Filosofía das matemáticas

A filosofía das matemáticas é unha área da filosofía teórica, que trata de comprender e explicar os requisitos, o obxecto, o método e a natureza^[1] das matemáticas. Como área de estudo pode ser aproximada dende dúas direccións: o punto de vista dos filósofos e o dos matemáticos. Dende o punto de vista filosófico, o obxectivo principal é dilucidar unha variedade de aspectos problemáticos na relación entre as matemáticas e a filosofía. Dende o punto de vista matemático, o interese principal é prover o coñecemento matemático de fundamentos firmes. É importante manter presente que aínda que estes puntos de vista poden implicar diferentes esquemas e intereses, non son opostos, senón máis ben complementarios: «Cando os matemáticos profesionais se ocupan dos fundamentos da súa disciplina, dise que se dedican á investigación fundamental (ou traballo fundacional ou de fundamentos, metamatemática). Cando os filósofos profesionais investigan cuestións filosóficas relativas ás matemáticas, dise que contribúen á filosofía das matemáticas. Por suposto, a distinción entre a filosofía das matemáticas e os fundamentos das matemáticas é vaga, e á maior interacción que hai entre os filósofos e os matemáticos que traballan en cuestións relativas á natureza das matemáticas, mellor».^[2]

• De acordo a Jeremy Avigad (profesor de ciencias matemáticas e de filosofía na Universidade Carnegie Mellon^[3]) “o coñecemento matemático foi considerado por moito tempo como un paradigma do coñecemento humano con verdades que son á vez necesarias e certas, polo que dar unha explicación do coñecemento matemático é unha parte importante da epistemoloxía. Os obxectos matemáticos, tales como os números e os conxuntos, son exemplos arquetípicos de abstraccións, dado que o tratamento de tales obxectos no noso discurso é como se fosen independentes do tempo e o espazo, atopar un lugar para os obxectos deste tipo nun marco máis amplo do pensamento é unha tarefa central da ontoloxía, ou metafísica. O rigor e a precisión da linguaxe matemática depende do feito de que está baseada nun vocabulario limitado e gramática moi estruturadas, e as explicacións semánticas do discurso matemático moitas veces serven como punto de partida da filosofía da linguaxe. Aínda que o pensamento matemático demostrou un alto grao de estabilidade a través da historia, a súa práctica tamén evolucionou co tempo, e algúns desenvolvementos provocaron controversia e debate; clarificar os obxectivos básicos desta práctica e os métodos apropiados é, polo tanto, unha tarefa metodolóxica e fundacional importante, situando a filosofía das matemáticas dentro da filosofía xeral da ciencia.
• De acordo a Bertrand Russell, as matemáticas son un estudo que, cando se parte das súas porcións máis familiares, pode levarse a cabo en calquera de dúas direccións opostas (unha procura a expansión do coñecemento, a outra darlle fundamentos). Mais débese entender que a distinción é unha, non na materia obxecto, senón no estado da mente do investigador (...) Así como precisamos dous tipos de instrumentos, o telescopio e o microscopio, para a ampliación das nosas capacidades visuais, igual precisamos dous tipos de instrumentos para a ampliación das nosas capacidades lóxicas, unha para facernos avanzar ás matemáticas superiores, e o outro que nos leve cara a atrás, cara aos fundamentos lóxicos das cousas que estamos inclinados a tomar por sentado nas matemáticas. Veremos que mediante a análise das nocións matemáticas ordinarias se adquire unha nova perspectiva, novos poderes, e os medios de chegar a novos temas matemáticos completos, mediante a adopción de novas liñas de avance, seguindo a nosa viaxe cara a atrás.^[4]

Principia Mathematica, unha das obras máis importantes sobre filosofía das matemáticas.

Como xa se suxeriu, estas aproximacións non son conflitivas. Nas palabras de Imre Lakatos: «Ao discutir os esforzos modernos para establecer os fundamentos do coñecemento matemático un tende a esquecer que eses son só un capítulo no grande esforzo para superar o escepticismo e implantar os fundamentos do coñecemento en xeral. O propósito da miña contribución é mostrar a filosofía matemática moderna como profundamente inserida na epistemoloxía xeral e, xa que logo, só entendible neste contexto ». (énfase de Lakatos^[5]).

Introdución

Dende a antigüidade a filosofía tivo interese en, polo menos, certos aspectos da matemática.^[6] nas palabras de Miguel de Guzmán: "Pero hai outros aspectos interesantes da matemática que atraen de modo natural o filósofo. A dinámica interna do pensamento matemático, a lóxica da súa estrutura, simple, tersa, sobria, clara, fan dela un modelo de reflexión fiable que suscita o consenso de todos. Os filósofos interesados en aclarar os misterios do coñecemento humano viron no pensamento matemático un campo ideal de traballo onde pór a proba as súas hipóteses e teorías.".^[7] Mario Bunge vai máis lonxe e chega a suxerir que as matemáticas son non só o fundamento da tarefa científica senón tamén do filosófico.^[8]

Por moito dese tempo a opinión xeral era a que Carl Friedrich Gauss resumiu: «A matemática é a raíña das ciencias e a aritmética é a raíña das matemáticas. Ela con frecuencia se digna a prestar un servizo á astronomía e a outras ciencias naturais, mais en todas as relacións, ten dereito á primeira fila».^[9] Esta preeminencia debíase a unha percepción que, en última instancia, emana de Platón: "Nas matemáticas áchase a orixe e o fundamento da teoría platónica das formas ou ideas. Nesta, a idealización dos entes matemáticos transfórmase na idealización dos entes físicos e psíquicos. A verdade matemática, pola súa invariabilidade no tempo, era o modelo a seguir en todo coñecemento intelectual. O método dedutivo, que partindo de axiomas e definicións chegaba á demostración de teoremas, era o modelo prestixioso de razoamento para todo saber. No diálogo "Menón", Sócrates, a través de preguntas e respostas, fai que un escravo alcance polo seu propio razoamento unha verdade matemática; así, dun xeito popular, expón Platón que as matemáticas están na alma humana, xa que nesta se acha presente o logos que goberna o mundo material mediante as proporcións aritméticas e xeométricas. Só se require a introspección para volvernos conscientes dese saber interno".^[10]

Esa posición é xeralmente coñeceda como realismo, platonismo ou realismo platónico e "de maneira moi esquemática, pode sintetizarse na crenza de que os obxectos matemáticos son reais e a súa existencia é un feito obxectivo e independente do noso coñecemento dos mesmos. Existen fóra do espazo e do tempo da experiencia física e calquera pregunta significativa sobre eles ten unha resposta definida. Así, o matemático é, neste senso, como un científico empírico que non pode inventar ni construír senón só descubrir algo que xa existe.^[11] Acorde co físico Paul Davies: "Os científicos non empregan as matemáticas simplemente como unha forma conveniente de organizar os datos. Cren que as relacións matemáticas reflicten aspectos reais do mundo físico".^[12]

Non obstante, cara a finais do século XIX esta situación comezou a cambiar, proceso que eventualmente culminou, a fins do século XIX e comezos do XX, na chamada crise dos fundamentos:^{[13][14][15][16][17][18]} "A imaxe tradicional das matemáticas (formal e infalible) foi cuestionada a raíz da chamada "crise dos fundamentos das matemáticas", que tivo lugar no século XIX. Dita "crise" orixinouse principalmente por dous descubrimentos: primeiro o das xeometrías non euclidianas e, segundo, o da teoría de conxuntos".^[19]

Esa situación foi resumida da seguinte maneira^[20]

"Ata ben entrado o século XIX, a xeometría era universalmente considerada a rama máis firme do coñecemento.... A xeometría era, simplemente, o estudo das propiedades do espazo. Estas manifestábanse como verdades obxectivas, universalmente válidas para a mente humana.

Durante o século XIX sucederon “varios desastres que ían cambiar completamente esta situación. O primeiro foi o descubrimento de xeometrías non euclidianas, ao que inmediatamente seguiu outro desastre maior: o desenvolvemento da análise por camiños contrarios á intuición xeométrica (curvas que enchen o espazo, funcións continuas non diferenciables etc.) o que puxo de manifesto a gran vulnerabilidade do único fundamento que ata entón tiñan as Matemáticas: a intuición xeométrica. Isto era unha auténtica catástrofe posto que nalgún sentido implicaba a perda da certeza, non só na Matemática senón en todo o coñecemento humano.

Pensouse entón buscar outra “base segura” para fundamentar as Matemáticas, e así Dedekind e Weierstrass mostraron como era posible construír a análise (o continuo) a partir da aritmética. Parecía que todo volvía estar en orde, pues ninguén dubidaba da certeza proporcionada pola nosa intuición de contar e así os números enteiros serían a nova base segura para todo o edificio matemático... (programa de Hilbert).

Mais o intento de fundamentar rigorosamente a Matemática ía ser levado un paso máis lonxe por Frege, quen comezou un ambicioso programa para basear as Matemáticas na Lóxica, a través da Aritmética. Este foi o punto de partida da escola loxicista que máis tarde sería continuada por Russell e Whitehead. A idea loxicista consistía en demostrar que a Matemática clásica era parte da lóxica, de modo que unha vez culminado o seu programa podería asegurarse que a Matemática estaba libre de contradición polo menos na mesma medida que a propia lóxica.

Porén, xa nese momento fixéranse descubrimentos que ían sacudir completamente este optimismo deixando de novo á Matemática sen fundamentos seguros. En efecto, a construción do continuo a partir da Aritmética baseábase na teoría de conxuntos de Cantor (hipótese do continuo), que tamén fora empregada por Frege na súa fundamentación da Aritmética. Mais a teoría de Cantor, e en particular a súa hipótese básica sobre a existencia de conxuntos encerrada na súa definición: “un conxunto é calquera colección de obxectos distintos da nosa intuición ou do noso pensamento”, que pode ser traducida por “calquera condición determina un conxunto”, ía revelarse inconsistente."

Esa crise deu orixe a varias tentativas de resolución, o que, á súa vez, deu orixe a tres correntes principais: as escolas intuicionista, loxicista e formalista^[21] (esa é a visión xeral ou común, algúns inclúen outras escolas, como o fenomenalismo de Husserl^[22]). Argumentablemente esas tentativas foron infrutuosas^[23] o que deu orixe a outras escolas, tanto derivadas das anteriores^[24]como doutras percepcións básicas, por exemplo, do empirismo. Con todo, e argumentablemente, a situación aínda non se resolveu de todo.^[25][26][27]

Problemas

Ao respecto de todo o anterior hai algunhas interrogantes fundamentais e sistemáticas tales como:

1. O modo de ser dos obxectos matemáticos: talvez estes existen "realmente" e independentemente de calquera emprego específico, e se é así, en que sentido? e que significa referirse a un obxecto matemático? Cal é o carácter dos teoremas matemáticos? Cal é a relación entre a lóxica e as matemáticas? Aquí trátase de cuestións ontolóxicas.
2. A orixe do coñecemento matemático: Cales son a fonte e a esencia da verdade matemática? Cales son as condicións da ciencia matemática? Cales son, no fundamental, os seus métodos de investigación? Que papel, en relación ao anterior, a natureza do ser humano? Aquí trátase de cuestións epistemolóxicas.
3. A relación entre as matemáticas e a realidade: Cal é a relación entre o mundo abstracto das matemáticas e o universo material? Teñen as matemáticas as súas raíces na experiencia, e se é así, como? Como é que as matemáticas axustan tan ben cos obxectos da realidade? (Albert Einstein^[28]) De que xeito os conceptos como número, punto, infinito etc., adquiren un significado que transcende o ámbito estritamente matemático? William Lane Craig argumentou que a eficacia das matemáticas na natureza se explica mellor apelando á existencia dun Deus.^[29]

O punto de partida é case sempre a concepción de que as proposicións matemáticas son certas por principio, de maneira atemporal e exacta e que a súa veracidade non depende nin de evidencias empíricas nin de puntos de vista persoais. A tarefa consiste tanto en determinar as condicións da posibilidade de adquirir ese coñecemento, como en cuestionar criticamente este punto de partida.

Correntes

Artístico

A visión que sostén que as matemáticas son a combinación estética de suposicións, e despois tamén afirma que as matemáticas son unha arte, foi compartida polo matemático británico G. H. Hardy^[30] e tamén metaforicamente polo francés Henri Poincaré.^[31] Para Hardy, no seu libro A Mathematician’s Apology, a definición de matemáticas parecíase máis á combinación estética de conceptos.^[32]

Platonismo

Kurt Gödel

O platonismo matemático ou realismo matemático afirma que os obxectos matemáticos (números, figuras xeométricas, funcións etc.) non son simples invencións humanas, senón obxectos abstractos que existen por si mesmos, independentemente da mente humana,^[33][34] é dicir, que os obxectos e teoremas matemáticos existen en forma illada do mundo material e independentemente do espazo e do tempo. Con este punto de vista, as leis da natureza e os axiomas da matemática teñen unha posición similar e a súa efectividade atopa unha explicación: o seu fundamento constitúeo o verdadeiro mundo dos obxectos matemáticos. O platonismo matemático é unha forma de realismo filosófico, aplicado aos obxectos matemáticos.

Aristotelismo

Aristóteles

En filosofía das matemáticas, o realismo aristotélico sostén que as matemáticas estudan propiedades como a simetría, a continuidad e a orde que poden realizarse literalmente no mundo físico. Por exemplo, o número 4 realízase na relación entre unha morea de papagaios e o universal "ser un papagaio" que divide o montón en tantos papagaios.^[35]

Aristóteles considera que os obxectos matemáticos son, a diferenza de Platón, abstraccións de obxectos e realidades materiais dependentes do mundo físico e non podían ter realidade á marxe das cousas empíricas. Non son ou existen per se, senón que nos obxectos individuais como seres en potencia. As matemáticas carecen de universalidade.^[36] Na Metafísica, limita a negarse que os obxectos matemáticos sexan substancias, mentres que nas Categorías os chama substancias segundas, xa que a categoría de cantidade é posterior á de substancia.^[37] As entidades matemáticas son todos os obxectos potenciais do intelecto que dan unha idea da beleza e un pracer intelectual.^[38]

Aristóteles criticou as ideas platónicas afirmando que o verdadeiro ser se atopa non no universal, senón no individual.^[39] Esta é a orixe e a base dun realismo filosófico moderado, que sostén que os conceptos universais son realidades na mente e aínda que carecen de existencia independente, teñen o seu fundamento nas cousas existentes.^[40] Os defensores máis coñecidos son Alberte Magno e Tomé de Aquino.^[41][42] A escola "Sydney School" adoptou unha noción realista neoaristotélica das matemáticas fronte ao platonismo e ao nominalismo.^[43][44] Tamén se considerou a Nicolai Hartmann^[45] e Penelope Maddy^[46] como aristotélicos nas súas filosofías sobre as matemáticas. A aritmética euclidiana desenvolvida por John Penn Mayberry no seu libro The Foundations of Mathematics in the Theory of Sets tamén cae na tradición realista aristotélica.^[47]

Formalismo

David Hilbert.

