアルゴリズムがある。メルカトル級数 を用いて書けば
p
(
λ
)
=
λ
n
exp
(
−
tr
∑
m
=
1
∞
(
A
λ
)
m
m
)
{\displaystyle p(\lambda )=\lambda ^{n}\exp \!{\bigg (}-\operatorname {tr} \textstyle \sum \limits _{m=1}^{\infty }{\dfrac {({\frac {A}{\lambda }})^{m}}{m}}{\biggr )}}
であるが、p (λ )n 次だから、この指数函数部分は λ − n λ の最後の負冪はケイリー・ハミルトンの定理により自動的に消える（再度、これには係数環が有理数体を含むことが必要である）。λ に対する係数たちが完全ベル多項式によって直接的に書けることは、この級数表示とベル多項式の母函数を比べれば分かる。この表示を λ に関して微分することで、一般の n に対する固有多項式の一般係数を m 次行列式
c
n
−
m
=
(
−
1
)
m
m
!
|
tr
A
m
−
1
0
⋯
tr
A
2
tr
A
m
−
2
⋯
⋮
⋮
⋮
tr
A
m
−
1
tr
A
m
−
2
⋯
⋯
1
tr
A
m
tr
A
m
−
1
⋯
⋯
tr
A
|
{\displaystyle c_{n-m}={\frac {(-1)^{m}}{m!}}{\begin{vmatrix}\operatorname {tr} A&m-1&0&\cdots \\\operatorname {tr} A^{2}&\operatorname {tr} A&m-2&\cdots \\\vdots &\vdots &&&\vdots \\\operatorname {tr} A^{m-1}&\operatorname {tr} A^{m-2}&\cdots &\cdots &1\\\operatorname {tr} A^{m}&\operatorname {tr} A^{m-1}&\cdots &\cdots &\operatorname {tr} A\end{vmatrix}}}
[注 4] ケイリー・ハミルトンの定理は A の冪の間に成り立つ（最も
とは限らないが）関係を記述するものであるから、それにより A の十分大きな指数の冪を含む式の計算において、式を簡単化して A の（n 以上の指数が大きな）冪を直接計算することなく値を評価することができるようになる。
例えば二次の場合に、
A
=
(
a
b
c
d
)
{\displaystyle A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}
A
2
=
tr
(
A
)
A
−
det
(
A
)
I
2
{\displaystyle A^{2}=\color {red}\operatorname {tr} (A)A-\det(A)I_{2}}
だから、A 4
A
3
=
(
tr
(
A
)
A
−
det
(
A
)
I
2
)
A
=
tr
(
A
)
(
tr
(
A
)
A
−
det
(
A
)
I
2
)
−
det
(
A
)
A
=
(
tr
(
A
)
2
−
det
(
A
)
)
A
−
tr
(
A
)
det
(
A
)
I
2
A
4
=
(
(
tr
(
A
)
2
−
det
(
A
)
)
A
−
tr
(
A
)
det
(
A
)
I
2
)
A
=
(
tr
(
A
)
2
−
det
(
A
)
)
(
tr
(
A
)
A
−
det
(
A
)
I
2
)
−
tr
(
A
)
det
(
A
)
A
=
(
tr
(
A
)
3
−
2
tr
(
A
)
det
(
A
)
)
A
−
(
tr
(
A
)
2
det
(
A
)
−
det
(
A
)
2
)
I
2
{\displaystyle {\begin{aligned}A^{3}&=(\operatorname {tr} (A)A-\det(A)I_{2})A=\operatorname {tr} (A)(\color {red}\operatorname {tr} (A)A-\det(A)I_{2}\color {black})-\det(A)A=\color {green}{(\operatorname {tr} (A)^{2}-\det(A))A-\operatorname {tr} (A)\det(A)I_{2}}\\[5pt]A^{4}&=(\color {green}(\operatorname {tr} (A)^{2}-\det(A))A-\operatorname {tr} (A)\det(A)I_{2}\color {black})A=(\operatorname {tr} (A)^{2}-\det(A))(\color {red}\operatorname {tr} (A)A-\det(A)I_{2}\color {black})-\operatorname {tr} (A)\det(A)A\\&=(\operatorname {tr} (A)^{3}-2\operatorname {tr} (A)\det(A))A-(\operatorname {tr} (A)^{2}\det(A)-\det(A)^{2})I_{2}\end{aligned}}}
A
−
1
=
−
A
−
tr
(
A
)
I
2
det
(
A
)
.
