חוג נתרי

באלגברה מופשטת, חוג נתרי הוא חוג עם יחידה המקיים את תנאי השרשרת העולה על האידיאלים השמאליים שלו, כלומר כל סדרה עולה ממש של אידיאלים שמאליים בחוג כזה מוכרחה להסתיים. חוגים אלו קרויים על שמה של אמי נתר אשר חקרה חוגים אלה, בעקבות מורה דויד הילברט. מתנאי השרשרת נובע שכל אידיאל שמאלי של החוג הוא בעל מספר יוצרים סופי, ועובדה זו מגבילה את הגודל והמורכבות של חוגים נתריים. בתורת החוגים נודעת חשיבות מיוחדת לחוגים נתריים, בשל הקשר שלהם לאובייקטים גאומטריים ותורת המבנה שניתן לבסס עבורם; חוגים שאינם נתריים עשויים להיות מורכבים וסבוכים בהרבה.

אחת התכונות החשובות של חוגים אלה היא שלאידיאלים הראשוניים יש גובה סופי - ולכן אפשר ללמוד את הספקטרום באינדוקציה על הממד, דרך שרשראות של אידיאלים ראשוניים. גובהם של האידיאלים הראשוניים סופי, אבל אינו בהכרח חסום, ולכן ישנם חוגים נתריים שממד קרול שלהם אינסופי. עם זאת, לאלגברות אפיניות (קומוטטיביות), שהן אחד המקורות העיקריים לדוגמאות של חוגים נתריים, יש ממד קרול סופי.

תנאי השרשרת היורדת, שהוא דואלי לתנאי השרשרת העולה, מגדיר חוגים הנקראים ארטיניים. הסימטריה מדומה בלבד: כל חוג ארטיני הוא נתרי (משפט הופקינס-לויצקי). חוגים נתריים מקיימים את תנאי משפט גולדי, על שיכון חוגים ראשוניים (למחצה) בחוגים ארטיניים פשוטים (למחצה).

אוסף החוגים הנתריים סגור ביחס לפעולות אלגבריות מסוימות: חוג מנה של חוג נתרי הוא נתרי, וגם מכפלה ישרה של שני חוגים נתריים היא נתרית. לעומת זאת, (ובניגוד למצב עבור מודולים נתריים), תת-חוג של חוג נתרי אינו בהכרח נתרי. חוג הוא נתרי אם ורק אם כל המודולים הנוצרים סופית מעליו הם נתריים. חוג פולינומים מעל חוג נתרי הוא נתרי, וחוג המטריצות מעל חוג נתרי הוא נתרי.

הגדרות

הנתריות מוגדרת (ברוב הספרים) במונחי האידיאלים השמאליים. באופן דומה אפשר להגדיר גם:

• חוג נתרי-ימני - חוג המקיים את התנאי ACC על אידיאלים ימניים
• חוג נתרי חלש - חוג המקיים את התנאי ACC על אידיאלים דו-צדדיים

ישנם חוגים נתריים שאינם נתריים ימניים (ולהפך), אבל בחוגים קומוטטיביים מתלכדות כל התכונות.

הגדרות שקולות

חוג הוא נתרי אם ורק אם הוא נתרי כמודול מעל עצמו (משום שהאידיאלים השמאליים של החוג הם תת-המודולים שלו).

• "תנאי המקסימום" (לאידיאלים שמאליים) קובע שבכל קבוצה לא ריקה של אידיאלים שמאליים בחוג ${\displaystyle R}$, קיים איבר מקסימלי, כלומר אידיאל שלא מוכל באף אידיאל אחר מהקבוצה (אף על פי שאידיאל כזה בדרך כלל אינו אידיאל מקסימלי). חוג ${\displaystyle R}$ הוא נתרי אם ורק אם הוא מקיים את תנאי המקסימום על אידיאלים שמאליים.

