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Norma uniforme
norma / Da Wikipedia, l'enciclopedia encyclopedia
In analisi matematica, la norma uniforme, norma del sup o norma di Chebyshev di una funzione definita in un dominio
a valori reali o complessi è la quantità non negativa:
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Se non è una funzione limitata in
, questa quantità risulta infinita (ad esempio per la funzione esponenziale in
). Restringendosi invece allo spazio vettoriale delle funzioni definite in
e limitate,
assume sempre valore finito e soddisfa le proprietà di una norma.
Se è una funzione continua su un insieme compatto, allora l'estremo superiore è raggiunto per il teorema di Weierstrass, quindi possiamo sostituire l'estremo superiore con il massimo. In questo caso, la norma è anche chiamata norma del massimo.
In particolare, nel caso di un vettore in uno spazio di dimensione finita, prende la forma:
La ragione del pedice "∞" è data dal seguente limite, valido se e la misura di
è finita:
dove:
dove è la norma p (e l'integrale diventa una somma se
è un insieme discreto).
La funzione binaria:
è quindi una metrica nello spazio di tutte le funzioni limitate nel particolare dominio. Una successione converge uniformemente alla funzione
se e solo se: