Teorema do binomio

En álxebra elemental, o teorema do binomio (ou expansión binomial) describe a expansión alxébrica das potencias dun binomio. Segundo o teorema, é posible expandir o polinomio (x + y)ⁿ nunha suma que implique termos da forma ax^by^c, onde os expoñentes b e c son enteiros non negativos con b + c = n e o coeficiente a de cada termo é un número enteiro positivo específico que depende de n e b . Por exemplo, para n = 4,$${\displaystyle (x+y)^{4}=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4}.}$$O coeficiente a no termo de ax^by^c coñécese como coeficiente binomial ${\displaystyle {\tbinom {n}{b}}}$ ou ${\displaystyle {\tbinom {n}{c}}}$ (os dous teñen o mesmo valor). Estes coeficientes para variar n e b pódense ordenar para formar o triángulo de Pascal. Estes números tamén aparecen en combinatoria, onde ${\displaystyle {\tbinom {n}{b}}}$ dá o número de combinacións diferentes (é dicir, subconxuntos) de b elementos que se poden escoller entre un conxunto de n elementos, e de aí podemos ler "n sobre b" ou "n en b".

${\displaystyle {\begin{array}{c}1\\1\quad 1\\1\quad 2\quad 1\\1\quad 3\quad 3\quad 1\\1\quad 4\quad 6\quad 4\quad 1\\1\quad 5\quad 10\quad 10\quad 5\quad 1\\1\quad 6\quad 15\quad 20\quad 15\quad 6\quad 1\\1\quad 7\quad 21\quad 35\quad 35\quad 21\quad 7\quad 1\end{array}}}$

O coeficiente binomial ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$ aparece como a entrada k-ésima na n-ésima fila do triángulo de Pascal (onde a fila superior é a fila 0, ${\displaystyle {\tbinom {0}{0}}=1}$). Cada entrada é a suma das dúas superiores.

Teorema

Segundo o teorema, a expansión de calquera potencia enteira non negativa n do binomio x + y é unha suma da forma$${\displaystyle (x+y)^{n}={n \choose 0}x^{n}y^{0}+{n \choose 1}x^{n-1}y^{1}+{n \choose 2}x^{n-2}y^{2}+\cdots +{n \choose n-1}x^{1}y^{n-1}+{n \choose n}x^{0}y^{n},}$$onde cada un ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$ é un número enteiro positivo coñecido como coeficiente binomial, definido como$${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!\,(n-k)!}}={\frac {n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{k(k-1)(k-2)\cdots 2\cdot 1}}.}$$Usando o sumatorio, pódese escribir de forma máis concisa como$${\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}y^{n-k}.}$$Para o binomio con resta temos alternancia no signo de cada termo: $${\displaystyle (x-y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}.}$$

Unha variante simple da fórmula binomial obtense substituíndo 1 por y, de xeito que só implica unha única variábel:$${\displaystyle {\begin{aligned}(1+x)^{n}&={n \choose 0}x^{0}+{n \choose 1}x^{1}+{n \choose 2}x^{2}+\cdots +{n \choose {n-1}}x^{n-1}+{n \choose n}x^{n}\\[4mu]&=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}.{\vphantom {\Bigg )}}\end{aligned}}}$$

Exemplos

Aquí vemos os primeiros casos do teorema binomial:$${\displaystyle {\begin{aligned}(x+y)^{0}&=1,\\[8pt](x+y)^{1}&=x+y,\\[8pt](x+y)^{2}&=x^{2}+2xy+y^{2},\\[8pt](x+y)^{3}&=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3},\\[8pt](x+y)^{4}&=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4},\\[8pt](x+y)^{5}&=x^{5}+5x^{4}y+10x^{3}y^{2}+10x^{2}y^{3}+5xy^{4}+y^{5},\\[8pt](x+y)^{6}&=x^{6}+6x^{5}y+15x^{4}y^{2}+20x^{3}y^{3}+15x^{2}y^{4}+6xy^{5}+y^{6},\\[8pt](x+y)^{7}&=x^{7}+7x^{6}y+21x^{5}y^{2}+35x^{4}y^{3}+35x^{3}y^{4}+21x^{2}y^{5}+7xy^{6}+y^{7},\\[8pt](x+y)^{8}&=x^{8}+8x^{7}y+28x^{6}y^{2}+56x^{5}y^{3}+70x^{4}y^{4}+56x^{3}y^{5}+28x^{2}y^{6}+8xy^{7}+y^{8}.\end{aligned}}}$$

• os expoñentes de x nos termos son n, n − 1, ..., 2, 1, 0 n, n − 1, ..., 2, 1, 0 (o último termo contén implicitamente x⁰ = 1 );
• os expoñentes de y nos termos son 0, 1, 2, ..., n − 1, n 0, 1, 2, ..., n − 1, n (o primeiro termo contén implicitamente y⁰ = 1 );
• os coeficientes forman a n ésima fila do triángulo de Pascal;
• hai n + 1 termos, e os seus coeficientes suman 2ⁿ .

Coeficientes binomiais

Artigo principal: Coeficiente binomial.

Os coeficientes que aparecen na expansión binomial chámanse coeficientes binomiais . Estes adoitan escribirse ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}},}$ e pódese ler como "n sobre k", combinacións de n elementos tomados en grupos de k elementos.

O coeficiente de x^n−ky^k vén dado pola fórmula$${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!\;(n-k)!}}.}$$ O coeficiente binomial ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$ pódese interpretar como o número de formas de escoller k elementos dun conxunto de n elementos.

Xeneralizacións

Teorema binomial xeneralizado de Newton

Artigo principal: Serie binomial.

Isaac Newton xeneralizou a fórmula para exponentes reais, considerando unha serie infinita:

${\displaystyle {(x+y)^{r}=\sum _{k=0}^{\infty }{r \choose k}x^{r-k}y^{k}}}$

onde ${\displaystyle r}$ pode ser calquera número real e os coeficientes están dados polo produto:

${\displaystyle {r \choose k}={1 \over k!}\prod _{n=0}^{k-1}(r-n)={\frac {r(r-1)(r-2)\cdots (r-k+1)}{k!}}={\frac {r!}{(r-k)!k!}}}$

Expresado co símbolo de Pochhammer: $${\displaystyle {r \choose k}={\frac {r^{\underline {k}}}{k!}}}$$.

Estas fórmulas converxen e a igualdade é certa sempre que os números reais ou complexos ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ sexan suficientemente próximos, no sentido de que ${\displaystyle x>y}$ e o valor absoluto de ${\displaystyle {\Big |}{\frac {x}{y}}{\Big |}}$ sexa menor que 1.

A expansión para a potencia recíproca é a seguinte:

${\displaystyle {\frac {1}{(1-x)^{r}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{r+k-1 \choose k}x^{k}}$

Exemplos (lembrando que ${\displaystyle |x|<1}$):

$${\displaystyle {\sqrt {1+x}}=1+{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}+{\frac {1}{16}}x^{3}-{\frac {5}{128}}x^{4}+{\frac {7}{256}}x^{5}-\cdots .}$$

$${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1+x}}}=1-{\frac {1}{2}}x+{\frac {3}{8}}x^{2}-{\frac {5}{16}}x^{3}+{\frac {35}{128}}x^{4}-{\frac {63}{256}}x^{5}+\cdots .}$$

Teorema Multinomial

Artigo principal: Teorema multinomial.

O teorema do binomio pode ser xeneralizado para incluír potencias de sumas de máis de dous termos. En xeral:

${\displaystyle (x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m})^{n}=\sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{m}^{k_{m}}.}$

Nesta fórmula, a suma faise sobre tódolos valores enteiros naturais desde ${\displaystyle k_{1}}$ ata ${\displaystyle k_{m}}$ de tal modo que a suma de todos estes valores sexa igual a ${\displaystyle n}$. Os coeficientes do sumatorio, calcúlanse segundo a fórmula:

${\displaystyle {n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}={\frac {n!}{k_{1}!\cdot k_{2}!\cdots k_{m}!}}.}$

Desde o punto de vista da combinatoria, o coeficiente multinomial conta o número de diferentes maneiras de dividir un conxunto de ${\displaystyle n}$ elementos en subconxuntos disxuntos de tamaños ${\displaystyle k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}$

Teorema multi-binomial

A miúdo é útil, cando se traballa en máis dunha dimensión, usar produtos de expresións binomiais:

${\displaystyle (x_{1}+y_{1})^{n_{1}}\dotsm (x_{d}+y_{d})^{n_{d}}=\sum _{k_{1}=0}^{n_{1}}\dotsm \sum _{k_{d}=0}^{n_{d}}{\binom {n_{1}}{k_{1}}}\,x_{1}^{k_{1}}y_{1}^{n_{1}-k_{1}}\;\dotsc \;{\binom {n_{d}}{k_{d}}}\,x_{d}^{k_{d}}y_{d}^{n_{d}-k_{d}}.}$

A fórmula anterior pode ser escrita usando a notación multi-índice como segue:

${\displaystyle (x+y)^{\alpha }=\sum _{\nu \leq \alpha }{\binom {\alpha }{\nu }}x^{\nu }y^{\alpha -\nu }.}$

Regra xeral de Leibniz

A regra xeral de Leibniz dá a derivada n-ésima dun produto de dúas funcións nunha forma similar á do teorema do binomio: ^[1] $${\displaystyle (fg)^{(n)}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n-k)}(x)g^{(k)}(x).}$$Aquí, o superíndice (n) indica a derivada n-ésima dunha función, ${\displaystyle f^{(n)}(x)={\tfrac {d^{n}}{dx^{n}}}f(x)}$.^[2]

Aplicacións

Identidades de ángulos múltiples

Para os números complexos o teorema binomial pódese combinar coa fórmula de Moivre para obter fórmulas de ángulos múltiples para o seno e o coseno. Segundo a fórmula de De Moivre,$${\displaystyle \cos \left(nx\right)+i\sin \left(nx\right)=\left(\cos x+i\sin x\right)^{n}.}$$e nesa expresión podemos usar o teorema do binomio, por exemplo$${\displaystyle \left(\cos x+i\sin x\right)^{2}=\cos ^{2}x+2i\cos x\sin x-\sin ^{2}x=(\cos ^{2}x-\sin ^{2}x)+i(2\cos x\sin x),}$$Mais a fórmula de De Moivre identifica o lado esquerdo con ${\displaystyle (\cos x+i\sin x)^{2}=\cos(2x)+i\sin(2x)}$, así$${\displaystyle \cos(2x)=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x\quad {\text{and}}\quad \sin(2x)=2\cos x\sin x,}$$que son as identidades habituais de ángulo duplo. Do mesmo xeito, xa que$${\displaystyle \left(\cos x+i\sin x\right)^{3}=\cos ^{3}x+3i\cos ^{2}x\sin x-3\cos x\sin ^{2}x-i\sin ^{3}x,}$$A fórmula de De Moivre resulta$${\displaystyle \cos(3x)=\cos ^{3}x-3\cos x\sin ^{2}x\quad {\text{and}}\quad \sin(3x)=3\cos ^{2}x\sin x-\sin ^{3}x.}$$En xeral,$${\displaystyle \cos(nx)=\sum _{k{\text{ par}}}(-1)^{k/2}{n \choose k}\cos ^{n-k}x\sin ^{k}x}$$e$${\displaystyle \sin(nx)=\sum _{k{\text{ impar}}}(-1)^{(k-1)/2}{n \choose k}\cos ^{n-k}x\sin ^{k}x.}$$Tamén hai fórmulas similares usando os polinomios de Chebyshev.

Serie para e

O número e adoita definirse pola fórmula$${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}.}$$Aplicando o teorema binomial a esta expresión obtense a serie infinita usual para e:$${\displaystyle \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}=1+{n \choose 1}{\frac {1}{n}}+{n \choose 2}{\frac {1}{n^{2}}}+{n \choose 3}{\frac {1}{n^{3}}}+\cdots +{n \choose n}{\frac {1}{n^{n}}}.}$$O k-ésimo termo desta suma é$${\displaystyle {n \choose k}{\frac {1}{n^{k}}}={\frac {1}{k!}}\cdot {\frac {n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{n^{k}}}}$$Cando n → ∞, a expresión racional da dereita achégase a 1, e polo tanto$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{n \choose k}{\frac {1}{n^{k}}}={\frac {1}{k!}}.}$$Isto indica que e pódese escribir como unha serie:$${\displaystyle e=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+\cdots .}$$

Probabilidade

O teorema binomial está intimamente relacionado coa función de masa de probabilidade da distribución binomial negativa. A probabilidade dunha colección (contábel) de ensaios Bernoulli independentes ${\displaystyle \{X_{t}\}_{t\in S}}$ con probabilidade de éxito ${\displaystyle p\in [0,1]}$ nos que non aconteza ningún sería

${\displaystyle P\left(\bigcap _{t\in S}X_{t}^{C}\right)=(1-p)^{|S|}=\sum _{n=0}^{|S|}{|S| \choose n}(-p)^{n}.}$

Un límite superior para esta cantidade é ${\displaystyle e^{-p|S|}.}$ ^[3]

En álxebra abstracta

O teorema binomial é válido de xeito máis xeral para dous elementos x e y nun anel, ou mesmo nun semianel, sempre que xy = yx. Por exemplo, vale para dúas matrices n × n, sempre que esas matrices conmuten; isto é útil para calcular as potencias dunha matriz. ^[4]

Notas

1. Olver, Peter J. (2000). Applications of Lie Groups to Differential Equations. Springer. pp. 318–319. ISBN 9780387950006.
2. Spivey, Michael Z. (2019). The Art of Proving Binomial Identities. CRC Press. p. 71. ISBN 978-1351215800.
3. Cover, Thomas M.; Thomas, Joy A. (2001-01-01). Data Compression. John Wiley & Sons, Inc. p. 320. ISBN 9780471200611. doi:10.1002/0471200611.ch5.
4. Artin, Algebra, 2nd edition, Pearson, 2018, equation (4.7.11).

Véxase tamén

Bibliografía

• Bag, Amulya Kumar (1966). Binomial theorem in ancient India. Indian J. History Sci 1. pp. 68–74.
• Graham, Ronald; Knuth, Donald; Patashnik, Oren (1994). "(5) Binomial Coefficients". Concrete Mathematics (2nd ed.). Addison Wesley. pp. 153–256. ISBN 978-0-201-55802-9. OCLC 17649857. Parámetro descoñecido |url-access= ignorado (Axuda)

Outros artigos

• Distribución binomial
• Teorema binomial inverso
• Aproximación de Stirling
• Teorema de Tannery
• Grupo simétrico
• Coeficeinte binomial de Gauss

Ligazóns externas

• Solomentsev, E.D. (2001) [1994]. "Newton binomial". Encyclopedia of Mathematics. EMS Press.
• Binomial Theorem by Stephen Wolfram, and "Binomial Theorem (Step-by-Step)" by Bruce Colletti and Jeff Bryant, Wolfram Demonstrations Project, 2007.