{\displaystyle A^{-1}=-{\frac {A-\operatorname {tr} (A)I_{2}}{\det(A)}}.}
二次の場合には二つの項の和で書けるということが上での計算から分かる。事実として、任意の k -乗がその正方行列の次数 n に対して次数高々 n − 1
解析函数が収束冪級数として
f
(
x
)
=
∑
k
=
0
∞
a
k
x
k
{\displaystyle f(x)=\textstyle \sum \limits _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}}
と与えられ、n 次正方行列 A の固有多項式を p (x )k で打ち切った多項式に対する剰余付きの除法 を考えれば、
f
(
x
)
=
q
(
x
)
p
(
x
)
+
r
(
x
)
{\displaystyle f(x)=q(x)p(x)+r(x)}
で「剰余」多項式 r (x )0 ≤ deg r (x ) < n q (x )x を行列 A に置き換えれば、ケイリー・ハミルトンの定理により p (A ) = O 剰余の定理 ：
f
(
A
)
=
r
(
A
)
{\displaystyle f(A)=r(A)}
が成り立つ。ゆえに、行列変数の解析函数は各行列 A ごとに n 次以下の行列多項式として書き表される。
上記除算の剰余を
r
(
x
)
:=
c
0
+
c
1
x
+
⋯
+
c
n
−
1
x
n
−
1
{\displaystyle r(x):=c_{0}+c_{1}x+\cdots +c_{n-1}x^{n-1}}
A の固有値 λ において評価するとき p (λ ) = 0
f
(
λ
i
)
=
r
(
λ
i
)
=
c
0
+
c
1
λ
i
+
⋯
+
c
n
−
1
λ
i
n
−
1
(
∀
i
=
1
,
2
,
⋯
,
n
)
{\displaystyle f(\lambda _{i})=r(\lambda _{i})=c_{0}+c_{1}\lambda _{i}+\cdots +c_{n-1}\lambda _{i}^{n-1}\qquad (\forall i=1,2,\cdots ,n)}
を作ることができる。これは n 個の線型方程式系になっているから、解くことで係数 ci を決定することができて、
f
(
A
)
=
∑
k
=
0
n
−
1
c
k
A
k
{\displaystyle f(A)=\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n-1}c_{k}A^{k}}
が決まる。
固有値が重複を持つ場合、つまり適当な i ≠ j λi = λj λ の重複度が m とすれば、p (x )m − 1
d
k
f
(
x
)
d
x
k
|
x
=
λ
=
d
k
r
(
x
)
d
x
k
|
x
=
λ
(
∀
k
=
1
,
2
,
⋯
,
m
−
1
)
{\displaystyle {\frac {d^{k}f(x)}{{\mathit {dx}}^{k}}}{\Big |}_{x=\lambda }={\frac {d^{k}r(x)}{{\mathit {dx}}^{k}}}{\Big |}_{x=\lambda }\qquad (\forall k=1,2,\cdots ,m-1)}
を新たに m − 1ci を決めるのに必要な n 個の方程式系を得ることができる。
全ての点 (λi , f (λi )) 補間問題 であり、ラグランジュ補間 やニュートン補間 法を用いて解くことができ、シルベスターの公式 （英語版 ）
例1
例として、
f
(
A
)
=
e
A
t
(
A
=
(
1
2
0
3
)
)
{\displaystyle f(A)=e^{At}\qquad (A={\begin{pmatrix}1&2\\0&3\end{pmatrix}})}
の多項式表現を求めよう。A の固有多項式は p (x ) = x 2 − 4x + 3λ = 1, 3r (x ) = c 0 + c 1 x f (λ ) = r (λ )et = c 0 + c 1 e 3t = c 0 + 3c 1
を得る。これを解けば
c 0 = (3et − e 3t )/2, c 1 = (e 3t − et )/2
を得るから、
e
A
t
=
c
0
I
2
+
c
1
A
=
(
e
t
e
3
t
−
e
t
0
e
3
t
)
{\displaystyle e^{At}=c_{0}I_{2}+c_{1}A={\begin{pmatrix}e^{t}&e^{3t}-e^{t}\\0&e^{3t}\end{pmatrix}}}
となる。函数を g (A ) = sin(At )c 0 = (3sin(t ) − sin(3t ))/2c 1 = (sin(3t ) − sin(t ))/2
sin
(
A
t
)
=
(
sin
t
sin
3
t
−
sin
t
0
sin
3
t
)
{\displaystyle \sin(At)={\begin{pmatrix}\sin t&\sin 3t-\sin t\\0&\sin 3t\end{pmatrix}}}
と求まる。 例2
同様にして、
f
(
A
)
=
e
A
t
(
A
=
(
0
1
−
1
0
)
)
{\displaystyle f(A)=e^{At}\qquad (A={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}})}
を考える。A の固有多項式は p (x ) = x 2 + 1λ = ±i eit = c 0 + ic 1 e−it = c 0 − ic 1
を解いて、
c 0 = (eit + e−it )/2 = cos(t ), c 1 = (eit − e− it )/2i = sin(t )
を得る。この場合の
e
A
t
=
(
cos
t
)
I
2
+
(
sin
t
)
A
=
(
cos
t
sin
t
−
sin
t
cos
t
)
{\displaystyle e^{At}=(\cos t)I_{2}+(\sin t)A={\begin{pmatrix}\cos t&\sin t\\-\sin t&\cos t\end{pmatrix}}}
は回転行列 である。 このような利用法の標準的な例は、行列リー群 （英語版 ） リー環 からの指数写像 である。これは行列指数関数
exp
:
g
→
G
;
{\displaystyle \exp \colon {\mathfrak {g}}\to G;}
t
X
↦
e
t
X
=
∑
n
=
0
∞
t
n
X
n
n
!
