単因子

定義

要約

視点

$D$ を単項イデアル整域（たとえば整数環 $Z$ や複素係数の一変数多項式環 $C [x]$ などのユークリッド整域）とする。また $M n \times m (D)$ を $D$ 成分の $n \times m$ 行列全体とし、特に $m = n$ のときは、これを $M n (D)$ と表すことにする。すべての行列 $A \in M n \times m (D)$ は、ある可逆行列 $P \in M n (D)$ と $Q \in M m (D)$ を使って次の形に変形できる^[1]。

PAQ={\begin{pmatrix}e_{1}&&&&\\&\ddots &&&\\&&e_{r}&&\\&&&0&\\&&&&\ddots \end{pmatrix}}

ここで $e 1, \dots, e r \neq 0$ かつ $e 1 D \supseteq \dots \supseteq e r D$ である。このような $e 1, \dots, e r$ は単数倍を除いて一意に定まり^[2]、これを行列 $A$ の単因子という。右辺の行列は $A$ のスミス標準形 Smith normal form^[3] あるいは単因子標準形と呼ばれる。この行列 $P, Q$ は行列の基本変形を積み重ねることにより求められる^[4]。

性質

$F$ を体とする。

2つの行列 $A, B \in M n (F)$ が相似であるための必要十分条件は、2つの行列 $xI - A, xI - B \in M n (F [x])$ の単因子が一致することである^[5]。

行列 $A \in M n (F)$ の最小多項式は、行列 $xI - A \in M n (F [x])$ の最大次数の単因子（を規格化したもの）と一致する^[6]。

例

要約

視点

$D$ を複素係数の一変数多項式環 $C [x]$ とする。次の行列 $A \in M 2 (C [x])$ の単因子は可逆行列 $P, Q \in M 2 (C [x])$ として以下の行列を取れば $1, (x - λ) 2$ とわかる。

A={\begin{pmatrix}x-\lambda &-1\\&x-\lambda \end{pmatrix}}

P={\begin{pmatrix}1&\\x-\lambda &1\end{pmatrix}},\qquad Q={\begin{pmatrix}1&\\x-\lambda &1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}&1\\-1&\end{pmatrix}}

PAQ={\begin{pmatrix}1&\\&(x-\lambda )^{2}\end{pmatrix}}

参考文献

定義

性質

例

脚注

参考文献

関連項目

外部リンク

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