תחום אטומי

בתורת החוגים, תחום אטומי הוא תחום שלמות שבו כל איבר שונה מאפס ולא הפיך אפשר לכתוב כמכפלה של איברים אי-פריקים. זוהי תכונה שכיחה למדי, משום שכל תחום שלמות נותרי הוא אטומי.

הגדרות

איבר ${\displaystyle u}$ של תחום שלמות ${\displaystyle R}$ הוא הפיך אם קיים איבר ${\displaystyle v}$ כך ש-${\displaystyle uv=1}$. פירוק לא-טריוויאלי של ${\displaystyle a}$ הוא פירוק ${\displaystyle ab=c}$ שבו שני הגורמים אינם הפיכים. איבר שאין לו פירוק לא-טריוויאלי הוא אי-פריק.

אטומיות ותכונות אחרות

הדרך הקלה ביותר להבטיח שתחום יהיה אטומי היא לדרוש שהוא יקיים את תנאי השרשרת העולה על אידיאלים ראשיים; תנאי זה שקול לכך שאין שרשרת אינסופית של מחלקים, ולכן כשמתחילים לפרק איבר לגורמים, התהליך מוכרח להיות סופי. בתורו, תנאי השרשרת העולה מתקיים בכל חוג נותרי, ולכן כל התחומים הנותריים הם אטומיים.

כל תחום פריקות יחידה מקיים את תנאי השרשרת העולה על אידיאלים ראשיים, ולכן הוא אטומי. מאידך, קיומו של פירוק לגורמים אינו מבטיח יחידות, ולכן תחום אטומי בדרך כלל אינו בעל פריקות יחידה. לדוגמה, ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-6}}],\mathbb {Q} [x^{2},xy,y^{2}]}$ הם תחומים אטומיים שאינם תחומי פריקות יחידה. התנאי החסר הוא שכל איבר אי-פריק יהיה ראשוני: תחום שלמות הוא בעל פריקות יחידה אם ורק אם הוא אטומי וכל האיברים האי-פריקים שלו הם ראשוניים.

חוג השלמים האלגבריים הוא דוגמה בולטת לתחום שלמות שאינו אטומי (כל איבר אפשר לפרק כריבוע השורש של עצמו). גם חוג הפולינומים במשתנה אחד וכל השורשים שלו, ${\displaystyle F[x^{r}:0<r\in \mathbb {Q} ]}$, אינו אטומי.

חוג פולינומים מעל תחום אטומי אינו בהכרח אטומי.