=
I
+
t
X
+
t
2
X
2
2
+
⋯
(
t
∈
R
,
X
∈
g
)
{\displaystyle tX\mapsto e^{tX}=\textstyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }{\dfrac {t^{n}X^{n}}{n!}}=I+tX+{\dfrac {t^{2}X^{2}}{2}}+\cdots \qquad (t\in \mathbb {R} ,X\in {\mathfrak {g}})}
として与えられる。その多項式表示は SU(2) パウリ行列 σ を用いて
e
i
(
θ
/
2
)
(
n
^
⋅
σ
)
=
I
2
cos
θ
/
2
+
i
(
n
^
⋅
σ
)
sin
θ
/
2
{\displaystyle e^{i(\theta /2)({\hat {n}}\cdot \sigma )}=I_{2}\cos \theta /2+i({\hat {n}}\cdot \sigma )\sin \theta /2}
と書ける。SO(3)
e
i
θ
(
n
^
⋅
J
)
=
I
3
+
i
(
n
^
⋅
J
)
sin
θ
+
(
n
^
⋅
J
)
2
(
cos
θ
−
1
)
{\displaystyle e^{i\theta ({\hat {n}}\cdot \mathbf {J} )}=I_{3}+i({\hat {n}}\cdot \mathbf {J} )\sin \theta +({\hat {n}}\cdot \mathbf {J} )^{2}(\cos \theta -1)}
と書ける（これはロドリゲスの回転公式 である）。記法については (rotation group SO(3)#A note on Lie algebra
後に下れば、ほかの群に対する表示も知られており、例えばローレンツ群 SO(3, 1) O(4, 2) SU(2, 2) GL(n , R ) O(4, 2) 時空 の共形群 （英語版 ） SU(2, 2) 単連結 被覆（より精確には、O(4, 2) 連結成分 SO+ (4, 2) SU(2) SO(3) spin
フェルディナント・ゲオルク・フロベニウス (1849-1917) はドイツの数学者。主な興味は楕円函数 、微分方程式 、のちに群論 。代数的整数の最小多項式 の計算においてもケイリー・ハミルトンの定理は有用である。例えば、Q Q [α 1 , …, αk ]α （これは添加された元の冪積 α n 1 α nk k Q α を掛けるという Q
⋅
α
:
Q
[
α
1
,
⋯
,
α
k
]
→
Q
[
α
1
,
⋯
,
α
k
]
{\displaystyle \cdot \alpha \colon \mathbb {Q} [\alpha _{1},\cdots ,\alpha _{k}]\to \mathbb {Q} [\alpha _{1},\cdots ,\alpha _{k}]}
の表現行列を A と書けば、A にケイリー・ハミルトンの定理を適用することにより α の最小多項式が求まる[22]
一般次数の n 次正方行列
A
=
(
a
i
j
)
i
,
j
=
1
n
{\displaystyle A=(a_{ij})_{i,j=1}^{n}}
文献[23]
A の固有多項式を
p
A
(
t
)
=
det
(
t
I
n
−
A
)
{\displaystyle p_{A}(t)=\det(tI_{n}-A)}
λ 1 , …, λn
p
A
(
t
)
=
(
t
−
λ
1
)
⋯
(
t
−
λ
n
)
{\displaystyle p_{A}(t)=(t-\lambda _{1})\cdots (t-\lambda _{n})}
A を上三角化した行列を B とする。このとき対角成分に固有値 λ 1 , …, λn
B
:=
P
−
1
A
P
=
(
λ
1
∗
λ
2
λ
3
⋱
λ
n
)
{\displaystyle B:=P^{-1}AP={\begin{pmatrix}\lambda _{1}&&&*&\\&\lambda _{2}&&&\\&&\lambda _{3}&&\\&&&\ddots &\\&&&&\lambda _{n}\end{pmatrix}}}
p
A
(
A
)
=
(
A
−
λ
1
I
)
⋯
(
A
−
λ
n
I
)
=
(
P
B
P
−
1
−
λ
1
I
)
⋯
(
P
B
P
−
1
−
λ
n
I
)
=
P
{
(
B
−
λ
1
I
)
⋯
(
B
−
λ
n
I
)
}
P
−
1
⋯
(
1
)
{\displaystyle {\begin{aligned}p_{A}(A)&=(A-\lambda _{1}I)\cdots (A-\lambda _{n}I)\\&=(PBP^{-1}-\lambda _{1}I)\cdots (PBP^{-1}-\lambda _{n}I)\\&=P\{(B-\lambda _{1}I)\cdots (B-\lambda _{n}I)\}P^{-1}\ \cdots \ (1)\\\end{aligned}}}
ここで
p
B
(
B
)
=
(
B
−
λ
1
I
)
⋯
(
B
−
λ
n
I
)
{\displaystyle p_{B}(B)=(B-\lambda _{1}I)\cdots (B-\lambda _{n}I)}
C
k
:=
B
−
λ
k
I
(
k
=
1
,
2
,
⋯
,
n
)
{\displaystyle C_{k}:=B-\lambda _{k}I\ (k=1,2,\cdots ,n)}
Ck は上三角行列で、(k , k ) 0 である。
C
1
C
2
{\displaystyle C_{1}C_{2}}
(
0
∗
⋯
∗
∗
⋯
∗
⋱
⋮
∗
)
(
∗
∗
⋯
∗
0
⋯
∗
⋱
⋮
∗
)
=
(
0
0
⋯
∗
0
⋯
∗
⋱
⋮
∗
)
