転置行列
m 行 n 列の行列 A に対して A の (i, j) 要素と (j, i) 要素を入れ替えてできる n 行 m 列の行列 ウィキペディアから
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m 行 n 列の行列 A に対して A の (i, j) 要素と (j, i) 要素を入れ替えてできる n 行 m 列の行列 ウィキペディアから
転置行列(てんちぎょうれつ、英: transpose [of a matrix], transposed matrix)とは、m 行 n 列の行列 A に対して A の (i, j) 要素と (j, i) 要素を入れ替えてできる n 行 m 列の行列のことである[1]。転置行列は tA, AT, A⊤, Atr, A′ などと示される。行列の転置行列を与える操作のことを転置(てんち、英: transpose)といい、「A を転置する」などと表現する。
特に正方行列に対しては、転置行列は各成分を対角成分で折り返した行列になる。
m × n行列
の転置行列 tA は
で定義される。このとき tA は n × m行列である。
A, B は行列、k, l はスカラーとして各演算が定義できる限りにおいて以下のことが成り立つ。
転置により定義される特別な行列として以下がある[4]。
これらの行列はそれぞれ随伴行列(行列のエルミート共役)に対するエルミート行列、歪エルミート行列、ユニタリ行列に相当する。
m × n 行列 A を n 次元ベクトル空間 V から m 次元ベクトル空間 W への線形写像 f : V → W とみなすとき、A の転置行列 tA には f の転置写像 tf が対応する。これは W の双対空間 W* から V の双対空間 V* への線形写像 tf : W* → V* で、y* ∈ W* に対して
によって定義される[5]。この定義は y ∈ W と y* ∈ W* の自然なペアリングを y*(y) = ⟨y, y*⟩ と表記すれば、x ∈ V に対して
という関係式によって書き直すこともできる[6]。
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