Վեկտորական արտադրյալ

Վեկտորական արտադրյալ կամ երկրաչափական արտադրյալ, էվկլիդեսյան եռաչափ տարածության մեջ երկու վեկտորների արտադրյալ։ Իրենից ներկայացնում է այդ երկու վեկտորներին ուղղահայաց վեկտոր, որը երկարությունը հավասար է նախնական վեկտորներով կազմված զուգահեռագծի մակերեսին, իսկ ուղղությունը որոշվում է նկարում տրված ձևով։ Եթե վեկտորներից գոնե մեկը զրոյական է (հավասար է զրոյի), ապա արտադրյալը նույնպես հավասար է զրոյի։

Վեկտորական արտադրյալ

Երկու վեկտորների արտադրյալը հաշվելու համար, պիտի նախապես տալ տարածական կողմնորոշում։ Նախապես որոշել, թե վեկտորների եռյակներից որն է աջ, և որը ձախ, իսկ կոորդինատային համակարգը նշելու կարիք չկա, քանի որ դրանից արդյունքը կախված չէ։

Ի տարբերություն սկալյար արտադրյալի վեկտորական արտադրյալի արդյունքում ստացվում է վեկտոր։

Օգտագործվում է մի շարք տեխնիկական և ֆիզիկական հաշվարկներում։ Օրինակ․ իմպուլսի մոմենտը կամ Լորենցի ուժը գրառվում են վեկտորական արտադրյալի միջոցով։

Պատմություն

Վեկտորական արտադրյալը, սկալյար արտադրյալի հետ միասին, ներմուծվել է Համիլտոնի կողմից 1846 թվականին^[1], քվատերնիոնների հաշվարկների հետ կապված։ Երկու քվատերնիոնների սկալյար արտադրյալը հավասար է զրոյի^[2]։

Սահմանում

${\displaystyle {\vec {a}}}$ վեկտրի և ${\displaystyle {\vec {b}}}$ վեկտրի վեկտորական արտադրյալ կոչվում է ${\displaystyle {\vec {c}}}$վեկտորը, որը բավարարաում է հետևյալ պայմաններին։

• ${\displaystyle {\vec {c}}}$ վեկտրի երկարությունը հավասար է ${\displaystyle {\vec {a}}}$ և ${\displaystyle {\vec {b}}}$ վեկտորների երկարությունների և նրանցով կազմված անկյան սինուսի արտադրյալին (այսինքն, նրանցով կառուցված զուգահեռագծի մակերեսին)։
• ${\displaystyle {\vec {c}}}$վեկտորը ուղղահայաց է ${\displaystyle {\vec {a}}}$ և ${\displaystyle {\vec {b}}}$վեկտորներից յուրաքանչյուրին։
• ${\displaystyle {\vec {c}}}$-ն այնպես է ուղղված, որ ${\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}}$ եռյակը հանդիսանում է աջ եռյակ^[⇨].

Նշանակվում է․

${\displaystyle {\vec {c}}=[{\vec {a}}{\vec {b}}]=[{\vec {a}},\;{\vec {b}}]={\vec {a}}\times {\vec {b}}={\vec {a}}\wedge {\vec {b}}.}$

Աջ և ձախ վեկտորական եռյակները էվկլիդեսյան եռաչափ տարածությունում

Վեկտորների ուղղության որոշումը աջ ձեռքի կանոնով.

Դիտարկենք գծայնորեն իրարից անկախ, ${\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}}$ վեկտորների եռյակը էվկլիդռսյան եռաչափ տարածությունում։ Կողմնորոշված տարածությունում դրանք լինելու են կամ աջ, կամ ձախ կողմնորոշման։

Երկրաչափական սահմանում

Տեղափոխենք վեկտորներն այնպես, որ նրանց սկզբնական կետերը համընկնեն։ Կարգավորված ${\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}}$ եռյակը կոչվելու է աջ, եթե սկսած ${\displaystyle {\vec {c}}}$վեկտրի վերջից, ամենակարճ ${\displaystyle {\vec {a}}}$-ից ${\displaystyle {\vec {b}}}$պտույտը դիտորդին երևում է ժամսլաքին հակառակ ուղղությամբ։ Եթե ամենկրճ պտույտը երևում է ժամսլաքի ուղղությամբ,եռյակը կոչվում է ձախ։

Ձեռքի օգնությամբ որոշում

Եռյակը կարելի է որոշել նաև մարդու աջ ձեռքով, որտեղից էլ առաջացել է (աջ ձեռքի կանոն) արտահայտությունը։ Նկարի մեջ ${\displaystyle {\vec {a}}}$, ${\displaystyle {\vec {b}}}$, ${\displaystyle {\vec {a}}\times {\vec {b}}}$ եռյակը հանդիսանում է աջ եռյակ։

Հանրանաշվական որոշում

Պետք է կազմել մատրից, որի առաջին տողը կազմված է ${\displaystyle {\vec {a}}}$ վեկտորի կոորդինտներից, երկրորդը՝ ${\displaystyle {\vec {b}}}$ վեկտորի և երրորդը՝ ${\displaystyle {\vec {c}}}$վեկտորի կոորդինատներից։ Այնուհետև, որոշիչի նշանից կախված, կարելի է կատարել հետևյալ հետևությունները։

• Եթե որոշիչը դրական է, ապա եռյակն ունի կոորդինատային համակարգի ունեցած կողմնորոշումը։
• Եթե որոշիչը բացասական է, ապա եռյակը հակառակ է ուղղված կոորդինատային համակարգի ուղղությանը
• Եթե որոշիչը հավասար է զրոյի,ապա վեկտորները գծայնորեն կախման մեջ են։

Հատկություններ

Վեկտորական արտադրյալի երկրաչափական հատկություններ

Նկ․1 Զուգահեռագծի մակերեսը հավասար է վեկտորների արտադրյալի մոդուլին։

Նկ․2 Զուգահեռանիստի ծավալը հավասար է երկու վեկտորների վեկտորական արտադևյալի և երրեդի սկալյալ արտադրյալին։

• Զուգահեռագծի ${\displaystyle S}$ մակերեսը հավասար է նույն սկիզբն ունեցող ${\displaystyle [{\vec {a}},\;{\vec {b}}]}$վեկտորների վեկտորական արտադրյալի մոդուլին։ (տես. Նկ․1)
• Եթե ${\displaystyle {\vec {e}}}$ միավոր վեկտորըընտրված է այնպես, որ ${\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {e}}}$ եռյակը աջ է, իսկ ${\displaystyle S}$-ը զուգահեռագծի մակերեսն է, ապա վեկտորական արտադրյալի համար ճիշտ է հետևյալ արտահայտությունը

${\displaystyle [{\vec {a}},\;{\vec {b}}]=S\cdot {\vec {e}}.}$

• Եթե ${\displaystyle {\vec {c}}}$-ն կամայական վեկտոր է, ${\displaystyle \pi }$-ն կամայական հարթություն, որը պարունկում է այդ վեկտորը, ${\displaystyle {\vec {g}}}$-ն միավոր վեկտոր է, օրթոգոնալ է ${\displaystyle \pi }$հարթության նկատմամբ, և ${\displaystyle {\vec {e}},{\vec {c}},{\vec {g}}}$եռյակը աջ է, ապա ${\displaystyle \pi }$ հարթության վրա գտնվող ցանկացած ${\displaystyle {\vec {a}}}$ վեկտորի համար ճիշտ է հետևյալ արատահայտությունը։

${\displaystyle [{\vec {a}},\;{\vec {c}}]=\mathrm {Pr} _{\vec {e}}{\vec {a}}\cdot |{\vec {c}}|\cdot {\vec {g}}.}$

• Վեկտորական և սկալյար արտադրյալների օգնությամբ կարելի է հաշվել նույն սկիզբն ունեցող վեկտորներով կազմված զուգահեռանիստի ծավալը (տես նկ․ 2)։ Այդպիսի արտադրյալը կոչվում է վեկտորների խառը արտադրյալ։

${\displaystyle V=|\langle {\vec {a}},\;[{\vec {b}},\;{\vec {c}}]\rangle |.}$

Դա կարելի է անել երկու եղանակով։

${\displaystyle V=\langle [{\vec {a}},\;{\vec {b}}],\;{\vec {c}}\rangle =\langle {\vec {a}},\;[{\vec {b}},\;{\vec {c}}]\rangle .}$

Վեկտորական արտադրյալի հանրահաշվական հատկություններ

Նեկայացման ձև	Նկարագրություն
${\displaystyle [{\vec {a}},\;{\vec {b}}]=-[{\vec {b}},{\vec {a}}]}$	Տեղափոխելի չէ։
${\displaystyle [\alpha \cdot {\vec {a}},\;{\vec {b}}]=[{\vec {a}},\;\alpha \cdot {\vec {b}}]=\alpha \cdot [{\vec {a}},\;{\vec {b}}]}$	Զուգորդականություն սկալյարով բազմապատկելիս։
${\displaystyle [{\vec {a}}+{\vec {b}},\;{\vec {c}}]=[{\vec {a}},\;{\vec {c}}]+[{\vec {b}},\;{\vec {c}}]}$	Բաշխականություն վեկտրով բազմապատկելիս։
${\displaystyle [[{\vec {a}},\;{\vec {b}}],\;{\vec {c}}]+[[{\vec {b}},\;{\vec {c}}],\;{\vec {a}}]+[[{\vec {c}},{\vec {a}}],\;{\vec {b}}]=0}$	Յակոբիի նույնություն։
${\displaystyle [{\vec {a}},\;{\vec {a}}]={\vec {0}}}$	Նույն վեկտրի ինքն իր հետ վեկտորական արտադրյալը։
${\displaystyle [{\vec {a}},\;[{\vec {b}},\;{\vec {c}}]]={\vec {b}}\cdot \langle {\vec {a}},\;{\vec {c}}\rangle -{\vec {c}}\cdot \langle {\vec {a}},\;{\vec {b}}\rangle }$	Լագրանժի նույնություն։
${\displaystyle |[{\vec {a}},\,{\vec {b}}]|^{2}+\langle {\vec {a}},\,{\vec {b}}\rangle ^{2}=|{\vec {a}}|^{2}\cdot |{\vec {b}}|^{2}}$	Մուլտիպլիկատիվության մասնավոր դեպք։
${\displaystyle \langle [{\vec {a}},\,{\vec {b}}],\,{\vec {c}}\rangle =\langle {\vec {a}},\,[{\vec {b}},\,{\vec {c}}]\rangle }$	Արդյունքը կոչվում է վեկտորների խառը արտադրյալ։

Տես նաև

Վեկտորների արտադրյալ

• Վեկտորների սկալյար արտադրյալ
• Վեկտորների խառը արտադրյալ (միայն ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$-ում)
• Կրկնակի արտադրյալ (վեկտորական-վեկտորական միայն ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$-ում)

Այլ

• Ռոտոր
• Դիվերգենց

Ծանոթագրություն

1. Crowe M. J. A History of Vector Analysis – The Evolution of the Idea of a Vectorial System. — Courier Dover Publications, 1994. — С. 32. — 270 с. — ISBN 0486679101
2. Hamilton W. R. On Quaternions; or on a New System of Imaginaries in Algebra // Philosophical Magazine. 3rd Series. —London, 1846. — Т. 29. — С. 30.

Գրականություն

• Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. АН СССР: Изд-во «НАУКА», М. 1965.

Արտաքին հղումներ

• Многомерное векторное произведение Արխիվացված 2015-09-05 Wayback Machine
• Векторное произведение и его свойства. Примеры решения задач
• В. И. Гервидс — Физические демонстрации (10.03.2011). «Правое и левое вращение» (flash). НИЯУ МИФИ. Վերցված է 2011 թ․ մայիսի 3-ին.

Վիքիպահեստն ունի նյութեր, որոնք վերաբերում են «Վեկտորական արտադրյալ» հոդվածին։