{\displaystyle \left({\begin{array}{c|c|cc}0&*&\cdots &*\\\hline &*&\cdots &*\\\hline &&\ddots &\vdots \\&&&*\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c|c|cc}*&*&\cdots &*\\\hline &0&\cdots &*\\\hline &&\ddots &\vdots \\&&&*\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c|c|cc}0&0&\cdots &*\\\hline &0&\cdots &*\\\hline &&\ddots &\vdots \\&&&*\end{array}}\right)}
故に、第2列までは成分が全て 0 になる。同様にして、帰納的に、
C
k
{\displaystyle C_{k}}
k 列までの成分は全て 0 になる。これを n 番目まで繰り返すことにより
C
1
⋯
C
n
=
O
{\displaystyle C_{1}\cdots C_{n}=O}
故に (1) は
P
(
C
1
⋯
C
n
)
P
−
1
=
O
{\displaystyle P(C_{1}\cdots C_{n})P^{-1}=O}
単因子 論を用いると、簡単に導出できる。ただし、単因子標準形の存在・一意性の証明にはかなりの工程を要する[24]
文献[24]
xI − A
deg
det
(
x
I
−
A
)
=
n
{\displaystyle \deg \det(xI-A)=n}
P
(
x
)
(
x
I
−
A
)
Q
(
x
)
=
(
e
1
(
x
)
⋱
e
n
(
x
)
)
{\displaystyle P(x)(xI-A)Q(x)={\begin{pmatrix}e_{1}(x)&&\\&\ddots &\\&&e_{n}(x)\\\end{pmatrix}}}
の形となる。ここで、ek (x )モニック多項式 、e k − 1x ) | ek (x )ek (x )e k − 1x )
単因子論で知られている結果として、最後の単因子 en (x )A の最小多項式 φA (x )
p
A
(
x
)
=
det
(
x
I
−
A
)
=
det
P
(
x
)
−
1
⋅
(
e
1
(
x
)
⋯
e
n
−
1
(
x
)
ϕ
A
(
x
)
)
⋅
det
Q
(
x
)
−
1
{\displaystyle {\begin{aligned}p_{A}(x)&=\det(xI-A)\\&=\det P(x)^{-1}\cdot (e_{1}(x)\cdots e_{n-1}(x)\phi _{A}(x))\cdot \det Q(x)^{-1}\end{aligned}}}
故に固有多項式 pA (x )φA (x )p (A ) = O
A の固有多項式を定義する行列 tIn − A は多項式行列 である。多項式全体は可換環をなすから、この行列の余因子行列
B
(
t
)
:=
adj
(
t
I
n
−
A
)
{\displaystyle B(t):=\operatorname {adj} (tI_{n}-A)}
が存在して、基本関係式により
(
t
I
n
−
A
)
B
(
t
)
=
det
(
t
I
n
−
A
)
I
n
=
p
(
t
)
I
n
{\displaystyle (tI_{n}-A)B(t)=\det(tI_{n}-A)I_{n}=p(t)I_{n}}
(1 )
が成り立つ。
この B (t )t を変数とする多項式行列であるから、各 i に対して行列の各成分から ti の項だけを取り出してまとめたものを係数行列 Bi として、
B
(
t
)
=
∑
i
=
0
n
−
1
t
i
B
i
{\displaystyle B(t)=\textstyle \sum \limits _{i=0}^{n-1}t^{i}B_{i}}
(B )
と書き直すことができる（B (t )t n − 1ti は係数として左側に書いている）。
さて等式 1
p
(
t
)
I
n
=
t
B
(
t
)
−
A
B
(
t
)
=
∑
i
=
0
n
−
1
t
i
+
1
B
i
−
∑
i
=
0
n
−
1
t
i
A
B
i
=
t
n
B
n
−
1
+
∑
i
=
1
n
−
1
t
i
(
B
i
−
1
−
A
B
i
)
−
A
B
0
=:
t
n
I
n
+
t
n
−
1
c
n
−
1
I
n
+
⋯
+
t
c
1
I
n
+
c
0
I
n
{\displaystyle {\begin{aligned}p(t)I_{n}&=tB(t)-AB(t)\\&=\textstyle \sum \limits _{i=0}^{n-1}t^{i+1}B_{i}-\sum \limits _{i=0}^{n-1}t^{i}AB_{i}\\&=t^{n}B_{n-1}+\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n-1}t^{i}(B_{i-1}-AB_{i})-AB_{0}\\&=:t^{n}I_{n}+t^{n-1}c_{n-1}I_{n}+\cdots +tc_{1}I_{n}+c_{0}I_{n}\end{aligned}}}
の形に書ける（これは t を変数とする2つの多項式行列の間の等式である）。この等式が成り立つのは、各 i について、ti を係数とする定数成分行列がそれぞれ等しくなるときである。このような係数比較 （英語版 ）
B
n
−
1
=
I
n
,
B
i
−
1
−
A
B
i
=
c
i
I
n
(
i
=
1
,
⋯
,
n
−
1
)
,
−
A
B
0
=
c
0
I
n
{\displaystyle {\begin{aligned}&B_{n-1}=I_{n},\\&B_{i-1}-AB_{i}=c_{i}I_{n}\qquad (i=1,\cdots ,n-1),\\&-AB_{0}=c_{0}I_{n}\end{aligned}}}
を得る。これにそれぞれ（比較に用いた ti に応じて）Ai を掛けて足し合わせた
p
(
A
)
=
A
n
+
c
n
−
1
A
n
−
1
+
⋯
+
c
1
A
+
c
0
I
n
=
A
n
B
n
−
1
+
∑
i
=
1
n
−
1
(
A
i
B
i
−
1
−
A
i
+
1
B
i
)
−
A
B
0
{\displaystyle {\begin{aligned}p(A)&=A^{n}+c_{n-1}A^{n-1}+\cdots +c_{1}A+c_{0}I_{n}\\&=A^{n}B_{n-1}+\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n-1}\left(A^{i}B_{i-1}-A^{i+1}B_{i}\right)-AB_{0}\end{aligned}}}
は畳み込み和 として全ての項が打ち消し合うから、p (A ) = O
まず、前節の証明に現れる式によって示唆される「行列係数の多項式」という概念について正当化しておく。これには非可換環係数の多項式というある意味普通ではないものを考えることになるので、入念に注意を払う必要が出てくる。通常の多項式で正当化されることが、今の定では適用できないということが多々起こる[注 5]
著しい点として、通常の可換環係数の多項式に対する算術は、多項式を多項式函数 と同一視して函数としての（点ごと の）演算を雛形とすることができるが、非可換環係数ではそれは可能ではない（実は、非可換環上での場合には、乗法のもとで閉じる 多項式函数の明らかな概念は存在しない）。それゆえ、行列係数の変数 t に関する多項式を考えるときには、変数 t は係数環の任意の値を取りうる「未知数 」と考えてはいけなくて、いくつかの決まったルールに従う形式的な記号としての「不定元 」として扱うべきである。特に t に特定の値を代入しようというのは危険である[注 5]
(
f
+
g
)
(
x
)
=
∑
i
(
f
i
+
g
i
)
x
i
=
∑
i
f
i
x
i
+
∑
i
g
i
x
i
=
f
(
x
)
+
g
(
x
)
{\displaystyle (f+g)(x)=\sum _{i}\left(f_{i}+g_{i}\right)x^{i}=\sum _{i}f_{i}x^{i}+\sum _{i}g_{i}x^{i}=f(x)+g(x)}
適当な環 R （例えば実数体 R C n 次正方行列環 を M (n , R )A をとる。t に関する多項式を係数として持つ行列、例えば tIn − A B なとは M (n , R [t ])t の同じ次数の冪を含む項をまとめることにより、M (n , R [t ])t を変数とする行列係数の「多項式」の形に書き表すことができる。行列係数の多項式全体の成す集合を M (n , R )[t ]M (n , R )[t ]M (n , R [t ])一対一対応 が存在するから、それにより対応する算術演算を定義することができる。特に乗法は
(
∑
M
i
t
i
)
(
∑
N
j
t
j
)
=
∑
i
,
j
(
M
i
N
j
)
t
i
+
j
{\displaystyle \left(\sum M_{i}t^{i}\right)\left(\sum N_{j}t^{j}\right)=\sum _{i,j}(M_{i}N_{j})t^{i+j}}
で与えられる。これは明らかに非可換な乗法である（特に右辺の係数における積の順番は、左辺の対応する因子の現れる順番を反映するようにしなければならない）[注 5]
この設定で、等式
(
t
I
n
−
A
)
B
=
p
(
t
)
I
n
{\displaystyle (tI_{n}-A)B=p(t)I_{n}}
M (n , R )[t ]t が行列 A に等しいとおく誘惑にかられそうになる（そうすれば左辺は零行列で右辺は p (A )[注 5] M evA M [t ] → M ti を A の冪 Ai で置き換えるが、この冪は常に対応する係数の右から掛けるものと約束するものである）。ただしこれは環準同型にならない（積の右評価写像の値は右評価写像の積とは一般には異なる）から、行列係数多項式の乗法が t を係数環に属する未知数と見ての乗法を雛形としたものでないことが確認できる（積 Mti ⋅ Ntj = (MN )ti+j t は常に N と可換と仮定することで定義できるが、これは t を行列 A で置き換えるときには常には期待できない。ただし、手近な特定の状況を想定する場合にはこの問題をうまく回避できることもある（たとえば、上記の右評価写像は行列 A が係数環の中心 に属している場合には（どの多項式でもすべての係数と A は可換になるから）環準同型になる）。
ケイリー・ハミルトンの定理の証明では M A は必ずしも中心に属するわけではないけれども、M A と可換になるようにするという手段をとることはできる。明らかに、A と可換な行列全体として与えられる部分環（すなわち A の中心化環）Z はそのような部分環の候補になる（定義により、A は Z の中心元である）。この中心化環が In および A を含んでいることは明らかだが、tIn − A B に現れる ti の係数 Bi を含むことも示せる。実際、余因子行列の転置の基本関係として
B
(
t
I
n
−
A
)
=
(
t
I
n
−
A
)
B
{\displaystyle B(tI_{n}-A)=(tI_{n}-A)B}
が成り立つが、これに B = ∑ m i = 0Bi ⋅ ti
∑
i
=
0
m
B
i
A
t
i
=
∑
i
=
0
m
A
B
i
t
i
{\displaystyle \sum _{i=0}^{m}B_{i}At^{i}=\sum _{i=0}^{m}AB_{i}t^{i}}
が残る。各 i に対して係数比較 （英語版 ） ABi = Bi A
このように実際に evA
ev
A
(
p
(
t
)
I
n
)
=
ev
A
(
(
t
I
n
−
A
)
B
)
p
(
A
)
=
ev
A
(
t
I
n
−
A
)
⋅
ev
A
(
B
)
p
(
A
)
=
(
A
I
n
−
A
)
⋅
ev
A
(
B
)
=
O
⋅
ev
A
(
B
)
=
O
