משפט הבסיס של הילברט

במתמטיקה, משפט הבסיס של הילברט (Hilbert) קובע שאם ${\displaystyle R}$ חוג נתרי, אז גם חוג הפולינומים (במספר סופי של משתנים מרכזיים) מעל R מקיים את אותה תכונה. בפרט, אם ${\displaystyle k}$ הוא שדה, אז כל אידיאל בחוג הפולינומים ב-n משתנים ${\displaystyle \,k[x_{1},\dots ,x_{n}]}$ נוצר על ידי מספר סופי של פולינומים. את המשפט הוכיח דויד הילברט בשנת 1888.

בשפה של גאומטריה אלגברית ניתן לנסח את המשפט כך: כל יריעה אלגברית ניתנת לתיאור כקבוצת האפסים המשותפים של מספר סופי של פולינומים.

המשפט תקף לגבי חוג בסיס לאו דווקא קומוטטיבי, ואזי את תכונת הנותריות יש להחליף באחת מבין התכונות: נותריות שמאלית, ימנית או חלשה (תנאי השרשרת העולה על אידיאלים דו-צדדיים). כל אחת מהן 'עולה' מ-${\displaystyle R}$ ל-${\displaystyle R[x]}$.

למשפט גרסה במשתנים לא-קומוטטיביים אותה הוכיח שמשון עמיצור: באלגברה החופשית במספר סופי של יוצרים מעל תחום קומוטטיבי נותרי, כל שרשרת של אידיאלים ראשוניים שהמנות ביחס אליהם משוכנות במטריצות מעל חוג קומוטטיבי (מסדרים חסומים – כלומר דרגות PI חסומות) מתייצבת^[1].

למקרה של חוגי פולינומים מעוותים (skew-polynomial rings) ניתנו מספר הרחבות, בידי Singh ואחרים.

הוכחה

יהי ${\displaystyle R}$ חוג נתרי שמאלי. נניח בשלילה שהחוג ${\displaystyle R[x]}$ אינו נתרי שמאלי. לכן קיים אידיאל שמאלי ${\displaystyle I\trianglelefteq R[x]}$ שאינו נוצר סופית. נבנה סדרה של פולינומים ${\displaystyle \{f_{0},f_{1},\dots \}}$ באופן רקורסיבי: תחילה נבחר פולינום ${\displaystyle f_{0}\neq 0}$ ב-${\displaystyle I}$ ממעלה מינימלית. יהי ${\displaystyle n}$ מספר טבעי, ונניח שנתונים האיברים ${\displaystyle f_{0},f_{1},\dots ,f_{n-1}}$. יהי ${\displaystyle I_{n}}$ האידיאל השמאלי הנוצר על ידי ${\displaystyle f_{0},f_{1},\dots ,f_{n-1}}$. נבחר את ${\displaystyle f_{n}}$ להיות איבר כלשהו של ${\displaystyle I\setminus I_{n}}$ ממעלה מינימלית. איבר כזה קיים לפי ההנחה ש-${\displaystyle I}$ לא נוצר סופית. מכאן שהסדרה ${\displaystyle \{\deg(f_{0}),\deg(f_{1}),\dots \}}$ היא סדרה לא יורדת של שלמים אי שליליים. יהי ${\displaystyle a_{n}}$ המקדם המוביל של ${\displaystyle f_{n}}$ ויהי ${\displaystyle J}$ האידיאל השמאלי של ${\displaystyle R}$ הנוצר על ידי ${\displaystyle a_{0},a_{1},\dots }$. מכיוון ש-${\displaystyle R}$ חוג נתרי, שרשרת האידיאלים ${\displaystyle (a_{0})\subset (a_{0},a_{1})\subset (a_{0},a_{1},a_{2})\subset \cdots }$ מתייצבת. לכן קיים ${\displaystyle N}$ טבעי שעבורו ${\displaystyle J=(a_{0},a_{1},\dots ,a_{N-1})}$. בפרט קיימים איברים ${\displaystyle u_{0},u_{1},\dots ,u_{N-1}\in R}$ כך ש-${\displaystyle a_{N}=\sum _{i<N}u_{i}a_{i}}$.

נגדיר את הפולינום: ${\displaystyle g=\sum _{i<N}u_{i}x^{\deg f_{N}-\deg f_{i}}f_{i}}$. ל-${\displaystyle g}$ ול-${\displaystyle f_{N}}$ יש אותה מעלה ואותו מקדם מוביל. יתר על כן, ${\displaystyle g\in I_{N}}$. מצד שני, ${\displaystyle f_{N}\in I\setminus I_{N}}$. לכן ${\displaystyle f_{N}-g\in I\setminus I_{N}}$ והמעלה שלו קטנה יותר מזו של ${\displaystyle f_{N}}$, בסתירה למינימליות.

לקריאה נוספת

• Lang, Serge (1997). Algebra, 3rd ed., reprint w/ corr., Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-55540-0.

קישורים חיצוניים

• משפט הבסיס של הילברט, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים

1. A NONCOMMUTATIVE HILBERT BASIS THEOREMAND SUBRINGS OF MATRICES by Shimshon Avraham Amitsur (Transactions of the American Mathematical Society).

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.