In matematica, un insieme
è detto finito se esiste una corrispondenza biunivoca (ossia una biiezione) tra un numero naturale
visto come insieme e
.
I numeri naturali sono
(dove
denota l'insieme vuoto),
,
, etc. Ad esempio l'insieme
è finito perché la funzione
definita mediante
è una biiezione tra
e
.
Per poter definire il numero di elementi di un insieme finito
occorre dimostrare la seguente affermazione: se esistono
numeri naturali,
e
biiezioni allora
.
Per dimostrare tale affermazione si considera la funzione composta
che è ancora una biiezione. Basta quindi mostrare che dati
numeri naturali, se
è una biiezione allora
. Questo ultimo fatto si dimostra per induzione.
Infatti, sia
il sottoinsieme degli
tali che se esiste una funzione biiettiva
e
allora
. Si ha che
in quanto esiste un’unica
ed è biiettiva se e solo se
. Supponiamo ora che
e mostriamo che
.
Sia
biiettiva quindi
ed
. A meno di scambi possiamo sempre supporre che
e quindi
è biiettiva. Per ipotesi induttiva
quindi
e
dunque
. Abbiamo visto che
è induttivo dunque
.
Quanto visto consente di definire il numero di elementi di un insieme finito
come l'unico numero naturale
tale che esiste una biiezione tra
e
. Tale numero si indica con
oppure con
e si dice anche cardinalità di
. Inoltre, si ha che
.
Ad esempio, l'insieme
ha
elementi, cioè
. Inoltre,
e ![{\displaystyle \#\left\{1,2,1,1\right\}=2}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfa79b42df10db2276730792973ffe8f8a57a751)
Un insieme si dice infinito se non è finito. Esistono altre definizioni di insieme infinito, equivalenti a questa assumendo l'assioma della scelta, che si adoperano in matematica a seconda delle esigenze dimostrative.