Իմպուլսի մոմենտ

Իմպուլսի մոմենտ (անկյունային մոմենտ, կինետիկական մոմենտ, ուղեծրային մոմենտ, շարժման քանակի մոմենտ, պտտական մոմենտ^[1][2]), ֆիզիկական մեծություն, բնութագրում է մարմնի պտույտի չափը՝ հաշվի առնելով նրա զանգվածը, ձևը և արագությունը^[3][4]։

Պետք է նշել, որ պտույտը այստեղ ընկալվում է լայն իմաստով՝ ոչ միայն կանոնավոր պտույտ առանցքի շուրջը։ Օրինակ, նույնիսկ մարմնի ուղղագիծ շարժման դեպքում շարժման ուղղության վրա չընկած կամայական ենթադրական կետի նկատմամբ մարմինն ունի իմպուլսի մոմենտ։ Իմպուլսի մոմենտն ամենամեծ դերն ունի պտտական շարժման ժամանակ։ Սակայն խիստ կարևոր է բավական լայն դասի խնդիրների համար, հատկապես եթե գործ ունենք առանցքային կամ կենտրոնական համափաչության հետ։

Իմպուլսի մոմենտը կետի նկատմամբ պսևդովեկտոր է, իսկ առանցքի նկատմամբ՝ պսևդոսկալյար։

Փակ համակարգի իմպուլսի մոմենտը պահպանվող մեծություն է։

Իմպուլսի մոմենտը դասական մեխանիկայում

Կապը F ուժի, τ ուժի մոմենտի, ${\displaystyle \scriptstyle {\mathbf {p} }}$ իմպուլսի և ${\displaystyle \scriptstyle {\mathbf {L} }}$ իմպուլսի մոմենտի միջև։

Սահմանում

Նյութական կետի ${\displaystyle \mathbf {L} }$ իմպուլսի մոմենտը որոշակի հաշվարկման սկզբնակետի նկատմամբ սահմանվում է որպես նրա շառավիղ-վեկտորի և իմպուլսի վեկտորական արտադրյալ.

${\displaystyle ~\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} ,}$

որտեղ ${\displaystyle ~\mathbf {r} }$-ը մասնիկի շառավիղ-վեկտորն է տրված հաշվարկման համակարգում ընտրված անշարժ սկզբնակետի նկատմամբ, ${\displaystyle ~\mathbf {p} }$-ն՝ մասնիկի իմպուլսը։

Մի քանի մասնիկների համար իմպուլսի մոմենտը որոշվում է որպես նման անդամների (վեկտորական) գումար.

${\displaystyle ~\mathbf {L} =\sum _{i}\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {p} _{i},}$

որտեղ ${\displaystyle ~\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}}$-ը համակարգի յուրաքանչյուր մասնիկի իմպուլսը և շառավիղ-վեկտորն են։

Սահմանային դեպքում մասնիկների թիվը կարող է անվերջ լինել, օրինակ զանգվածի անընդհատ բաշխումով պինդ մարմնի դեպքում կամ առհասարակ բաշխված համակարգի համար այն կարելի է գրել որպես ${\displaystyle ~\mathbf {L} =\int \mathbf {r} \times \mathbf {dp} ,}$ որտեղ ${\displaystyle \mathbf {dp} }$-ը համակարգի անվերջ փոքր կետային տարրի իմպուլսն է։

Միավորների միջազգային համակարգում իմպուլսի մոմենտը չափվում է ջուլ •վայրկյան մեծությամբ։

Իմպուլսի մոմենտի սահմանումից բխում է նրա ադիտիվությունը. ինչպես մասնիկների համակարգի, այնպես էլ մի քանի ենթահամակարգերից բաղկացած համակարգերի համար տեղի ունի

${\displaystyle \mathbf {L} _{\Sigma }=\sum \limits _{i}\mathbf {L} _{i}}$

առնչությունը։ Սկզբունքորեն իմպուլսի մոմենտը կարելի է հաշվել ցանկացած հաշվարկմեն սկզբնակետի նկատմամբ, սակայն ամենից հաճախ հարմարության և( որոշակիության համար այն հաշվում են պինդ մարմնի զանգվածների կենտրոնի յամ պտտման ամրացված կետի հանդեպ։

Հաշվարկը

Քանի որ իմպուլսի մոմենտը որոշվում է վեկտորական արտադրյալով, այն ${\displaystyle ~\mathbf {r} }$ և ${\displaystyle ~\mathbf {p} }$ վեկտորներին ուղղահայաց պսևդովեկտոր է։ Սակայն անփոփոխ առանցքի շուրջը պտույտի դեպքում ավելի հարմար է ոչ թե իմպոււլսի մոմենտը դիտարկել որպես պսևդովեկտոր, այլ՝ նրա պրոյեկցիան պտտման առանցքի վրա որպես սկալյա, որի նշանը կախված է պտտման ուղղությունից։ Եթե ընտրված է հաշվարկման սկզբնակետով անցնող առանցք, դրա վրա անկյունային մոմենտի պրոյեկցիայի հաշվարկի համար կարել է ցույց տալ մի շարք կանոններ՝ երկու վեկտորների վեկտորական արտադրյալը գտնելու ընդհանուր կանոններին համապատասխան.

${\displaystyle L=|\mathbf {r} ||\mathbf {p} |\sin \theta _{r,\;p},}$

որտեղ ${\displaystyle ~\theta _{r,\;p}}$-ն ${\displaystyle ~\mathbf {r} }$-ի և ${\displaystyle ~\mathbf {p} }$-ի կազմած անկյունն է, որը որոշվում է այնպես, որ պտույտը ${\displaystyle ~\mathbf {r} }$-ից դեպի ${\displaystyle ~\mathbf {p} }$ տեղի ունենա տպպման առանցքի դրական մասում գտնվող դիտորդին երևացող կողմից ժամսլաքին հակառակ ուղղությամբ։ Պտտման ուղղությունը կարևոր է հաշվարկի ժամանակ, քանի որ դրանով է որոշվում պրոյեկցիայի նշանը։

${\displaystyle ~\mathbf {r} }$ գրենք ${\displaystyle ~\mathbf {r} =\mathbf {r_{\parallel }} +\mathbf {r_{\perp }} }$ տեսքով, որտեղ ${\displaystyle ~\mathbf {r_{\parallel }} }$-ը բաղադրիչ շառավիղ-վեկտորն է, որը զուգահեռ է իմպուլսի վեկտորին, իսկ ${\displaystyle ~\mathbf {r_{\perp }} }$-ը՝ ուղղահայացն է։ ${\displaystyle ~\mathbf {r_{\perp }} }$-ը ըստ էության պտտման առանցքի հեռավորությունն է ${\displaystyle ~\mathbf {p} }$ վեկտորից, որը սովորաբար կոչվում է «բազուկ»։ Նման կերպով կարելի է իմպուլսի վեկտորը բաժանել երկու բաղադրիչների. Շառավիղ-վեկտորին զուգահեռ ${\displaystyle ~\mathbf {p_{\parallel }} }$ և ուղղահայաց ${\displaystyle ~\mathbf {p_{\perp }} }$։ Այժմ, վեկտորական արտադրյալի գծայնությունը, ինչպես նաև այն հատկությունը, ըստ որի զուգահեռ վեկտորների արտադրյալը հավասար է զրոյի, կարելի է ստանալ ևս երկու արտահայտություններ ${\displaystyle ~L}$-ի համար.

${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} =(\mathbf {r_{\perp }} +\mathbf {r_{\parallel }} )\times \mathbf {p} =\mathbf {r_{\perp }} \times \mathbf {p} +\mathbf {r_{\parallel }} \times \mathbf {p} =\mathbf {r_{\perp }} \times \mathbf {p} .}$

${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} =\mathbf {r} \times (\mathbf {p_{\perp }} +\mathbf {p_{\parallel }} )=\mathbf {r} \times \mathbf {p_{\perp }} .}$

Անկյունային մոմենտի պահպանումը

Անկյունային մոմենտի (իմպուլսի մոմենտի) պահպանման օրենքը. փակ համակարգի բոլոր իմպուլսի մոմենտների վեկտորական գումարը ցանկացած անշարժ կետի նկատմամբ (կամ մոմենտների գումարը ցանկացած անշարժ առանցքի նկատմամբ) ժամանակի ընթացքում մնում է հաստատուն։

Իմպուլսի մոմենտի ածանցյալն ըստ ժամանակի ուժի մոմենտն է.

${\displaystyle \tau ={\frac {d\mathbf {L} }{dt}}={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\times \mathbf {p} +\mathbf {r} \times {\frac {d\mathbf {p} }{dt}}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} }$։

Այսպիսով, համակարգի փակ լինելու պահանջը կարելի է թուլացնել մինչև արտաքին ուժերի գլխավոր (գումարային) մոմենտի զրոյնի հավասար լինելու պահանջ.

${\displaystyle \mathbf {L} _{\mathrm {system} }=\mathrm {constant} \leftrightarrow \sum \tau _{\mathrm {ext} }=0,}$

որտեղ ${\displaystyle ~\tau _{\rm {ext}}}$-ն մասնիկների համակարգին կիրառված ուժերից մեկն է։ Այս պահանջը տեղի ունի նաև այն ժամանակ, երբ արտաքին ուժերը բացակայում են։

Իմպուլսի մոմենտի պահպանման օրենքը մաթեմատիկորեն բխում է տարածության իզոտրոպությունից, այսինքն՝ տարածության ինվարիանտությունից կամայական անկյունով պտտման հանդեպ։ Կամայական ավներջ փոքր ${\displaystyle ~\delta \varphi }$ անկյունով պտտելիս ${\displaystyle ~i}$ շառավիղ-վեկտորը փոխվում է ${\displaystyle ~\delta \mathbf {r} _{i}=\delta \varphi \times \mathbf {r} _{i}}$-ով, իսկ արագությունը՝ ${\displaystyle ~\delta \mathbf {v} _{i}=\delta \varphi \times \mathbf {v} _{i}}$։ Համակարգի ${\displaystyle ~{\mathcal {L}}}$ Լագրանժի ֆունկցիան տարածության իզոտրոպության հետևանքով այդպիսի պտույտի ժամանակ չի փոխվում։ Այդ պատճառով

${\displaystyle \delta {\mathcal {L}}={\mathcal {L}}(\mathbf {r} _{i}+\delta \mathbf {r} _{i},\;\mathbf {v} _{i}+\delta \mathbf {v} _{i})-{\mathcal {L}}(\mathbf {r} _{i},\;\mathbf {v} _{i})=\sum \limits _{i}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \mathbf {r} _{i}}}\delta \varphi \times \mathbf {r} _{i}+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \mathbf {v} _{i}}}\delta \varphi \times \mathbf {v} _{i}\right)=0}$։

Հաշվի առնելով ${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\mathbf {v} _{i}}}}=\mathbf {p_{i}} ,\;{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \mathbf {r_{i}} }}=\mathbf {{\dot {p}}_{i}} }$, որտեղ ${\displaystyle ~\mathbf {p} _{i}}$-ն ${\displaystyle ~i}$-րդ մասնիկի ընդհանրացված իմպուլսն է, վերջին արտահայտության գումարի յուրաքանչյուր բաղադրիչ կարելի է արտագրել

${\displaystyle {\dot {\mathbf {p} _{i}}}\,\delta \varphi \times \mathbf {r} _{i}+\mathbf {p} _{i}\,\delta \varphi \times \mathbf {{\dot {r}}_{i}} }$

տեսքով։ Այժմ, օգտվելով խառը արտադրյալի հատկությունից, կատարենց վեկտորների ցիկլիկ տեղափոխությունի, ինչի արդյունքում, դուրս հանելով ընդհանուր բազմապատկիչը, կստանանք.