מתנאי המקסימום אפשר להסיק שכל אידיאל שמאלי בחוג מוכל באידיאל שמאלי מקסימלי; תכונה זו נכונה בכל חוג, על-פי הלמה של צורן.

• "תנאי הבסיס הסופי": כל אידיאל שמאלי ${\displaystyle I}$ ב-${\displaystyle R}$ נוצר סופית (כלומר קיימים ${\displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{n}}$ ב-${\displaystyle R}$ כך ש ${\displaystyle I=Ra_{1}+Ra_{2}+...+Ra_{n}}$). החוג ${\displaystyle R}$ מקיים תנאי זה אם ורק אם הוא נתרי.

משפט. חוג קומוטטיבי הוא נתרי אם ורק אם כל אידיאל ראשוני נוצר סופית.

תכונות

• בחוג נתרי ${\displaystyle R}$, כל אידיאל מכיל מכפלה (סופית) של אידיאלים ראשוניים. מוכיחים זאת באמצעות תנאי המקסימום. בפרט, יש מכפלה של אידיאלים ראשוניים השווה לאפס (בתחומי-שלמות נתריים אידיאל האפס הוא בעצמו ראשוני). בחוג נותרי יש מספר סופי של אידיאלים ראשוניים מינימליים.

• כל שדה הוא חוג נתרי. זה נובע מכך שהאידיאלים היחידים בשדה הם השדה עצמו ו-${\displaystyle \{0\}}$.
• משפט הבסיס של הילברט: אם ${\displaystyle R}$ חוג נתרי אז ${\displaystyle R[x]}$ חוג נתרי (${\displaystyle R[x]}$ הוא חוג הפולינומים במספר סופי של משתנים מעל ${\displaystyle R}$). ניתן להוכיח זאת בשתי דרכים - על ידי תנאי המקסימום ועל ידי תנאי הבסיס הסופי. ההוכחה של הילברט עצמו עושה שימוש ניכר בתנאי הבסיס הסופי.
• כל תמונה הומומורפית ${\displaystyle R'}$ של חוג נתרי ${\displaystyle R}$ היא נתרית בעצמה. במילים אחרות, אם ${\displaystyle R}$ חוג נתרי ו-${\displaystyle I}$ אידיאל, אז חוג המנה ${\displaystyle R/I}$ גם הוא נתרי. (הוכחה: כל אידיאל של חוג המנה הוא תמונה של אידיאל של ${\displaystyle R}$, הנוצרת על ידי תמונתה של קבוצת יוצרים סופית שם).

משלוש התכונות האחרונות נובע שכל אלגברה קומוטטיבית נוצרת סופית היא נתרית.

• כל תחום שלמות נתרי ${\displaystyle R}$ הוא אטומי, כלומר: כל איבר ${\displaystyle a}$ שאינו הפיך אפשר להציג כמכפלה של איברים אי-פריקים מתוך ${\displaystyle R}$.

הוכחה: נשתמש כאן פעמיים בתנאי ה-ACC של חוג נתרי. נניח ש-${\displaystyle a}$ הוא איבר לא הפיך ב-${\displaystyle R}$, ונגדיר את הסדרה ${\displaystyle \left\{a_{n}\right\}}$ על ידי הכללים: ${\displaystyle a_{1}=a}$; ${\displaystyle a_{n}}$ הוא מחלק אמיתי של ${\displaystyle a_{n-1}}$ (מחלק אמיתי - אינו הפיך, וגם המנה ביחס אליו אינה הפיכה). האידיאלים מהצורה ${\displaystyle Ra_{n}}$ יוצרים שרשרת עולה ממש, ולכן, על פי תנאי ה-ACC, זו שרשרת סופית, והאיבר האחרון בה הוא אי-פריק. הוכחנו כי לכל איבר לא הפיך יש מחלק אי-פריק. נשתמש בעובדה זו על מנת ליצור סדרה חדשה ${\displaystyle \left\{b_{n}\right\}}$ המוגדרת על ידי: ${\displaystyle b_{1}=a}$; ${\displaystyle b_{n-1}=b_{n}p_{n}}$, כאשר ${\displaystyle p_{n}}$ אי-פריק. קיבלנו ש-${\displaystyle a=p_{2}...p_{m}b_{m}}$ הוא מכפלה של איברים אי-פריקים.

