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uguaglianza tra due espressioni contenenti una o più variabili, dette incognite Da Wikipedia, l'enciclopedia libera
Un'equazione (dal latino aequatio) è una uguaglianza matematica tra due espressioni contenenti una o più variabili, dette incognite. L'uso del termine risale almeno al Liber abbaci del Fibonacci (1228).
Se un'equazione ha incognite, allora ogni -upla (ordinata) di elementi che sostituiti alle corrispondenti incognite rendono vera l'uguaglianza è una soluzione dell'equazione. Risolvere un'equazione significa individuare l'insieme di tutte le sue soluzioni.
Due equazioni si dicono equivalenti se i rispettivi insiemi delle soluzioni coincidono. Vi sono due principi che consentono di manipolare le equazioni per trovare l'insieme delle soluzioni; essi sono una conseguenza diretta delle proprietà delle uguaglianze:
Tipicamente in un'equazione compaiono, oltre alle incognite, dei coefficienti noti che moltiplicano le incognite stesse e dei termini noti che sono ad esse applicati tramite somma algebrica: questi elementi, se non sono esplicitati nel loro valore numerico, sono indicati in genere con le lettere , , ... mentre alle variabili incognite sono convenzionalmente attribuite le ultime lettere dell'alfabeto (, , ...).
Le soluzioni di un'equazione vengono generalmente indicate esplicitando le incognite delle espressioni che contengono le costanti ed eventuali parametri arbitrari. Ad esempio, la soluzione dell'equazione
dove è un parametro non nullo, e il dominio è l'insieme dei numeri reali, si scrive come
Un'equazione si dice:
Dal teorema fondamentale dell'algebra[1], segue immediatamente che un'equazione polinomiale (cioè formata da un polinomio uguagliato a zero, in una variabile) di grado ammette sempre soluzioni nel campo complesso, di cui alcune possono essere multiple. In particolare un'equazione di grado ammette almeno soluzione e al massimo soluzioni complesse differenti[2].
Per il teorema di Abel-Ruffini, non esiste una formula generale per esprimere le radici delle equazioni polinomiali di grado o superiore tramite una formula per radicali. Viceversa le equazioni di primo grado, secondo grado, terzo grado e quarto grado ammettono una formula risolutiva generica. Casi particolari di equazioni di grado superiore al quarto possono comunque essere risolti tramite radicali.
Il metodo delle tangenti di Newton, sotto determinate ipotesi, fornisce un algoritmo per la risoluzione numerica delle equazioni. Un altro algoritmo con ipotesi più generali è il metodo di bisezione. Le soluzioni trovate mediante metodi numerici vengono chiamate approssimate in contrapposizione alle soluzioni date da formule chiuse che vengono chiamate esatte. Tuttavia alcune volte l'errore commesso tramite metodi approssimanti risulta minore di quello commesso nell'approssimazione ai numeri macchina implementando metodi esatti. (ne è un esempio il metodo di Mandelbrot per equazioni di quinto e sesto grado).
Una prima classificazione delle equazioni può avvenire in questo modo:
Le equazioni algebriche possono essere divise in vari gruppi in base alle loro caratteristiche; è necessario ricordare che un'equazione deve appartenere ad almeno e solo una delle categorie per ogni gruppo.
In base al grado del polinomio:
Possono inoltre essere divise in base alla presenza di incognite al radicando di radici:
Si definisce equazione omogenea un'equazione algebrica in più variabili i cui termini hanno tutti lo stesso grado. Un'equazione omogenea ammette sempre la soluzione banale con tutte le variabili uguali a e, su un campo algebricamente chiuso, ammette sempre infinite soluzioni, infatti da ogni soluzione se ne ottengono infinite altre alterandole per un fattore di proporzionalità. Ad esempio:
ha per soluzioni, sul campo dei numeri complessi la coppia e e la coppia e con e numeri complessi qualsiasi.
Non è vero su un campo non algebricamente chiuso, infatti l'equazione omogenea
ammette come unica soluzione, sul campo dei numeri reali, la coppia e .
Le equazioni trascendenti coinvolgono almeno un'incognita come argomento di una funzione non polinomiale. Le più comuni categorie di equazioni trascendenti sono:
Le equazioni con valori assoluti contemplano oltre le incognite la presenza del valore assoluto di espressioni algebriche o trascendenti. Possiamo aver quindi:
Le equazioni funzionali hanno almeno un'incognita che è una funzione. Le più comuni categorie di equazioni funzionali sono:
In base alla presenza di altre espressioni letterali tutte le equazioni possono essere divise in: