Անկյունային արագություն

Անկյունային արագություն, վեկտորական ֆիզիկական մեծություն, բնութագրում է պտտման կենտրոնի շուրջ նյութական կետի պտտման արագությունը։ Որպես կանոն, նշանակվում է հունարեն օմեգա փոքրատառով՝ ${\displaystyle \omega }$ ։ Անկյունային արագության վեկտորի մեծությունը հավասար է միավոր ժամանակում մարմնի կատարած պտույտի անկյանը՝

${\displaystyle \omega _{z}={\frac {d\varphi }{dt}}}$,

իսկ ուղղությունը տրվում է պտտման առանցքով՝ ըստ աջ ձեռքի կամ խցանահանի կանոնի։

Անկյունային արագությունը Միավորների միջազգային համակարգում չափվում է ռադիան/վայրկյանով (ռադ/վրկ)։ Չափման միավորներից են նաև պտույտ/վայրկյանը, աստիճան/վայրկյանը, աստիճան/ժամը և այլն։

Ընդհանուր դեպքում ${\displaystyle {\vec {\omega }}}$ անկյունային արագությամբ պտտվող բացարձակ պինդ մարմնի կամայական կետի ակնթարթային արագության վեկտորը տրվում է

${\displaystyle {\vec {v}}=[\ {\vec {\omega }},{\vec {r}}\ ],}$

բանաձևով, որտեղ ${\displaystyle {\vec {r}}}$-ը կոորդինատական համակարգի սկզբնակետից տրված կետին տարված շառավիղ-վեկտորն է, իսկ քառակուսի փակագծերով նշանակված է վեկտորական արտադրյալը։ Պտտման առանցքից ${\displaystyle r}$ հեռավորության վրա գտնվող կետի գծային արագությունը (որը համընկնում է արագության վեկտորի մոդուլին) կարելի է հաշվել ${\displaystyle v=r\omega }$ բանաձևով։ Եթե անկյան չափման համար ռադիանի փոխարեն կիրառենք այլ չափման միավոր, վերջին երկու բանաձևերում ի հայտ կգա բազմապատկիչ։

Ակյունային արագության և ժամանակի արտադրյալը անկյունային արագացումն է։

Անկյունային արագության հաստատուն վեկտորով շարժումը կոչվում է հավասարաչափ պտտական շարժում։ Այս դեպքում անկյունային արագացումը զրո է։ Պտտվող մարմնի դեկարտյան կոորդինատները կատարում են հարմոնիկ տատանումներ, որոնց անկյունային հաճախությունը հավասար է անկյունային արագության վեկտորի մոդուլին։

Անկյունային արագությունը որպես ազատ վեկտոր միևնույնն է բոլոր հաշվարկման իներցիալ համակարգերում, սակայն տարբեր իներցիալ համակարգերում կարող է ժամանակի միևնույն պահին միևնույն մարմնի պտտման առանցքով և կենտրոնով տարբեր լինել։

Անկյունային արագությունը պտույտ/վայրկյանով չափելու դեպքում հավասարաչափ պտտական շարժման անկյունային արագության մոդուլը համընկնում է պտտման հաճախության հետ՝ չափված հերցով (Հց), այսինքն՝ այս միավորներով ${\displaystyle ~~\omega ={f}}$։ Եթե անկյունային արագությունը չափվում է ռադիան/վայրկյանով, ապա անկյունային արագության մոդուլը պտտման հաճախության հետ կապված է ${\displaystyle ~~\omega ={2\pi f}}$ առնչությամբ, եթե աստիճան/վայրկյանով՝ ${\displaystyle ~~\omega ={360f}}$ առնչությամբ։

Մեկ մասնիկի դեպքը

Երկչափ դեպք

Անկյունային արագությունը P կետում O սկզբնակետի նկատմամբ որոշվում է ${\displaystyle v}$ արագության վեկտորի ուղղահայաց բաղադրիչով

Անկյունային արագությունը նկարագրում է ակնթարթային առանցքի ուղղությունը և պտտման արագությունը։

Մասնիկի անկյունային արագությունը չափվում է որևէ կետի նկատմամբ, որն ընտրվում է որպես սկզբնակետ։ Ինչպես պատկերված է գծագրում, մասնիկի ${\displaystyle v}$ արագությունը ունի շառավղի երկայնքով և շառավղին ուղղահայաց բաղադրիչներ՝ v_‖ և v_⊥։ Եթե շառավղային բաղադրիչը բացակայում է, մասնիկը շարժվում է շրջանագծով։ Եթե բացակայում է շառավղին ուղղահայաց բաղադրիչը, մասնիկը շարժվում է ուղիղ գծով։