${\displaystyle \delta {\mathcal {L}}=\delta \varphi \sum \limits _{i}\left(\mathbf {r} _{i}\times {\dot {\mathbf {p} _{i}}}+{\dot {\mathbf {r} _{i}}}\times \mathbf {p} _{i}\right)=\delta \varphi {\frac {d}{dt}}\sum \limits _{i}(\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {p} _{i})=\delta \varphi {\frac {d\mathbf {L} }{dt}}=0,}$

որտեղ ${\displaystyle \mathbf {L} =\sum \mathbf {L} _{i}=\sum \mathbf {r} _{i}\times \mathbf {p} _{i}}$-ը համակարգի իմպուլսի մոմենտն է։ Քանի որ ${\displaystyle \delta \varphi }$-ն կամայական է, ${\displaystyle \delta {\mathcal {L}}=0}$ արտահայտությունից հետևում է ${\displaystyle ~{\frac {d\mathbf {L} }{dt}}=0}$։

Ուղեծրի վրա իմպուլսի մոմենտը բաշխվում է մոլորակի սեփական պտույտի իմպուլսի մոմենտի և ուղեծրային պտույտի իմպուլսի մոմենտի միջև.

${\displaystyle \mathbf {L} _{\mathrm {total} }=\mathbf {L} _{\mathrm {spin} }+\mathbf {L} _{\mathrm {orbit} }}$։

Իմպուլսի մոմենտը էլեկտրադինամիկայում

Էլեկտրամագնիսական դաշտում լիցքավորված մասնիկի շարժման ժամանակ ${\displaystyle ~p}$ կանոնիկ իմպուլսը ինվարիանտ չէ։ Որպես հետևանք, ${\displaystyle ~\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} }$ իմպուլսի կանոնիկ մոմենտը նույնպես ինվարիանտ չէ։ Վերցնենք իրական իմպուլսը, որը նաև կոչվում է «կինետիկ իմպուլս».

${\displaystyle ~\mathbf {p} -{\frac {e\mathbf {A} }{c}},}$

որտեղ ${\displaystyle ~e}$-ն էլեկտրական լիցքն է, ${\displaystyle ~c}$-ն՝ լույսի արագությունը, ${\displaystyle ~A}$-ն՝ էլեկտրամագնիսական դաշտի վեկտորական պոտենցիալը։ Այսպիսով, ${\displaystyle m}$ զանգվածով, լիցքավորված մասնիկի համիլտոնյանը էլեկտրամագնիսական դաշտում՝

${\displaystyle H={\frac {1}{2m}}\left(\mathbf {p} -{\frac {e\mathbf {A} }{c}}\right)^{2}+e\varphi ,}$

որտեղ ${\displaystyle ~\varphi }$-ը էլեկտրամագնիսական դաշտի սկալյար պոտենցիալն է։ Ինվարիանտ իմպուլսի մոմենտը կամ «կինետիկ իմպուլսի մոմենտը» որոշվում է

${\displaystyle K=\mathbf {r} \times \left(\mathbf {p} -{\frac {e\mathbf {A} }{c}}\right)}$։

Իմպուլսի մոմենտը քվանտային մեխանիկայում

Մոմենտի օպերատոր

Իմպուլսի մոմենտը քվանտային մեխանիկայում քվանտացվում է, այսինքն՝ չափվում է միայն ճշգրիտ որոշված արժեքների քվանտային մակարդակներով։ Մասնիկների իմպուլսի մոմենտի պրոյեկցիան ցանկացած առանցքի վրա պետք է լինի ամբողջ թիվ՝ բազմապատկած ${\displaystyle \hbar }$ (${\displaystyle h}$ գծիկով) արտադրյալով, որը Պլանկի հաստատունն է՝ բաժանած ${\displaystyle 2\pi }$-ի։ Փորձերը ցույց են տալիս, որ մասնիկների մեծ մասն ունի հաստատուն ներիքն իմպուլսի մոմենտ, որը կախված չէ տարածության մեջ նրանց շարժումից։ Այս սպինային իմպուլսի մոմենտը միշտ բազմապատիկ է ${\displaystyle \hbar /2}$-ին։ Դասական սահմանմամբ իմպուլսի մոմենտը կախված է վեց փոփոխականներից՝ ${\displaystyle ~r_{x}}$, ${\displaystyle ~r_{y}}$, ${\displaystyle ~r_{z}}$, ${\displaystyle ~p_{x}}$, ${\displaystyle ~p_{y}}$, и ${\displaystyle ~p_{z}}$։ Հայզենբերգի անորոշությունների սկզբունքի օգնությամբ այն ձևակերպելով քվանտամեխանիկական սահմանմամբ՝ ստանում են, որ հնարավոր չէ միաժամանակ ցանկացած ճշտությամբ չափել բոլոր վեց փոփոխականները։ Այդ պատճառով սահմանափակում կա, թե ինչ կարող ենք իմպուլսի մոմենտի մեր իմացության վրա։

Մաթեմատիկորեն լրիվ իմպուլսի մոմենտը քվանտային մեխանիկայում որոշվում է որպես երկու մասերի՝ ուղեծրային և սպինային մոմենտների գումարի օպերատոր։ Առաջին օպերատորն ազդում է ալիքային ֆունկցիայի տարածական կախվածության վրա՝

${\displaystyle {\hat {\mathbf {L} }}={\hat {\mathbf {r} }}\times {\hat {\mathbf {p} }},}$

որտեղ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$ и ${\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}}$-ը համապատասխանաբար կոորդինատի և իմպուլսի օպերատորներն են, իսկ երկրորդը՝ սպինայինի վրա։ Մասնավորապես, էլեկտրաչեզոք և սպին չունեցող մեկ մասնիկի համար անկյունային մոմենտի օպերատորը կարելի է գրել որպես

${\displaystyle {\hat {\mathbf {L} }}=-i\hbar (\mathbf {r} \times \nabla ),}$

որտեղ ${\displaystyle \nabla }$-ը նաբլա օպերատորն է։ Սա իմպուլսի մոմետնի հաճախ հանդիպող օպերատորն է, որն ունի հետևյալ հատկությունը՝

${\displaystyle [L_{i},\;L_{j}]=i\hbar \varepsilon _{ijk}L_{k},\quad \left[L_{i},\;\mathbf {L} ^{2}\right]=0}$, որտեղ ${\displaystyle \varepsilon _{ijk}}$-ը Լեվի֊Չիվիտի սիմվոլն է։

Ավելի կարևոր հատկություն է փոխատեղելիությունը էլեկտրաչեզոք և սպին չունեցող մասնիկի համիլտոնյանի հետ՝

${\displaystyle \left[L_{i},\;H\right]=0}$

Պտտման համաչափություն

Իմպուլսի մոմենտի օպերատորները սովորաբար հանդիպում են գնդաձև (սֆերիկ) համաչափությամբ խնդիրների լուծման ժամանակ։ Մոմենտի իմպուլսի տարածական պատկերումը՝

${\displaystyle -{\frac {1}{\hbar ^{2}}}\mathbf {L} ^{2}={\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}}$

Այս օպերատորի սեփական արժեքները հետևյալն են՝

${\displaystyle L^{2}\mid l,\;m\rangle ={\hbar }^{2}l(l+1)\mid l,\;m\rangle }$

${\displaystyle L_{z}\mid l,\;m\rangle =\hbar m\mid l,\;m\rangle ,}$

որտեղ

${\displaystyle \langle \theta ,\;\varphi \mid l,\;m\rangle =Y_{l,\;m}(\theta ,\;\varphi )}$