O formalismo matemático entende as matemáticas como un xogo (no sentido de Wittgenstein^[48]) baseado nun certo conxunto de regras para manipular cadeas de caracteres: "…o programa do formalismo matemático consiste en construír a Matemática como un sistema lóxico-formal puro, cunha condición fundamental que é a ausencia de contradición, prescindindo de todo tipo de contido; trátase, pois, dun sistema formal baleiro. Este sistema formal estaría integrado por un ou máis conxuntos de elementos fundamentais, por relacións definidas entre os elementos destes conxuntos e por proposicións reguladoras destas relacións (proposicións que comprenden os axiomas e as demais proposicións deles deducidas: os teoremas).^[49] Por exemplo, no xogo de xeometría euclidiana obtense o teorema de Pitágoras combinando certas cadeas (os axiomas) segundo determinadas regras (as do razoamento lóxico).^[50][51]

David Hilbert está xeralmente considerado fundador do formalismo moderno.^[52] O seu interese era a construción axiomática consistente e completa da totalidade das matemáticas,^[53] seleccionando como punto de partida os números naturais e asumindo que mediante o uso de axiomas se obvia a necesidade de definir os obxectos básicos co fin de lograr un sistema completo e consistente (Programa de Hilbert).

Nesta visión os enunciados matemáticos perden o carácter de verdades; deixan de seren, en última instancia, proposicións "sobre algo". O que importa son as relacións que se establecen entre eles: "Hilbert sostén que a verdadeira importancia na construción dos saberes matemáticos non é o resultado numérico, senón a lei de como estruturar as relacións entre os obxectos matemáticos.... As regras que ligan funcionalmente os obxectos co seu sistema de referencia formarán parte dun Sistema Formalizado Matemático; onde se entende como formalización a un conxunto de leis descubertas no seo da súa mesma estrutura, a que mantén a súa consistencia nas demostracións".^[54]

Outro matemático que foi inspirado polo formalismo foi Haskell Curry, xeralmente considerado o fundador da lóxica combinatoria.

A pesar de que esta proposta foi de curta duración, debido ao teorema de incompletude de Gödel, que demostrou que calquera sistema de axiomas que inclúa os números naturais é xa for incompleto ou contraditorio, chegou, de facto, a constituír a posición máis aceptada entre os matemáticos ata o último cuarto do século XX: "Os anos setenta viron decaer a tendencia formalista, representada polo grupo Bourbaki, pseudónimo de varias xeracións de matemáticos franceses".^[55]

Dedutivismo

O dedutivismo é unha variante do formalismo que propón que o traballo do matemático consiste en derivar proposicións a partir da asunción de que certas outras son correctas (se A, entón B).^[56] Tradicionalmente asumiuse que esas proposicións básicas (ou axiomas) son ou deberían ser indudablemente correctas. Pero iso non é nin necesariamente correcto nin necesario. Non é necesario porque a matemática non necesita fundacións indubidables,^[57] e non é necesariamente correcto porque, de feito, a matemática traballa perfectamente (especialmente na área das matemáticas aplicadas) sobre a base de que os axiomas son presumiblemente correctos e presumiblemente coherentes e que as inferencias que seguen deses presumibles axiomas son presumiblemente posibles (no sentido que se pode crear un modelo matemático a partir delas).^[58]

Convencionalismo

O matemático francés Henri Poincaré foi un dos primeiros en artellar unha visión convencionalista.^[59] O uso de Poincaré de xeometrías non euclidianas no seu traballo sobre ecuacións diferenciales convenceuno de que a xeometría euclidiana non debería considerarse unha verdade a priori. Sostivo que os axiomas na xeometría deberían escollerse polos resultados que producen, non pola súa aparente coherencia coas intuicións humanas sobre o mundo físico.

Intuicionismo

O intuicionismo matemático^[60] rexeita tanto a suxestión loxicista como a formalista, propondo que o coñecemento matemático se basea na aprehensión (que antecede calquera linguaxe ou lóxica) dalgúns conceptos matemáticos básicos.^[61][62] Este intuicionismo orixínase na proposta de L. E. J. Brouwer^[63] de que o saber matemático se basea na intuición primordial^[64][65] dos números naturais ( 1, 2, 3... ). Cada un deses números pode, a partir da intuición básica do 1, ser "construído" agregando 1 ao anterior. Isto introduce un elemento temporal.

A partir do anterior, o resto da matemática pode (e debe) construírse de forma explícita e rigorosa, o que require un método claro e preciso^[66]- só entidades cunha existencia (positiva ou negativa) que fose demostrada de tal xeito, ou por medio de tal método, teñen validez matemática.^[67] Parafraseando o dito platonista, poderíase dicir que, dende o punto de vista intuicionista, as verdades matemáticas non se descobren, créanse.^[68]

Entre outras consecuencias do anterior atópase a restricción do principio do terceiro excluído:^[69][70] saber que unha proposición é falsa implica, para os intuicionistas, poder demostrar esa falsedade.^[71][72] Segue que, nun momento dado (por exemplo, o presente) é perfectamente posible que haxa proposicións sobre as que non temos certeza de se son correctas ou non. Isto introduce novamente un elemento temporal na "verdade" matemática. O anterior non é un rexeitamento absoluto do principio. Os intuicionistas utilízano en situacións específicas, por exemplo, no caso de conxuntos ben definidos e finitos.^[68])

Outras diferen<as co que se pode considerar matemáticas clásicas atópase na concepción do infinito e a do continuo. Para os intuicionistas un (calquera) ente é válido se e só se pode ser construído por medio dun procedemento especificado e cun número finito de pasos ou operacións (este procedemento pode ser un algoritmo ou algún outro que siga unha regra: por exemplo, lanzar un dado vinte mil veces a fin de xerar calquera número). Mais, que procedimento específico e finito pode xerar o infinito? Calquera procedemento que escollamos só nos dará algún número concreto. Consecuentemente, o infinito intuicionista é só potencial, a diferenza do "infinito oficial" que o concibe como "unha totalidade completa e acabada".^[73] se ben esta diferenza é máis ben metafísica, argumentablemente sen consecuencias meirandes para a práctica matemática, é a introdución á diferenza sobre a concepción do continuo, que se ten tales consecuencias.

O concepto intuicionista do continuo^[74] rexeita a concepción axiomática clásica (de Cantor e Zermelo etc), baseada na teoría de conxuntos e suxire utilizar unha especie de "principio de escolla" (choice principles^[75] que Brouwer chama "secuencias de escollas libres"), baseado na intuición de que, entre dous puntos (ou números) calquera, un matemático pode escoller libremente outro punto ou número, e así indefinidamente: “O continuo lineal non pode esgotarse pola interpolación de novas unidades. E non pode polo tanto pensarse como unha simple colección de unidades.”.^[76][77]).

A introdución de secuencias de escollas ten varias consecuencias^[78] difíciles de aceptar para a matemática non intuicionista.^[79] Como exemplos, a demostración intuicionista do teorema da barra (bar theorem^[80]) e o teorema do abano (fan theorem^[81]).

Á parte de Arend Heyting, outros matemáticos e lóxicos de nota influídos por esta visión inclúen: Hermann Weyl, que promoveu unha visión construtivista das matemáticas; a aplicación do intuicionismo á topoloxía por Alfred Tarski; os traballos matemáticos de Andrei Kolmogorov e os de Andrei Markov e os desenvolvementos dunha lóxica intuicionista por Saul Kripke.^[82]

Entre os filósofos que continúan esta tradición atópase Michael Dummett.^[83]

Loxicismo

Bertrand Russell.

Construtivismo

O construtivismo require para a proba da existencia dun obxecto matemático, que este poida ser atopado ou construído. Para esta escola non abonda coa proba por contradición clásica (redución ao absurdo) que consiste en supor que un obxecto X non existe e partindo desta premisa derivar unha contradición. Segundo os construtivistas tal procedemento non permite atopar o obxecto estudado e en consecuencia a súa existencia non está realmente probada.

Finitismo

O finitismo é unha forma extrema de constructivismo, de acordo á que un obxecto matemático non existe a menos que sexa construído partindo dos números naturais nun número de pasos finitos. En contraste, a maioría dos construtivistas admiten un conxunto de pasos infinito numerable. O defensor máis famoso do finitismo foi Leopold Kronecker, que dixo: "Deus creou os números naturais; o resto é obra do ser humano".^[84] Aínda que a maioría dos construtivistas modernos teñen un punto de vista máis laxo, pódese buscar a orixe do construtivismo no traballo de Kronecker sobre o finitismo.

Estruturalismo

O estruturalismo considera as matemáticas principalmente como unha ciencia que se ocupa das estruturas xerais, é dicir, das relacións dos elementos dentro dun sistema.

Ficcionalismo

O ficcionalismo considera que as proposicións e teorías matemáticas pretenden ser sobre obxectos matemáticos abstractos, como suxire o platonismo, mais non existen cousas tales como obxectos abstractos, e polo tanto as teorías matemáticas non son certas.^[85]

Empirismo

John Stuart Mill

O empirismo matemático^[86] pode trazarse á obra Un sistema de lóxica de John Stuart Mill ao afirmar que as matemáticas son "a ciencia empírica de validez máis xeral".^[87] Para Mill, os conceptos matemáticos proceden do mundo físico e as verdades da matemática son verdades sobre o mundo físico, aínda que dun carácter máis xeral. As verdades matemáticas serían as verdades máis xerais de todas.^[88] Mill propuxo que os principios matemáticos e as conclusións da ciencia deductiva (como a xeometría, aritmética, álxebra...) son indutivas. Os axiomas baséanse na observación e na xeneralizacións a partir de experiencias repetidas. Por exemplo, 2 + 2 e 3 + 1 son necesariamente iguais porque un grupo de 4 cosas pode disporse en dous grupos de 2 cousas e nun grupo de 3 cousas e outro de 1. Mill anticipa que este punto de vista "debe esperarse a recepción máis desfavorable".^[89] Gottlob Frege reprendeu moitas das ideas de Mill sobre a filosofía das matemáticas na súa obra Os fundamentos da aritmética.^[90]

A pesar de que a suxestión de Mill non espertou grande interese entre matemáticos (P Kitcher: "o problema que moitas das súas formulacións son imprecisas (case convidando as coñecedas ironías de Frege) e, en adición, Mill só considera as máis rudimentarias partes da matemáticas"^[91]), a idea básica foi eventualmente retomada por dous autores: Stephan Körner^[92] e László Kalmár.^[93] Para Körner, "as teorías científicas integradas na matemática funcionan e están xustificadas, xunto co seu marco de traballo matemático como constituíntes sincategoremáticos.^[94] das proposicións empíricas ". Para Kalmar "os axiomas de calquera rama interesante das matemáticas foron extraídos orixinalmente, máis ou menos directamente, dos feitos empíricos, e as regras de inferencia empregadas nela orixinalmente manifestaron a súa validez universal na nosa práctica do pensamento; III) a consistencia da maioría dos nosos sistemas formais é un feito empírico, (e) aínda cando se demostrou, a aceptabilidade dos métodos metamatemáticos utilizados na proba (por exemplo indución transfinita ata ceerto ordinal construtivo) é de novo un feito empírico".^[95]

Esta visión foi expandida por, entre outros, Philip Kitcher, quen busca sistematizala;^[96] Carl E. Behrens, que suxire que "ao rehabilitar o empirismo de John Stuart Mill e combinalo co coñecemento cada vez maior da natureza da mente humana, podemos escapar do indefinible universo platónico da conciencia inmaterial e abandonar a busca va pola certeza que cubriu a filosofía dende os tempos dos gregos.^[97]

Cuasi-empirismo

O termo cuasi-empirismo foi introducido por Imre Lakatos^[98] a fin de salientar un punto crucial da súa suxestión: "Unha teoría euclidiana pode ser proclamada verdadeira. Unha teoría cuasi-empírica pode (como moito) ser ben corroborada, mais é sempre conxectural. Adicionalmente, nunha teoría euclidiana os postulados verdadeiros básicos no "cumio" do sistema dedutivo (xeralmente chamados axiomas) demuestra, por así decilo, o resto do sistema; nunha teoría cuasi-empírica os postulados básicos (verdadeiros) son explicados polo resto do sistema".

"O cuasi-empirismo postula que para entender e explicar as matemáticas non abonda con analizar a súa estrutura lóxica nin a súa linguaxe senón que hai que estudar a súa práctica real, a maneira en que efectivamente as aplican os matemáticos, as ensinan os profesores e as aprenden os estudantes, a súa historia, as revolucións que ocorren nelas, os paradigmas e os programas que dominan, as comunidades de matemáticos, o tipo de retórica que se emprega nelas e o papel que ten o coñecemento matemático nas distintas sociedades e culturas".^[99]

• Cuasi empirismo de Lakatos: Lakatos formula que a suposta necesidade lóxica (ou verdade a priori) das matemáticas deriva de que esquecemos, non coñecemos, ou non valoramos axeitadamente o proceso de probas e refutacións informais, sempre falibles, por medio do cal se chega ás probas formais que despois dan lugar ás axiomatizacións. Lakatos propón que: 1) as probas formais son falseables por medio das probas informais; 2) o proceder das matemáticas non é axiomático, como expoñen os formalistas, senón baseado nunha sucesión de probas e refutacións que só chegan a resultados falibles; 3) o intento de prover de fundamentos ás matemáticas implica un retroceso ao infinito; 4) a historia das matemáticas debe ser estudada non a través de teorías illadas, senón de series de teorías ou aínda mellor de programas de investigación que inclúen un núcleo firme non falseable e un cinto protector de hipóteses auxiliares que si son falseables, mais que son modificables; 5) debemos preferir non o programa matemático que estea completamente axiomatizado senón o que sexa progresivo, é dicir, o que permita descubrir feitos novos e inesperados.^[99]
• Cuasi-empirismo de Putman: Hilary Putnam parte das teses quineanas sobre o holismo das teorías e a naturalización da epistemoloxía, mais tamén, como o seu mestre Reichenbach, do impacto da física moderna na nosa concepción da ciencia e da realidade. Nas matemáticas, segundo Putnam, hai un xogo entre postulación, probas informais ou cuasi-empíricas e revolución conceptual. Putnam recoñece que as matemáticas non son ciencias experimentais e que son máis a priori que, por exemplo, a física, en cambio sinala que a distinción entre a priori e a posteriori é máis ben relativa: que algo sexa a priori significa, simplemente, que ten un papel fundamental na nosa concepción do mundo ou na nosa forma de vida e que, polo tanto, non estamos dispostos a renunciar a iso. Concretamente, a teoría de conxuntos é indispensable para a física e por iso, as entidades sobre as que cuantifica, a saber, os conxuntos, deben ser considerados como reais, pois non se pode aceptar o coñecemento que proporciona a física sen aceptar ditas entidades ou, mellor dito, ao aceptar o coñecemento da física, xa se aceptou, implicitamente, a teoría de conxuntos. Así, as matemáticas comparten o contido empírico coas teorías físicas das que forman parte e modifícanse xunto con ellas.

Psicoloxismo

O psicoloxismo na filosofía das matemáticas é a posición en que os conceptos e / ou verdades matemáticas se basean en feitos (ou leis) psicolóxicos ou derívanse deles ou explícanse por eles. John Stuart Mill parece que foi un defensor dun tipo de psicoloxismo lóxico, ao igual que moitos lóxicos alemáns do século XIX como Christoph Sigwart e Johann Eduard Erdmann, así como unha serie de psicólogos, por exemplo, Gustave Le Bon.^[100]

Gottlob Frege criticou o psicoloxismo nos seus Fundamentos da aritmética e en moitas das súas obras e ensaios, incluída a súa revisión da Filosofía da aritmética de Husserl. Edmund Husserl, no primeiro volume das súas Investigacións lóxicas, chamado "Prolegómenos á lóxica pura", criticou a fondo o psicoloxismo e procurou distanciarse del. O psicoloxismo tamén foi criticado por Charles Sanders Peirce e Maurice Merleau-Ponty. Non obstante, modernas revisións acusaron as críticas de Frege e Husserl de cometer peticións de principio, ademais de criticar as opinións de ambos sobre a natureza das leis lóxicas, especialmente que sexan necesarias e únicas, xa examinados nos artigos de Quine, que pediu un famoso regreso ao psicoloxismo.^[100]

Notas

1. Natura é a tradución latina da palabra grega physis (φύσις), que no seu significado orixinal gacía referencia á forma innata en que medran espontaneamente plantas e animais. Véxase: Physical. En lingua alemá o vocábulo "natureza" provén de naturist, que significa "o curso dos animais, carácter natural". Véxase: Nature
2. Horsten, Leon, Philosophy of Mathematics, The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Summer 2012 Edition), Edward N. Zalta (ed.)
3. "Jeremy Avigad". Consultado o 4 de abril de 2017.
4. Bertrand Russell: Introduction to Mathematical Philosophy chap 1
5. I Lakatos: “Infinite regress and foundations of mathematics” en Mathematics, science and epistemology Cambridge U Press, 1978, p. 4
6. Por exemplo: Iván Pedro Guevara V (2008): "A filosofía considerou sempre a matemática como un dos obxectos principais das súas investigacións,.. " en La filosofía de la matemática: la razón de ser del número^{[Ligazón morta]}. Diego Fusaro: "Sempre hai unha relación inseparable entre a matemática e a filosofía." en IL RAPPORTO FILOSOFIA - MATEMATICA (en italiano no orixinal)
7. M de Guzmán: Filosofía e matemáticas Arquivado 02 de abril de 2015 en Wayback Machine.
8. Adianez Fernández Bermúdez: Unha visión da ciencia e a súa relación coa ética, en Mario Bunge
9. R Gauss: frases célebres de ou sobre Carl Friedrich Gauss.
10. "El sentido das matemáticas na filosofía de Platón". Arquivado dende o orixinal o 11 de maio de 2013. Consultado o 4 de abril de 2017.
11. José Luis Gómez Pardo: “Observaciones sobre la naturaleza de la Matemática”, en Luis Puelles et al. (Wenceslao J. González edt) (1988): Aspectos Metodolóxicos de la Investigación Científica: Un Enfoque Multidisciplinar páx. 127
12. Davies, Paul. "Is nature mathematical?". New Scientist (en inglés). Consultado o 21 de agosto de 2020.
13. JAVIER DE LORENZO: "La matemática: de sus fundamentos y crisis"- Tecnos, Madrid
14. "SIGLO XX: CRISIS nos FUNDAMENTOS". Arquivado dende o orixinal o 17 de setembro de 2016. Consultado o 4 de abril de 2017.
15. JOSÉ M. FERREIRÓS: The Crisis in the Foundations of Mathematics Arquivado 09 de xaneiro de 2021 en Wayback Machine. (en Princeton Companion to Mathematics Proof)
16. "A Timeline for the Foundational Crisis and the Vienna Circle" (PDF). Arquivado dende o orixinal (PDF) o 04 de marzo de 2016. Consultado o 4 de abril de 2017.
17. Herman Weyl On the New Foundational Crisis in Mathematics
18. Mario O. González (1950): La crisis actual de los fundamentos de la Matemática
19. Harada, Eduardo. "El cuasi-empirismo en la filosofía de las matemáticas".
20. José Luis Gómez Pardo: “Observaciones sobre la naturaleza de la Matemática”, en Luis Puelles et al. (Wenceslao J. González edt) (1988): Aspectos Metodológicos de la Investigación Científica: Un Enfoque Multidisciplinar páx. 125- 156:
21. Encyclopedia Britanica:
22. Por exemplo: Ulrich Majer (2004): Husserl Between Frege’s Logicism And Hilbert’s Formalism
23. Ernst Snapper (1979); The Three Crisis in Mathematics: Logicism, formalism and Intuitionism Arquivado 15 de agosto de 2012 en Wayback Machine.
24. Lindström, S.; Palmgren, E.; Segerberg, K.; Stoltenberg-Hansen, V. (Eds.) (2009): Logicism, Intuitionism, and Formalism: What Has Become of Them?
25. Ferran Mir Sabaté (2006): As discusións posteriores sobre a filosofía matemática (a metamatemática) ilustrarán as distintas concepcións da disciplina. Durante os anos vinte desenvolverase un fonfo debate sobre as bases das matemáticas que, a pesar do seu pechamento aparente, continúa vixente nos nosos días. En La polémica intuicionismo formalismo en los años 20. Cuaderno de Materiales. Num. 23 (2011). ISSN 1139-4382. Páxinas 557-574.
26. Por exemplo: Edward Nelson (2006): Warning Signs of a Possible Collapse of Contemporary Mathematics
27. Por exemplo: Alex Levine: Conjoining Mathematical Empiricism with Mathematical Realism: Maddy's Account of Set Perception Revisited en Synthese.- Vol. 145, No. 3 (xullo de 2005), pp. 425-448
28. Guillermo Mattei Irrazonable eficacia da matemática. Tamén Eugene Paul Wigner: The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences Arquivado 28 de febreiro de 2011 en Wayback Machine.

29. A. Se Deus non existir, a aplicabilidade das matemáticas sería só unha feliz coincidencia.
    B. A aplicabilidade das matemáticas non é só unha feliz coincidencia.
    C. polo tanto, Deus existe.

    A. If God did not exist, the applicability of mathematics would be just a happy coincidence.
    B. The applicability of mathematics is not just a happy coincidence.
    C. Therefore, God exists.

    William Lane Craig

    En: Argumento teleolóxico
30. A Mathematician’s Apology
31. Citas
32. S, F. (xaneiro de 1941). "A Mathematician's Apology". Nature 147 (3714): 3–5. doi:10.1038/147003a0.
33. P Maddy, citada por Luis Miguel Ángel Cano P (2003) en Frege y la nueva lógica. «O realismo, polo tanto, é o punto de vista que sostén que a matemática é a ciencia dos números, conxuntos, funcións etc., tal e como a física é o estudo dos obxectos físicos ordinarios, corpos astronómicos e partículas subatómicas entre outros. Isto é, a matemática trata sobre eses obxectos, e é o modo en que tales obxectos son o que fai os enunciados da matemática verdadeiros ou falsos.»
34. Internet Enciclopedia of Philosophy: Mathematical Platonism «Calquera explicación metafísica das matemáticas que implica que as entidades matemáticas existen, que son abstractos, e que son independentes de todas as nosas actividades racionais.»
35. Franklin, James (2014), "An Aristotelian Realist Philosophy of Mathematics", Palgrave Macmillan, Basingstoke; Franklin, James (2011), "Aristotelianism in the philosophy of mathematics," Studia Neoaristotelica 8, 3-15.
36. Martí Sánchez, Miguel; Martí Sánchez, Miguel (2017-6). "La filosofía das matemáticas de Aristóteles". Tópicos (México) (52): 43–66. ISSN 0188-6649. doi:10.21555/top.v0i52.784. Consultado o 15 de xullo de 2019.
37. Copleston, Frederick. Historia de la filosofía I (PDF). LIBER. p. 269.
38. Humphreys, Justin. "Aristotle". Internet Encyclopedia of Philosophy.
39. "El problema dos universais". www.filosofia.net. Seminario de Filosofía INBAD, Servicio de Publicacións do MEC, Madrid, 1985. Consultado o 17 de outubro de 2019.
40. García Buitrago, Néstor. "SI YO FUERA MAESTRO" (PDF): 401. Archived from the original on 09 de marzo de 2012. Consultado o 19 de decembro de 2020.
41. "Nominalismo, Realismo, Conceptualismo - Enciclopedia Católica". ec.aciprensa.com. Consultado o 19 de agosto de 2019.
42. "Realismo - Encyclopaedia Herder". encyclopaedia.herdereditorial.com (en castelán). Consultado o 4 de novembro de 2019.
43. "Aristotle | Internet Encyclopedia of Philosophy". www.iep.utm.edu. Consultado o 3 de marzo de 2020.
44. Franklin, James (2011). Studia Neoaristotelica, ed. An Aristotelian Realist Philosophy of Mathematics. UNSW Sydney: Palgrave Macmillan UK. ISBN 978-1-349-48618-2. doi:10.5840/studneoar2011811. Consultado o 3 de marzo de 2020.
45. Poli, Roberto; Scognamiglio, Carlo; Tremblay, Frederic (27 de outubro de 2011). The Philosophy of Nicolai Hartmann (en inglés). Walter de Gruyter. ISBN 978-3-11-025418-1. Consultado o 3 de marzo de 2020.
46. Park, Woosuk (12 de xullo de 2018). Philosophy's Loss of Logic to Mathematics: An Inadequately Understood Take-Over (en inglés). Springer. p. 166. ISBN 978-3-319-95147-8. Consultado o 3 de marzo de 2020.
47. Tait, W. & Mayberry, J.. (2002). The Foundations of Mathematics in the Theory of Sets. The Bulletin of Symbolic Logic. 8. 424. 10.2307/3062207.
48. Para unha profundización, Douglas Patterson: "Introdución" en New Essays on Tarski and Philosophy; P. M. S Hacker: "On Carnap's Elimination of Metaphysics" en Wittgenstein: Connections and Controversies etc
49. "Formalismo, I. Filosofía".^{[Ligazón morta]}
50. Ángel Ruiz Z 26.3 El formalismo (en Historia y filosofía de las matemáticas)
51. Jean-Paul Collette (1993): Historia das matemáticas, volume 2 p 577 e seguintes
52. Diego Pareja H (2008): "o concepto moderno de formalismo que inclúe as técnicas do razoamento finitista debemos atribuírllo a Hilbert e aos seus discípulos". En 5. 8 – David Hilbert y el formalismo. Razoamentos finistas son aqueles "razoamentos absolutamente seguros e libres de calquera clase de sospeita".
53. Ferran Mir S (2006): "A coñecida intervención de David Hilbert (1862-1943) no Congreso Internacional de París de 1900, en que formulou os 23 problemas matemáticos para resolver durante o século XX, ía moito máis aló da simple relación de devanditos problemas. A convición claramente expresada por Hilbert de que todo problema ten que tener a súa solución baseada na pura razón [6, Pags. 125 e ss.]: "Nas matemáticas non existe o ignorabimus". Un ano antes, Hilbert publicara o seu Grundlagen der Geometrie, en que establecía os axiomas a partir dos cales podía desenvolverse, mediante pura dedución, toda a disciplina en todas as súas variantes, tanto euclidianas como non euclidianas. Mediante este ideal axiomático podía construír un raciocinio sobre obxectos que non precisaba definir; ao contrario de Euclides que precisara dunha definición (intuitiva) dos obxectos básicos (punto, liña, plano…). O feito de prescindir das definicións dos obxectos básicos, fai que se lle reprochase a redución das matemáticas ao estudo das simples relacións entre obxectos abstractos: un puro xogo con símbolos. A combinación do ideal axiomático coa convición de que todo problema debe ter solución, conducirá nos anos sucesivos á idea de completude do sistema axiomático. Nos primeiros anos do século XX, esta idea é aínda vaga [13, páxina 151], mais está claro que Hilbert considera que dende un reducido grupo de axiomas poden derivarse a totalidade dos teoremas aceptados nas matemáticas ordinarias. Tamén está presente a idea de simplicidade: o conxunto de axiomas ten que ser o máis reducido posible e deben ser independentes uns doutros". En La polémica intuicionismo formalismo en los años 20.
54. Pedro Angulo L (2010): Epistemología de la matemática. Caso: formalismo^{[Ligazón morta]}
55. Aroca, José Manuel El progreso de la matemática en los últimos 25 años
56. Ian J. Dove: Na súa forma máis simple o dedutivismo é a visión que a matemática consiste totalmente da derivación de teoremas a partir de axiomas. Nesa visión as únicas verdades en matemáticas son verdades condicionais da forma Se (axioma); Entón (teoremas)". en Certainty and Error in Mathematics: Deductivism and the Claims of Mathematical Fallibilism, p 5
57. H Putnam: "non creo que haxa unha crise nas fundacións das matemáticas. En realidade, non creo que a matemática xa sexa ten ou necesita "fundacións" en "Mathematics without foundations"
58. H Putnam: "Porque a nosa convición intuitiva que certos tipos de estruturas finitas poderían (énfase de Putnam) existir teñen un papel esencial na aplicación das matemáticas. É unha parte, e unha parte importante, da pintura matemática total que certos conxuntos de axiomas son asumidos como representando estruturas presumiblemente posibles. .... Así, hai cuestións que permanecen irreduciblemente como un asunto da filosofía das matemáticas sobre a "filosofía da lóxica": o asunto de iluminar e clarificar a nosa aceptación de estruturas matemáticas como "presumiblemente posibles", ou de conxuntos de axiomas matemáticos como "presumiblemente consistentes..." The Thesis that Mathematics is Logic, conclusión (p 41-42)
59. Heinzmann, Gerhard; Stump, David (2017). Zalta, Edward N., ed. Henri Poincaré (Winter 2017 ed.). The Stanford Encyclopedia of Philosophy. Consultado o 26 de agosto de 2020.
60. Iemhoff, Rosalie, Intuitionism in the Philosophy of Mathematics, The Stanford Encyclopedia of Philosophy (outono de 2012), Edward N. Zalta (ed.), forthcoming URL = <http://plato.stanford.edu/archives/fall2012/entries/intuitionism/>
61. van Atten, Mark: "Sobre a base da súa filosofía da mente, en que Kant e Schopenhauer foron as principais influencias, Brouwer caracteriza principalmente as matemáticas como a libre actividade do pensamento exacto, unha actividade que se basea na intuición pura do tempo (interior). Ningún reino independente dos obxectos e a linguaxa teñen algún papel fundamental. Deste xeito esforzouse por evitar a Escila do platonismo (cos seus problemas epistemolóxico) e o Caribdis do formalismo (coa súa pobreza de contido). Dado que, en vista de Brouwer, non hai factor determinante da verdade matemática fóra da actividade de pensar, unha proposición só se fai realidade cando o suxeito experimentou a súa verdade (porque levou a cabo unha construción mental axeitada), de maneira similar, unha proposición só é falsa cando o suxeito experimentou a súa falsidade (por darse de conta de que unha construción mental axeitada non é posible). Polo tanto Brouwer pode afirmar que "non hai verdades sen experiencia" (Brouwer, 1975, páx. 488). En "3. Brief Characterization of Brouwer's Intuitionism" en Luitzen Egbertus Jan Brouwer
62. Carlos Torres A: "O intuicionismo foi a resposta de Brouwer ao loxicismo de Russell, á matemática non construtiva e aos paradoxos, e apóiase en tres teses radicais: i) os obxectos matemáticos constrúense directamente na intuición pura, sendo por iso previos á linguaxe e á lóxica; ii) as leis que rexen o comportamento de ditos obxectos derivan da súa construción, non da lóxica, como pretenden Frege, Russell e os loxicistas e iii) na matemática non é admisible ningunha teoría que rebase o marco do dable na intuición, como sosteñen Hilbert e os cantorianos". En KANT VISTO dende as MATEMÁTICAS revista unam vol.6/num 1 (2005) sección “El intuicionismo de Brouwer”, pp 15-19
63. L. E. J. Brouwer (1913): INTUITIONISM AND FORMALISM Bull. Amer. Math. Soc. 20 (2): 81–96. MR 1559427.
64. DIEGO PAREJA HEREDIA: "Para os intuicionistas as bases das matemáticas estaban na explicación da orixe, ou a esencia dos números naturais 1, 2, 3,... Para a filosofía intuicionista, todo ser humano ten unha intuición conxénita en relación cos números naturais. Isto significa en primeiro lugar que temos unha certeza inmediata do que significamos co número “1”, e en segundo lugar, que o proceso mental que orixinou o número 1 pode repetirse. A repetición deste proceso, induce a creación do número 2, unha nova repetición e aparece o número 3. Nesta forma, o ser humano pode construír calquera segmento inicial 1, 2, 3,..., n, onde n é un natural arbitrario. Esta construción mental dun número natural tras outro, nunca podería darse, de non termos dentro de nós, unha preconcepción do tempo. Cando afirmamos “2 vai despois de 1”, o vocábulo “despois” ten unha connotación de tempo, e nese aspecto Brouwer adhírese ao filósofo Immanuel Kant, para quen a mente humana ten unha apreciación inmediata da noción de tempo. Kant empregou a palabra “intuición” para “apreciación inmediata”, e é de alí de onde provén a expresión “intuicionismo”". En 5.7 – Brouwer, Heyting y el Intuicionismo.
65. A "intuición" á que se fai referencia ten un sentido máis ben especializado: Miguel Espinoza: "Suponse que un coñecemento intuitivo non ocorre en etapas, non é gradual como unha inferencia, como o coñecemento que presupón a linguaxe, como a aplicación dun algoritmo. Digo "suponse" porque a inmidiatez podería ser unha ilusión. Que a conciencia sexa incapaz de seguir os diferentes pasos do cerebro non significa que bioloxicamente haxa tamén inmediatez. A rapidez dun computador non implica intuición. Ás veces nas matemáticas enténdese tamén por intuición as operacións de cálculo ou o que chega a entenderse facilmente. Na intuición, o aprehendido e a operación da mente forman un só proceso, teñen unha soa forma, por iso non se formula o problema da verdade-adecuacion. Para preguntarnos se o que pensamos corresponde ou non a algo externo ao pensamento, é necesario que o intelecto e a cousa estean separados. Isto non ocorre na intuición. É etnón a falta de distinción suxeito-obxecto, a inmediatez atribuida á intuición que deu aos intuicionistas a confianza neste modo de coñecemento. Toda inferencia debe estar baseada finalmente en verdades intuitivas", en Intuicionismo e obxectividad p 101-102
66. J. BARRIO GUTIÉRREZ: "Intuicionismo matemático. Unha das corrientes matemáticas de máis fecundidade no momento actual é o chamado Intuicionismo matemático. En oposición ao formalismo de Hilbert (v.), foi creado por L. Brouwer (v.) sobre a base de anteriores ideas defendidas por L. Kronecker. A tese fundamental deste (intuicionismo) é a afirmación de que a Matemática (v.) está constituída exclusivamente por un conxunto de entes construídos intuitivamente polo matemático, sobre os que se continuarán a construír outros mediante un sistema operacional claro, preciso e fecundo". en INTUICIONISMO
67. De acordo a Brouwer "un ente só existe se pode ser construído a partir da intuición primordial". Brouwer, citado por Espinoza en Intuicionismo y objetividad p 110.
68. Dick de Jongh: Intuicionismo
69. Ferran Mir Sabaté (2006): La polémica intuicionismo formalismo en los años 20. El Principio de Tercio Excluso.
70. A. N. Kolmogorov: "On the principle of excluded middle", pp. 414–437.
71. Jorge Alberto Molina (2008): Negación y Doble Negación en el Intuicionismo de Brouwer Arquivado 04 de marzo de 2016 en Wayback Machine.
72. SEP: 2.2 Intuitionism
73. Miguel Espinoza (2003): Intuicionismo y Objetividad (Thémata, Nro 30) p 111 -112 e 103-106
74. Esta concepción baséase, de acordo a Angela Patricia Valencia Salas; Angela Patricia Franco Urián en "o uso da noción do tempo como base primordial da súa elaboración do continuo. O tempo é o único elemento “a priori” do continuo. Este baséase no que Brouwer denomina “intuición primordial ou primixenia”, que consiste na capacidade de conciencia da relación entre antes-despois, pasado-presente, como unidade do continuo e o discreto, a posibilidade de pensar á vez en singularidades unidas por un "entre" que nunca se esgota por inserción de novas singularidades, polo tanto é imposible tomar algún deles como autosuficiente construír o outro a partir de aí. Zalamea (2001) menciona que un dos trazos que caracteriza a idea dun continuo sintético é a xenericidade, que refire ao non particularizante, á iniciación dun grande espazo de posibilidades non actualizadas nin determinadas e isto obsérvase en Brouwer tomando como base a súa Intuición Primixenia". En Sobre una construcción alternativa al continuo de Cantor: el continuo intuicionista Arquivado 05 de marzo de 2016 en Wayback Machine.
75. Abraham Adolf Fraenkel, Yehoshua Bar-Hillel, Azriel Lévy (1973): Foundations of set theory p 259
76. L. E. J. Brouwer, citado por D. P HEREDIA 5.7 – Brouwer, Heyting y el Intuicionismo.
77. Michel Bordeau: El Error de Cantor en Jorge Martínez Contreras, Aura Ponce de León, Luis Villoro: El saber filosófico esp pp 396- 405
78. Abraham Adolf Fraenkel, Yehoshua Bar-Hillel, Azriel Lévy (1973): Foundations of set theory pp 252-264: "The Primordial intution of integer: Choice sequences and Brouwer's concept of set
79. van Atten, Mark: "Os teoremas fundamentais da análise intuicionista (o teorema da barra, o teorema do abano e o teorema da continuidade) atópanse en "Sobre os dominios de definición das funcións" (Brouwer, 1927). Os dous primeiros son teoremas estructurais sobre os diferenciais, e o terceiro (que non debe confundirse co principio de continuidade para as secuencias de escolla) establece que cada función total [0,1] → ℝ é continua e mesmo uniformemente continua. O teorema do abano é, de feito, un corolario do teorema da barra; combinado co principio de continuidade, que non é válido clasicamente, produce o teorema da continuidade, que tampouco é clasicamente válido. Os teoremas das barras e o abano son, por outra banda, clasicamente válido, aínda que as probas clásicas e intuicionista para eles non son intercambiables. As probas clásicas non son “intuicionisticamente” aceptables debido á manera en que depender de PEM, as probas intuicionistas non son clasicamente aceptables porque dependen da reflexión sobre a estrutura das probas mentais. Nesta reflexión, Brouwer introduciu a noción da forma dunha proba con "análise completa" ou "canónica", que sería adoptada máis tarde por Martin-Löf e por Dummett. Nunha nota ao pé, Brouwer menciona que tales probas, que el identifica cos obxectos mentais na mente do suxeito, adoitan ser infinitas". En 4. Brouwer's Development of Intuitionism en Luitzen Egbertus Jan Brouwer
80. Win Veldman: "Some applications of Brouwers Thesis on Bars, en One Hundred Years of Intuitionism (1907-2007): The Cerisy Conference pp 326 e seguintes (esp p 330)
81. THIERRY COQUAND (2003): About Brouwer's fan theorem
82. Para unha visión mas profunda destes desenvolvementos, A.G. Dragalin (originator) Intuitionism. En Encyclopedia of Mathematics.
83. Gustavo Fernández D: Desarrollos posteriores de intuicionismo y constructivismo p 102 e seguintes
84. From an 1886 lecture at the 'Berliner Naturforscher-Versammlung', according to H. M. Weber's memorial article, as quoted and translated in Gonzalez Cabillon, Julio (3 de febreiro de 2000). "FOM: What were Kronecker's f.o.m.?". Consultado o 19 de xullo de 2008. Gonzalez gives as the sources for the memorial article, the following: Weber, H: "Leopold Kronecker", Jahresberichte der Deutschen Mathematiker Vereinigung, vol ii (1893), pp. 5-31. Cf. page 19. See also Mathematische Annalen vol. xliii (1893), pp. 1-25.
85. Balaguer, Mark (outono de 2018). Zalta, Edward N., ed. The Stanford Encyclopedia of Philosophy. Metaphysics Research Lab, Stanford University. Consultado o 9 de xullo de 2019.
86. Para unha visión xeral do empirismo matemático, David Bostock (2009): "Empiricism in the Philosophy of Mathematics" en D. M. Gabbay; P. Thagard; J. Woods (edtrs): Philosophy of Mathematics p 157- 230
87. J. S. Mill: "A matemática é a ciencia empírica de validez máis xeral".- Citado por Mario A. Natiello en Los fundamentos de la matemática y los teoremas de Gödel Arquivado 11 de outubro de 2010 en Wayback Machine..- Véxase tamén J. S. Mill: System of logic, vol 2, libro III, cap XXIV, punto 4, p 162 etc
88. Dummett 1998, pp. 125-126
89. "IV.3. JOHN STUART MILL". bibliotecadigital.ilce.edu.mx. Consultado o 18 de agosto de 2018.
90. The foundations of arithmetic; a logico-mathematical enquiry into the concept of number (2nd ed.). Evanston, Illinois: Northwestern University Press. 1980. ISBN 0810106051. OCLC 650.
91. P Kitcher: The Nature of Mathematical Knowledge, p 4 (introdución)
92. S. Körner, (1965): "An Empiricist Justification of Mathematics", en Yehoshua Bar-Hillel (ed.), "Logic, Methodology and Philosophy of Science". Amsterdam: North Holland, 1965, pp. 222-227. (actas de "International Congress of Logic, Methodology and Philosophy of Science", 1964)
93. L Kalmár (1967): "Foundations of mathematics - Whither now?" en I. Lakatos (ed.). "Problems in the Philosophy of Mathematics" Amsterdam: North-Holland, 1967, pp. 192-193. (Proceedings of the Colloquium in the Philosophy of Science, Londres, 1965.)
94. Na lóxica escolástica, un termo sincategoremático (sincategorema) é unha palabra que non pode servir como o suxeito ou o predicado dunha proposición, e polo tanto non pode representar ningunha das categorías de Aristóteles, mais pódese utilizar con outros termos para formar unha proposición. Palabras como todo, e, se son exemplos de tales termos.
95. Patrick Peccatte (1998): Quasi-empiricism and anti-foundationalism
96. P Kitcher (1983) The Nature of Mathematical Knowledge (Oxford University Press)
97. C. E. Behrens (2012): Empiricism: An Environment for Humanist Mathematics
98. I. Lakatos (1976): A Renaissance of Empiricism in the Recent Philosophy of Mathematics Arquivado 22 de agosto de 2016 en Wayback Machine.
99. Eduardo Harada (2005): o cuasi-empirismo na filosofía das matemáticas^{[Ligazón morta]} p 18
100. Kusch, Martin (2020). Zalta, Edward N., ed. Psychologism (primavera de 2020 ed.). The Stanford Encyclopedia of Philosophy. Consultado o 26 de agosto de 2020.

