Պարզ թիվ
From Wikipedia, the free encyclopedia
Պարզ թիվ, մեկից մեծ բնական թիվ, որը երկու ավելի փոքր բնական թվերի արտադրյալ չէ։ Մեկից մեծ բնական թիվը, որը պարզ չէ կոչվում է բաղադրյալ թիվ[1]։ Օրինակ, 5֊ը պարզ է, քանի որ այն միայն կարելի է ներկայացնել 1 × 5 և 5 × 1 արտադրյալների տեսքով։ Սակայն, 4֊ը բաղադրյալ է, քանի որ այն կարելի է ներկայացնել 2 × 2 տեսքով։ Թվաբանության հիմնական թեորեմի պատճառով պարզ թվերը հիմնարար դեր ունեն թվերի տեսությունում։ Ըստ թեորեմի՝ մեկից մեծ յուրաքանչյուր բնական թիվ կամ պարզ է, կամ այն վերլուծվում է պարզ թվերի արտադրյալի, այն էլ միակ ձևով, այսինքն, եթե , որտեղ թվերից յուրաքանչյուրը պարզ թիվ է, ընդ որում տեղի ունեն և անհավասարությունները, ապա և ։
Տրված թվի պարզությունը ստուգելու համար կարելի հերթով փորձել ու տեսենել արդյոք ֊ը բաժանվում է 2֊ի և միջև ընկած որևէ ամբողջ թվի։ Այս ալգորիթմը պարզ է, բայց դանդաղ։ Ավելի արագ ալգորիթմներից են՝ Միլեր֊Ռաբինի պարզության թեստը, որը արագ է, բայց ունի սխալվելու փոքր շանս, և AKS պարզության թեստը, որը միշտ բազմանդամային արագությամբ գտնում է ճիշտ պատասխանը, բայց ճափազանց դանդաղ է գործնականում օգտագործվելու համար։ Հատուկ տեսքի թվերի համար, ինչպես օրինակ Մերսենի թվերը, գոյություն ունեն ավելի արագ մեթոդներ։ 2018 թվականի դեկտեմբերի դրությամբ մեծագույն հայտնի պարզ թիվը Մերսենի թիվ է, որն ունի 24,862,048 թվանշան[2]։
Պարզ թվերն անվերջ են։ Վերջինիս ճշմարտացիության առաջին ապացույցին հանդիպում ենք Էվկլիդեսի մոտ։ Նրա ապացույցը կարճ կարելի է ձևակերպել այսպես
- Պատկերացնենք, որ պարզ թվերի քանակությունը վերջավոր է։ Բոլոր պարզ թվերը բազմապատկենք իրարով ու ստացվածին գումարենք մեկ։ Ստացված թիվը չի բաժանվում մեր ունեցած և ոչ մի պարզ թվի վրա, որովհետև բաժանումից ստացված մնացորդը միշտ մեկ է լինում։ Ստացվում է, որ այդ թիվը պետք է բաժանվի մի պարզ թվի վրա, որը մենք չենք ընդգրկել մեր պարզ թվերի բազմության մեջ։ Ստացանք հակասություն։
Պարզ թվերը բաղադրյալ թվերից բաժանող հայնտի բանաձև չկա։ Սակայն, բնական թվերի մեջ պարզ թվերի բաշխումը կարելի է վիճակագրորեն մոդելավորել։ Այս ուղղությամբ առաջին արդյունքը Պարզ թվերի թեորեմն էր, որն ապացուցվել է 19֊րդ դարի վերջին։ Ըստ այս թեորեմի՝ հավանականությունը, որ պատահականորեն ընտրված մեծ թիվը պարզ կլինի հակադարձ համեմատական է իր թվանշանների քանակին, այսինքն՝ իր լոգարիթմին։
Պարզ թվերի հետ կապված որոշ խնդիրներ դեռ չլուծված են։ Այս խնդիրներից են՝ Գոլդբախի խնդիրը (երկուսից մեծ յուրքանչյուր ամբողջ թիվ կարելի է ներկայացնել երկու պարզ թվերի գումարի տեսքով) և երկվորյակների ենթադրությունը (գոյություն ունե անթիվ բազմությամբ պարզ թվերի զույգեր, որոնք իրարից երկուսով են տարբերվում)։ Նման հարցերը խթանել են թվերի տեսության տարբեր բնագավառների զարգացմանը, ինչպես օրինակ անալիտիկ կամ հանրահաշվական թվերի տեսությունը։ Պարզ թվերը նաև լայն կիրառություն ունեն տեղեկատվական տեխնոլոգիաներ, մասնավորապես՝ հանրային բանալիների գաղտնագրության մեջ։ Աբստրակտ հանրահաշվում պարզ տարրերը և պարզ իդեալները պարզ թվերի ընդհանրացված օբյեկտներ են։