• בחוג נתרי קומוטטיבי מתקיים משפט החיתוך של קרול: לכל אידיאל I, אם ${\displaystyle b\in \bigcap I^{n}}$ אז ${\displaystyle b\in bI}$. בפרט, (א) ${\displaystyle \bigcap J(R)^{n}}$ כאשר ${\displaystyle J(R)}$ הוא רדיקל ג'ייקובסון של החוג; (ב) אם R תחום שלמות נתרי, ${\displaystyle \bigcap I^{n}}$ לכל אידיאל I.
• השערת ג'ייקובסון שואלת האם ${\displaystyle \bigcap J(R)^{n}=0}$ כאשר R חוג נתרי שאינו קומוטטיבי. התשובה שלילית באופן כללי (Herstein, Jategaonkar); אבל ההשערה פתוחה עבור חוגים שהם נתריים גם מימין וגם משמאל.

דוגמאות

• כל חוג סופי (כקבוצה) הוא נתרי. כל חוג שהוא אלגברה מממד סופי מעל שדה הוא נתרי.
• כל תחום ראשי הוא נתרי (מכיוון שהאידיאלים שלו נוצרים סופית). בפרט, חוג המספרים השלמים ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ הוא נתרי.
• בכל חוג עם חילוק האידיאל החד-צדדי האמיתי היחיד הוא אידיאל האפס, ולפיכך החוג נתרי.
• חוג השלמים ה-p-אדיים ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ כאשר ${\displaystyle p}$ ראשוני. בחוג זה כל אידיאל נוצר על ידי חזקה של ${\displaystyle p}$.
• חוג הפולינומים בשני משתנים מעל שדה המרוכבים: ${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]}$. בחוג זה כל האידיאלים נוצרים סופית. (לפי משפט הבסיס של הילברט).
• חוג טורי החזקות הפורמליים מעל חוג קומוטטיבי נתרי הוא נתרי.
• דוגמה לחוג לא חילופי שהוא נתרי-ימני אך לא נתרי שמאלי: נתבונן בחוג מטריצות מגודל ${\displaystyle 2\times 2}$ המוגדר: ${\displaystyle R={\begin{pmatrix}\mathbb {Z} &\mathbb {Q} \\0&\mathbb {Q} \\\end{pmatrix}}}$.
  ניתן לראות שחוג זה אינו נתרי שמאלי אם נתבונן בקבוצת האידיאלים הבאה: ${\displaystyle I_{n}={\Bigg \{}{\begin{pmatrix}0&{\frac {m}{2^{n}}}\\0&0\\\end{pmatrix}}\ {\Bigg |}\ m\in \mathbb {Z} {\Bigg \}}}$.
  עבור כל ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle I_{n}}$ הוא אידיאל שמאלי ב-${\displaystyle R}$, ומתקיים: ${\displaystyle I_{0}\subsetneq I_{1}\subsetneq I_{2}\subsetneq ...}$. יש לנו שרשרת עולה אינסופית של אידיאלים שמאליים ומכאן שהחוג אינו נתרי שמאלי. לעומת זאת החוג ${\displaystyle R}$ הוא נתרי ימני^[1].
• חוג הקואורדינטות ההומוגני של עקום אליפטי, המפותל באמצעות אוטומורפיזם מסדר אינסופי הוא חוג (לא קומוטטיבי) נתרי, שכל תת-חוג שלו הוא נוצר סופית ונתרי^[2]. תכונה מיוחדת זו מתקיימת גם בכל חוג שהוא מודול נוצר סופית מעל חוג פולינומים במשתנה יחיד מעל שדה (למשל, ${\displaystyle M_{n}(F[x])}$). לא ידועה דוגמה לחוג בעל תכונה זאת, שאינו מתקבל מאחת משתי המשפחות הללו.