Շառավղային շարժումը փոփոխություն չի առաջացնում սկզբնակետի նկատմամբ մասնիկի ուղղության մեջ, ուստի անկյունային արագությունը գտնելու համար այն կարելի է անտեսել։ Պտույտը ամբողջությամբ պայմանավորված է սկզբնակետի շուրջը ուղղահայաց շարժմամբ, ուստի անկյունային արագությունը որոշվում է այդ բաղադրիչով։

Երկչափ դեպքում ω անկյունային արագությունը տրվում է

${\displaystyle \omega ={\frac {d\phi }{dt}}}$

բանաձևով, որը շառավղին ուղղահայաց (տանգեցիալ) արագության հետ կապված է

${\displaystyle \mathrm {v} _{\perp }=r\,{\frac {d\phi }{dt}}}$

առնչությամբ։ Պարզ տեսքով v_⊥-ն v-ի և θ-ի միջոցով արտահայտվում է որպես

${\displaystyle \mathrm {v} _{\perp }=|\mathrm {\mathbf {v} } |\,\sin(\theta ):}$

Միավորելով վերը բերված երկու հավասարությունները, կստանանք ω'-ի բանաձևը՝

${\displaystyle \omega ={\frac {|\mathrm {\mathbf {v} } |\sin(\theta )}{|\mathrm {\mathbf {r} } |}}:}$

Եռաչափ դեպք

Եռաչափ դեպքում անկյունային արագությունը վեկտոր է, որն ունի ոչ միայն մեծություն, այլև ուղղություն, որոնք նկարագրվում են պտտման առանցքով։ Պտտման դրական ուղղությունը որոշվում է խցանահանի կանոնով։

Եթե ${\displaystyle {\vec {u}}}$-ն ակնթարթային առանցքի միավոր վեկտորն է, ապա անկյունային արագության ${\displaystyle {\vec {\omega }}}$ վեկտորը կարող է որոշվել որպես

${\displaystyle {\vec {\omega }}={\frac {d\theta }{dt}}\cdot {\vec {u}}}$

Այս դեպքում նույնպես արագությունն ունի շառավղային և ուղղահայաց բաղադրիչներ։ Ուղղահայաց բաղադրիչով և սկզբնակետով որոշվում է պտտման հարթությունը, որտեղ մասնիկի շարժումը կարելի է դիտարկել ճիշտ ինչպես երկչափ դեպքում։ Պտտման առանցքը այդ ուղղահայաց է այդ հարթությանը։ ${\displaystyle {\vec {u}}}$ միավոր վեկտորի ուղղությամբ երկչափ դեպքի համար բանաձևը կարող ենք գրել վեկտորական տեսքով՝

${\displaystyle {\vec {\omega }}={\frac {|\mathrm {\mathbf {v} } |\sin(\theta )}{|\mathrm {\mathbf {r} } |}}\,{\vec {u}}}$

որը, ըստ վեկտորական արտադրյալի սահմանման, կարելի է գրել՝

${\displaystyle {\vec {\omega }}={\frac {{\vec {r}}\times {\vec {v}}}{|{\vec {r}}|^{2}}}}$:

Այս բանաձևը միարժեքորեն չի որոշում անկյունային արագությունը (մեկ կետի դեպքում կարելի է ընտրել սահմանմանը համապատասխանող այլ ${\displaystyle {\vec {\omega }}}$ վեկտորներ կամայական ընտրված պտտման առանցքի միջոցով), իսկ ընդհանուր դեպքում, երբ մարմնի կազմության մեջ մտնում են մեկից ավելի նյութական կետեր, այս բանաձևը ճիշտ չէ ամբողջ մարմնի անկյունային արագության համար։ Սակայն վերը նկարագրված երկչափ դեպքի համար այն միարժեքորեն ճիշտ է, քանի որ պտտման առանցքի ուղղությունը որոշված է միարժեքորեն։

Մեկ մասնիկի դեպքում անկյունային արագությունը հանդես է գալիս որպես պսևդոսկալյար և պսևդովեկտոր՝ համապատասխանաբար երկչափ և եռաչափ դեպքերում։

Տես նաև

• Անկյունային հաճախություն