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {ev} _{A}{\bigl (}p(t)I_{n}{\bigr )}&=\operatorname {ev} _{A}((tI_{n}-A)B)\\p(A)&=\operatorname {ev} _{A}(tI_{n}-A)\cdot \operatorname {ev} _{A}(B)\\p(A)&=(AI_{n}-A)\cdot \operatorname {ev} _{A}(B)=O\cdot \operatorname {ev} _{A}(B)=O\end{aligned}}}
余因子行列の証明において、B の係数 Bi は随伴行列の基本関係式の右辺だけに基づいて決定することができる。実は導かれた最初の n 本の式は、多項式 p (t )In モニック多項式 In t − A 除した 商 B を決定するものと解釈することができ、また最後の式はその除した剰余が零であるという事実を表すと解釈できる。この割り算は行列係数多項式の環において行われる。実際、非可換環係数の場合においてさえも、モニック多項式 P によるユークリッド除法（余り付き除算）は定義され、通常（可換環上）と同様に次数に関する条件を満たす商と剰余が常に一意的に取り出される（ここで P がどちら側因子であるかは決まっていることが前提である。今の場合は左因子である）。
注 ここでの主張において重要な点である「商と剰余が一意であること」を見るには、2通りの表示 PQ + r = PQ′ + r′ P (Q − Q′ ) = r′ − r P はモニック（最高次係数 1）であるから P (Q − Q′ )Q = Q′ P の次数より小さくはならない。 しかしここで用いた被除数 p (t )In In t − A (R [A ])[t ] R [A ]A の生成する行列環 M (n , R )A のすべての冪によって R 上線型に張られる集合 である）。したがって、実は上記の割り算は可換多項式環の中で実行できるものであり、もちろんこの小さい環においても同じ商 B と剰余 0 が与えられる。このことから特に B が実は (R [A ])[t ] p (t )In = (tIn − A )B t を A とおくことは有効、すなわち評価写像
ev
A
:
(
R
[
A
]
)
[
t
]
→
R
[
A
]
{\displaystyle \operatorname {ev} _{A}\colon (R[A])[t]\to R[A]}
は環準同型となり第二の証明と同じく所期の
p
(
A
)
=
0
⋅
ev
A
(
B
)
=
0
{\displaystyle p(A)=0\cdot \operatorname {ev} _{A}(B)=0}
定理を証明することに加えて、上記の論法では B の係数 Bi は A に関する多項式であることまで分かる（これに対して、第二の証明からはそれらは A の中心化環 Z に入ることしか分からない。一般に Z は R [A ]B 0 = adj(− A )R [A ]A は勝手な正方行列でよかったのだから、これにより adj(A ) A の多項式に書ける（係数は A ごとに変わる）ことが保証される。
実は最初の証明で求めた等式により順番に
B
n
−
1
,
⋯
,
B
1
,
B
0
{\displaystyle B_{n-1},\cdots ,B_{1},B_{0}}
A の多項式として表すことができ、任意の n 次正方行列に対して有効な恒等式
adj
(
−
A
)
=
∑
i
=
1
n
c
i
A
i
−
1
{\displaystyle \operatorname {adj} (-A)=\sum _{i=1}^{n}c_{i}A^{i-1}}
が導かれる。ここに、ci は A の固有多項式 p (t ) = tn + c n − 1t n − 1c 1 t + c 0
注 この恒等式はケイリー・ハミルトンの定理の主張を含意するものである。実際、adj(−A ) A を（左から、あるいは右から）掛け、基本関係式 (adj
−
A
⋅
adj
(
−
A
)
=
adj
(
−
A
)
⋅
(
−
A
)
=
det
(
−
A
)
I
n
=
c
0
I
n
{\displaystyle -A\cdot \operatorname {adj} (-A)=\operatorname {adj} (-A)\cdot (-A)=\det(-A)I_{n}=c_{0}I_{n}}
→「
ファデーエフ-ルヴェリエのアルゴリズム （英語版 ） 」も参照
上で述べた通り、定理の主張における行列 p (A )A を変数 t に代入して得るものであり、行列式を計算する前に行列 tIn − A に代入を行うことは意味をなさない。にも拘らず、p (A )
ただしこれには、環上の行列 A とはその成分 aij のことともそれらの全体としての A そのものとも解釈できるというような、やや面倒な状況を設定する必要がある。すなわち、環 R 上の n 次正方行列全体の成す環 M (n , R )aij はスカラー行列 aij In として実現されるし、A それ自体も入っている。しかし行列を成分とする行列は、ここでの意図でない区分行列 との混同を引き起こしかねない（区分行列と考えると行列式の概念が正しく与えられない[注 6] e 1 , …, en n 次元ベクトル空間（係数環 R が体でないときは n 階 R -自由加群）V 上の自己準同型 φ を行列 A と区別をつけて、全自己準同型環 V 上の行列を考えることにする。そうすると、各 φ ∈ End(V )A とは各 (i , j ) aij 倍するという自己準同型になっているような M (n , End(V ))In も M (n , End(V ))
ただし、End(V ) M (n , End(V ))End(V ) φIn − A の成分はすべて、φ と恒等変換で R 上生成される可換部分環 R [φ ]det: M (n , R [φ ]) → R [φ ] det(φIn − A ) A の固有多項式を φ において評価した値とすることができる（このことは A と φ との間に成り立つ関係とは無関係に成り立つ）。