Véxase tamén

• Filosofía da ciencia

Bibliografía

• Cañón L; Camino (1993): La matemática: creación y descubrimiento
• Collette; Jean-Paul (1993): Historia de las matemáticas, volume 2
• Davis; Philip J. e Hersh; Reuben (1981): Experiencia matemática (Introducción general no técnica)
• Dummett, Michael (1998), "The Philosophy of Mathematics" en Grayling, A. C. (ed.)Philosophy 2: Further Through The Subject, Oxford University Press, 1998.
• Gabbay;D. M.- Thagard; P.- Woods; J. (edts): Philosophy of Mathematics
• George; Alexander - Velleman; Daniel (2001) Philosophies of Mathematics
• Kline; Morris (1980): Mathematics: The Loss of Certainty
• Kline; Morris: Matemáticas. La pérdida de la certidumbre. Siglo XXI España 1985 (1a Ed.), México 2000 (5a Ed.)
• Körner, Stephan (1968), Introducción a la filosofía de la matemática, Editorial Siglo XXI, 1968
• Lakatos, Imre. (1978 / 1986) Pruebas y Refutaciones: La Lógica Del Descubrimiento Matemático.- Alianza Universidad
• Lakatos, Imre. "La metodología de los Programas de investigación científica". Alianza. Madrid. 1993.
• Lorenzo, Javier. de: La matemática: de sus fundamentos y crisis. Tecnos, Madrid.
• Lorenzo, J. de (1992), Kant y la matemática. El uso constructivo de la razón pura, Editorial Tecnos, 1992
• Maza Gómez, C. (2008), Matemáticas en la antigüedad
• Macbeth; Danielle: Logic and the Foundations of Mathematics
• Shabel, Lisa (1997), Mathematics in Kant’s Critical Philosophy. Reflections on Mathematical Practice, Londres: Routledge, 2003
• Shapiro; Stewart (1997). Philosophy of Mathematics: Structure and Ontology. Oxford University Press.
• Shapiro, Stewart (2000). Thinking about Mathematics: The Philosophy of Mathematics. Oxford University Press.
• Shapiro; Stewart (Edtr -2005): The Oxford Handbook of Philosophy of Mathematics and Logic
• Solís, Carlos e Sellés, Manuel (2005), Historia de la ciencia, Editorial Espasa, 2005
• Zalamea, Fernando (2009), Filosofía sintética de las matemáticas contemporáneas, Editorial Universidad Nacional de Colombia

Ligazóns externas

• Loxicismo, en PhilPapers
• Formalismo, en PhilPapers
• Intuitionismo e construtivismo, en PhilPapers
• Estruturalismo, en PhilPapers