սֆերիկ ֆունկցիաներ են։

Իմպուլսի մոմենտի հաշվարկը ոչ ռելյատիվիստական մեխանիկայում

${\displaystyle ~\mathbf {v} }$ արագությամբ շարժվող, ${\displaystyle ~\mathbf {r} }$ շառավիղ-վեկտորով նկարագրվող կետում գտնվող ${\displaystyle ~m}$ զանգվածով մասնիկի համար իմպուլսի մոմենտը կարելի է հաշվել ըստ

${\displaystyle ~\mathbf {L} =\mathbf {r} \times m\mathbf {v} }$

բանաձևի, որտեղ ${\displaystyle \times }$-ը վեկտորական արտադրյալի նշանն է։

Մարմնի իմպուլսի մոմենտը հաշվելու համար այն պետք է բաժանել անվերջ փոքր կտորների և վեկտորապես գումարել դրանց մոմենտները՝ որպես նյութական կետերի իմպուլսի մոմենտների գումար, այսինքն՝ ինտեգրել

${\displaystyle \mathbf {L} =\int \limits _{V}{\mathbf {dL} }=\int \limits _{V}{\mathbf {r} \times \mathbf {v} \,dm}}$։

Սա կարելի է գրել ըստ ${\displaystyle \rho }$ խտության՝

${\displaystyle \mathbf {L} =\int \limits _{V}{\mathbf {r} \times \mathbf {v} \rho dV}}$։

Եթե ընդունենք, որ ${\displaystyle \rho (x,y,z)}$ ընդհանրացված ֆունկցիա է, ապա վերջին բանաձևը կիրառելի է ինչպես անընդհատ, այնպես էլ՝ դիսկրետ բաշխումով համակարգերի համար։

Համաչափության առանցքներից որևէ մեկի շուրջ (կամ, ընդհանուր դեպքում, իներցիայի գլխավոր առանցքների շուրջ) որպես ամբողջություն (որպես բացարձակ պինդ մարմին) պտտական շարժում կատարող համակարգերի համար ճիշտ է

${\displaystyle ~\mathbf {L} =I{\boldsymbol {\omega }},}$

Առնչությունը, որտեղ ${\displaystyle ~I}$-ը իներցիայի մոմենտն է պտտման առանքցի հանդեպ, ${\displaystyle ~{\boldsymbol {\omega }}}$-ն՝ անկյունային արագության վեկտորը։

Ընդհանուր դեպքում իմպուլսի մոմենտի վեկտորը անկյունային արագության վեկտորի հետ կապված է իներցիայի մոմենտի գծային օպերատորով (իներցիայի թենզորով).

${\displaystyle \mathbf {L} ={\hat {I}}{\boldsymbol {\omega }}}$

Իներցիայի մոմենտի կամ իներցիայի թենզորի հաշվարկման ժամանակ որպես սկզբնակետ կարելի է ընտրել ցանկացած կետ կամ առանցք, սակայն սովորաբար հարմարության համար ընտրվում է զանգվածների կենտրոնը։

Տես նաև

• Իներցիայի մոմենտ
• Ուժի մոմենտ

Ծանոթագրություններ

1. Truesdell, Clifford (1991). A First Course in Rational Continuum Mechanics: General concepts. Academic Press. ISBN 0-12-701300-8.
2. Smith, Donald Ray; Truesdell, Clifford (1993). An introduction to continuum mechanics – after Truesdell and Noll. Springer. ISBN 0-7923-2454-4.
3. Pivarski, Jim (March 2013). «Spin». Symmetry Magazine.
4. Pivarski, Jim (March 2013). «Spin». Symmetry Magazine.

Գրականություն

• Биденхарн Л., Лаук Дж., Угловой момент в квантовой физике. Теория и приложения, том 1, М., Мир, 1984.
• Блохинцев Д. И., Основы квантовой механики, М., Наука, 1976.