この設定で、ケイリー・ハミルトンの定理の主張は p (φ )零写像 となることである。この設定での定理の証明を以下に示す（これは（中山の補題 と関連した）より一般の形で (Atiyah & MacDonald 1969 , Prop. 2.4) にあるものである）:
自己準同型環上の行列に基づく証明
行列 A = (aij )e 1 , …, en φ の表現行列であるとは
φ
(
e
i
)
=
∑
j
=
1
n
a
j
,
i
e
j
(
i
=
1
,
⋯
,
n
)
{\displaystyle \varphi (e_{i})=\sum _{j=1}^{n}a_{j,i}e_{j}\quad (i=1,\cdots ,n)}
と書けることであった。これらを行列のベクトルへの左乗 M (n , End(V )) × Vn → Vn Vn における一つの等式の n 個の成分と解釈することができる（行列のベクトルへの積は、個々の成分が ψ ∈ End(V )v ∈ V ψ (v )
φ
I
n
⋅
E
=
A
tr
⋅
E
{\displaystyle \varphi I_{n}\cdot E=A^{\operatorname {tr} }\cdot E}
の形にまとめられる。ここに、E ∈ Vn i 成分が ei となる元（というより、V の基底ベクトル e 1 , …, en tr は行列の転置 。整理すれば
(
φ
I
n
−
A
tr
)
⋅
E
=
0
∈
V
n
{\displaystyle (\varphi I_{n}-A^{\operatorname {tr} })\cdot E=0\in V^{n}}
の形に書ける。左辺に現れた行列は φIn − A の転置と理解すれば、この行列の（M (n , R [φ ])p (φ )p (φ ) = 0 ∈ End(V )φIn − A tr M (n , R [φ ])余因子行列 の転置 (adjugate matrix ) を左から掛ければよい。これは
0
=
adj
(
φ
I
n
−
A
tr
)
⋅
(
(
φ
I
n
−
A
tr
)
⋅
E
)
=
(
adj
(
φ
I
n
−
A
tr
)
⋅
(
φ
I
n
−
A
tr
)
)
⋅
E
=
(
det
(
φ
I
n
−
A
tr
)
I
n
)
⋅
E
=
(
p
(
φ
)
I
n
)
⋅
E
{\displaystyle {\begin{aligned}0&=\operatorname {adj} (\varphi I_{n}-A^{\operatorname {tr} })\cdot ((\varphi I_{n}-A^{\operatorname {tr} })\cdot E)\\&=(\operatorname {adj} (\varphi I_{n}-A^{\operatorname {tr} })\cdot (\varphi I_{n}-A^{\operatorname {tr} }))\cdot E\\&=(\det(\varphi I_{n}-A^{\operatorname {tr} })I_{n})\cdot E\\&=(p(\varphi )I_{n})\cdot E\end{aligned}}}
と計算できる。最初の等号は行列同士および行列とベクトルとの積の結合性によるが、この性質は行列やベクトルの成分がどのようなものであるかとは無関係に、これら積が持つ純形式的な性質である。さて、この等式の第 i 成分をみれば、p (φ )(ei ) = 0 ∈ V p (φ )ei で— したがってそれらの生成する V 全体で— 消えていることになる。それはすなわち p (φ ) = 0 ∈ End(V )
この証明を検討すれば、固有多項式をとる行列 A は、多項式に代入する値としての φ と同一である必要がないことが分かる。すなわち V 上の自己準同型 φ は、最初に与えた等式 φ (ei ) = ∑ j aji ⋅ ej e 1 , …, en V と書けば上記の証明を追うことができる）。この元の列には基底のような独立性は仮定しないでよいから、生成される空間の次元は n よりも小さくなり得るし、係数環が体でないときは自由加群 でない場合も出てくる。
そうして R を生成系 {e 1 , …, en } R の自己準同型 φ の上記生成系に関する表現行列が A = (aij )
φ
(
e
j
)
=
∑
a
i
j
e
i
(
j
=
1
,
⋯
,
n
)
{\displaystyle \varphi (e_{j})=\sum a_{ij}e_{i}\qquad (j=1,\cdots ,n)}
を満たすものとする設定の下でのケイリー・ハミルトンの定理：pφ (φ ) = 0
このように一般化された状況におけるこの定理は可換環論および代数幾何学において重要な中山の補題 の源流である。
四元数の乗法およびそれを用いた任意の構成（この文脈では特に行列式が顕著）には非可換性がかかわってくるから、十分に定義を検討する必要がある。分解型四元数 に対するケイリー・ハミルトンの定理も（やや素性はよくない （英語版 ） 2 次行列として表すことができる（ノルム 1 に制限すれば、これらの乗法の定める作用はそれぞれ特殊ユニタリ群 SU(2) および SU(1, 1) である）から、これらに対して定理が成り立つことは驚くことではない。そのような行列表現のできない八元数 （八元数の乗法は非結合的であるから行列の積で表現することは不合理）でさえ、それでも修正版のケイリー・ハミルトンの定理が満足される 「天然（の）」という意味ではなく、permutation（置換）と determinant（行列式）を合成したカバン語 のモジり。直訳的に合成すれば「置換式」。（テンソルの交代積に対する対称積のように、置換の符号 を掛ける部分を取り除いて）行列式の反対称性を対称性で置き換えた対応物なので「対称的行列式」のように呼べるかもしれない。 これら係数の陽な表示は
c
i
=
∑
k
1
,
k
2
,
⋯
,
k
n
∏
l
=
1
n
(
−
1
)
k
l
+
1
l
k
l
k
l
!