תכונת הנתריות בהרחבות של חוגים

• אם ${\displaystyle R}$ חוג נתרי אז כך גם ${\displaystyle R[x]}$ ו-${\displaystyle R[[x]]}$.
• מכפלה ישרה של מספר סופי של חוגים נתריים היא חוג נתרי (מכפלה ישרה אינסופית לעולם אינה נתרית).
• גבול ישר של חוגים נתריים אינו בהכרח נתרי. גבול הפוך של חוגים נתריים אינו בהכרח נתרי.
• מכפלה טנזורית של חוגים נתריים אינה בהכרח נתרית. בפרט, המכפלה הטנזורית של שני שדות שאינם נוצרים סופית (כשדות) מעל תת-שדה משותף, אינה נתרית (Vamos). קיימות אלגברות נתריות נוצרות סופית, שלאחר הרחבת סקלרים (דהיינו, מכפלה טנזורית מעל שדה הבסיס עם הרחבת שדות מתאימה) אינן נתריות עוד^[3].
• אם ${\displaystyle R}$ חוג נתרי ו-${\displaystyle S}$ חוג המהווה ${\displaystyle R}$-מודול נוצר סופית, אזי גם ${\displaystyle S}$ נתרי (כחוג)
• אם ${\displaystyle R}$ חוג ו-${\displaystyle S}$ חוג המהווה ${\displaystyle R}$-מודול נוצר סופית, ו-${\displaystyle S}$ חוג נתרי, לא בהכרח מתקיים כי ${\displaystyle R}$ חוג נתרי. ואמנם ${\displaystyle R}$ אכן נתרי אם ${\displaystyle R,S}$ אלגברות מעל שדה ו-${\displaystyle R}$ מקו-ממד סופי ב-${\displaystyle S}$ (Stafford).
• אם ${\displaystyle S}$ חוג נתרי ו-${\displaystyle C}$ תת-חוג המוכל במרכז שלו, ו-${\displaystyle S}$ מהווה ${\displaystyle C}$-מודול נוצר סופית, אזי גם ${\displaystyle C}$ נתרי (כחוג; זהו משפט Eakin-Nagata). התוצאה נשארת נכונה גם אם ${\displaystyle C}$ לא בהכרח מרכזי אלא די בכך ש-${\displaystyle S}$ נוצר כ-${\displaystyle C}$-מודול על ידי מספר סופי של איברים ${\displaystyle S=Cs_{1}+\cdots +Cs_{n}}$ המקיימים לכל ${\displaystyle i}$: ${\displaystyle s_{i}C=Cs_{i}}$ (שוויון קבוצות. הרחבה זו הוכחה על ידי Formanek-Jategaonkar).

לקריאה נוספת

• Oscar Zariski, Pierre Samuel. Commutative Algebra, D.Van Nostrand Company, New Jersey. Chapter 4
• Louis H.Rowen. Ring Theory, Volume 1, Academic Press, San Diego

קישורים חיצוניים

• הרחבה על חוגים נתריים ויישומיהם
• משפטים וחומר נוסף
• חוג נתרי, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים

1. Example of a Right Noetherian Ring That Is Not Left Noetherian, באתר planetmath.org, ‏22 במרץ 2013 (באנגלית)
2. D. Rogalski, S. J. Sierra & J. T. Stafford, Algebras in Which Every Subalgebra Is Noetherian, Proceedings of the American Mathematical Society, ספטמבר 2014, in JSTOR
3. R. Resco, L. W. Small, Affine Noetherian Algebras and Extensions of the Base Field, Bull. London Math. Soc. 25 (6), 549–552 (1993)