Equazione logaritmica

Un'equazione logaritmica è un'equazione in cui l'incognita compare come argomento o come base di un logaritmo^[1], come ad esempio ${\displaystyle log_{2}(x+3)=7\;}$. È un'equazione trascendente, in quanto non riconducibile a somme o prodotti di polinomi. Non è un'equazione logaritmica una equazione del tipo ${\displaystyle x^{3}+4x+log_{3}7=0\;}$, perché l'incognita non compare né come argomento, né come base del logaritmo.

Risoluzione di un'equazione logaritmica

Per la risoluzione di un'equazione logaritmica ci si affida di solito alla definizione di logaritmo: il logaritmo in base ${\displaystyle a}$ di argomento ${\displaystyle b}$ (e si scrive ${\displaystyle log_{a}b\;}$) è l'esponente da assegnare alla base per ottenere l'argomento: se ${\displaystyle log_{a}b=x\to a^{x}=b}$.^[2]

Pertanto, se si ha un'equazione logaritmica da risolvere, prima si cerca di portarla nella forma più ridotta possibile, con a sinistra del segno di uguale il logaritmo e a destra il termine noto; poi, se l'incognita è nell'argomento del logaritmo, si dà a ${\displaystyle x}$ il valore dell'esponente che occorre assegnare alla base per ottenere il termine noto. Dopo aver risolto l'equazione è necessario verificare se le soluzioni trovate soddisfino o meno le condizioni di esistenza dell'equazione data. Infatti:

• l'argomento di un logaritmo deve essere sempre strettamente positivo
• la base di un logaritmo deve sempre essere strettamente positiva e diversa da ${\displaystyle 1}$.^[3]

Esempio 1: ${\displaystyle log_{2}(x+5)=3\;}$.

${\displaystyle 3}$ è l'esponente da dare a ${\displaystyle 2}$ per ottenere ${\displaystyle x+5}$, quindi ${\displaystyle x+5=2^{3}\to x+5=8\to x=3\;}$. Tale soluzione è accettabile poiché il campo di esistenza dell'equazione impone la stretta positività dell'argomento: ${\displaystyle x+5>0\to x>-5}$, pertanto la soluzione ${\displaystyle x=3}$ rientra nell'intervallo desiderato.

Esempio 2: ${\displaystyle log_{x}32=5}$.

${\displaystyle 5}$ è l'esponente da dare a ${\displaystyle x}$ per ottenere ${\displaystyle 32}$, da cui ${\displaystyle x^{5}=32\to x^{5}=2^{5}\to x=2}$. Tale soluzione è compatibile con la condizione di esistenza della base, ${\displaystyle x>0,\;x\neq 1}$.

Note

1. Marina Scovenna, Appunti di geometria analitica e complementi di algebra - Ambito professionale, CEDAM, 2002, ISBN 88-13-23856-8.p.277
2. Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu-Volume 4, Ghisetti e Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0432-7.p.82
3. Nella Dodero, Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Nuovo corso di geometria analitica e di complementi di algebra, Ghisetti e Corvi, 1995, ISBN 88-80-13173-7.p.389

Bibliografia

• Marina Scovenna, Appunti di geometria analitica e complementi di algebra - Ambito professionale, CEDAM, 2002, ISBN 88-13-23856-8.
• Nella Dodero, Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Nuovo corso di geometria analitica e di complementi di algebra, Ghisetti e Corvi, 1995, ISBN 88-80-13173-7.

Voci correlate

• Logaritmo
• Equazione
• Equazione esponenziale

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