tr
(
A
l
)
k
l
{\displaystyle c_{i}=\sum _{k_{1},k_{2},\cdots ,k_{n}}\prod _{l=1}^{n}{\frac {(-1)^{k_{l}+1}}{l^{k_{l}}k_{l}!}}\operatorname {tr} (A^{l})^{k_{l}}}
∑ n l =1l⋅ kl = n − i {kl ≥ 0} 例えば（ヤコビの公式 を解いている）(Brown 1994 , p. 54) などを見よ：
∂
p
(
λ
)
/
∂
λ
=
p
(
λ
)
∑
m
=
0
∞
λ
−
(
m
+
1
)
tr
A
m
=
p
(
λ
)
tr
I
λ
I
−
A
≡
tr
B
,
{\displaystyle \partial p(\lambda )/\partial \lambda =p(\lambda )\sum _{m=0}^{\infty }\lambda ^{-(m+1)}\operatorname {tr} A^{m}=p(\lambda )\operatorname {tr} {\frac {I}{\lambda I-A}}\equiv \operatorname {tr} B,}
B は後で述べる 随伴行列である。これと同値な、再帰的に関係したアルゴリズムをユルバン・ルヴェリエ とドミトリー・ファデーエフ （英語版 ） ファデーエフ–ルヴェリエアルゴリズム （英語版 ）
M
0
≡
O
,
c
n
=
1
(
k
=
0
)
M
k
≡
A
M
k
−
1
−
1
k
−
1
(
tr
(
A
M
k
−
1
)
)
I
,
c
n
−
k
=
−
1
k
tr
(
A
M
k
)
(
k
=
1
,
⋯
,
n
)
{\displaystyle {\begin{aligned}M_{0}&\equiv O,&c_{n}&=1\quad &(k&=0)\\M_{k}&\equiv AM_{k-1}-{\frac {1}{k-1}}(\operatorname {tr} (AM_{k-1}))I,&c_{n-k}&=-{\frac {1}{k}}\operatorname {tr} (AM_{k})&(k&=1,\cdots ,n)\end{aligned}}}
Gantmacher 1960 , p. 88 を見よ）。Bk ≡ Mn− k
(
λ
I
−
A
)
B
=
I
p
(
λ
)
{\displaystyle (\lambda I-A)B=Ip(\lambda )}
p の微分を追跡すれば
λ
p
′
−
n
p
=
tr
(
A
B
)
{\displaystyle \lambda p'-np=\operatorname {tr} (AB)}
(佐武 1958 , p. 137, 注意)によれば、「行列係数の多項式に関して乗法の交換の法則は一般には成立しないが、それ以外（加減乗の演算に関する限り）通常の多項式と全く同様に取り扱うことができる．また行列係数の多項式の間の等式には，それら係数行列のすべてと交換可能な行列を代入することができる．（係数行列と非可換な行列は代入することができない．）行列係数の多項式に関して整除の問題は複雑である」とある。 行列式は行列の成分たちの積和であることを思い出そう。したがって、R 上の行列を成分に持つ行列の行列式はそれ自体が R 上の一つの行列である（係数環 R の元ではない）。つまり、区分行列の各ブロックをそれ自体一つの行列と見て、区分行列を行列の行列と考えるなら、その行列式はブロックたちの積和の形をしていなければならない。その一方、R 上の区分行列の成分は（ブロックではなくその中の）係数環 R の元自体であり、したがって区分行列の行列式はそれ自身もまた R の元であって、両者の概念は一般には一致しない。
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![{\displaystyle {\begin{aligned}A^{3}&=(\operatorname {tr} (A)A-\det(A)I_{2})A=\operatorname {tr} (A)(\color {red}\operatorname {tr} (A)A-\det(A)I_{2}\color {black})-\det(A)A=\color {green}{(\operatorname {tr} (A)^{2}-\det(A))A-\operatorname {tr} (A)\det(A)I_{2}}\\[5pt]A^{4}&=(\color {green}(\operatorname {tr} (A)^{2}-\det(A))A-\operatorname {tr} (A)\det(A)I_{2}\color {black})A=(\operatorname {tr} (A)^{2}-\det(A))(\color {red}\operatorname {tr} (A)A-\det(A)I_{2}\color {black})-\operatorname {tr} (A)\det(A)A\\&=(\operatorname {tr} (A)^{3}-2\operatorname {tr} (A)\det(A))A-(\operatorname {tr} (A)^{2}\det(A)-\det(A)^{2})I_{2}\end{aligned}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cad9aa90f6fba34faa441c44e5555caef84eb01f)
![{\displaystyle \cdot \alpha \colon \mathbb {Q} [\alpha _{1},\cdots ,\alpha _{k}]\to \mathbb {Q} [\alpha _{1},\cdots ,\alpha _{k}]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af790df33149740496ca22b62ebc49ec1f88bd38)
![{\displaystyle \operatorname {ev} _{A}\colon (R[A])[t]\to R[A]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a946f3157a0a04c68ea449e9a416d26c5cbde860)
