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insieme dei valori su cui una funzione è definita Da Wikipedia, l'enciclopedia libera
In matematica il dominio e il codominio di una funzione sono gli insiemi su cui essa è definita. Una funzione, infatti, è una relazione che associa a ogni elemento del dominio uno e un solo elemento del codominio.
In matematica una funzione è il dato di tre oggetti: un dominio , un codominio e una legge che associa ad ogni elemento di uno e un solo elemento di che viene indicato . Una funzione viene definita indicando tutti e tre questi oggetti, che vengono raccolti nella notazione
o nella notazione equivalente
È importante notare che il dominio e il codominio devono essere definiti prima della legge di applicazione, e che tutti assieme questi oggetti definiscono una funzione. In particolare, senza indicare il dominio e il codominio non può essere definita alcuna funzione.
Ad esempio, per ogni insieme è ben definita una funzione identità su , con dominio , codominio e legge di applicazione :
Omettendo dominio e codominio, la sola legge di applicazione non è ben definita e non definisce alcuna funzione.
In alcuni contesti si usa sottintendere il dominio e il codominio di una funzione reale di variabile reale (cioè con dominio e codominio contenuti nell'insieme dei numeri reali) quando il dominio è pari all'insieme di definizione della funzione e il codominio è l'intero insieme dei numeri reali.
Ad esempio,
Dunque nel sottintendere dominio e codominio, ci si limita a sottoinsiemi dei numeri reali e si rinuncia a studiare le proprietà di una funzione (come iniettività, suriettività, morfismo).
Come il dominio, anche il codominio è parte integrante della definizione di funzione e senza di esso non è possibile definire una legge di applicazione.
Da un punto di vista puramente computazionale, ossia se ci si interessa alle sole immagini dei singoli elementi del dominio, si considera il solo insieme delle immagini, o immagine , che è un sottoinsieme del codominio.
È sempre possibile definire una nuova funzione
che è talvolta identificata con la funzione stessa, pur avendo diverse proprietà (come suriettività o morfismo).
Ad esempio, nel calcolo di vengono identificate le due funzioni
anche se solo la seconda è un isomorfismo tra il gruppo e il gruppo .
In analisi complessa con dominio solitamente si indica un sottoinsieme aperto e connesso di .
In topologia per dominio si intende la chiusura di un insieme aperto. Inoltre, se il suddetto aperto manifesta la proprietà della connessione, anche il dominio può dirsi connesso.
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