función simple e infinitamente diferenciábel From Wikipedia, the free encyclopedia
Un polinomio é unha expresión matemática formada por indeterminados (tamén chamados variables) e coeficientes, que implica só as operacións de suma, resta, multiplicación e potencias enteiras positivas das variables. Un exemplo de polinomio dun único x indeterminado é x2 − 4x + 7. Un exemplo con tres variables é x3 + 2xyz2 − yz + 1.
A palabra polinomio une dúas raíces diversas: o grego poly, que significa "moitos", e o latín nomen, ou "nome". A palabra polinomio utilizouse por primeira vez no século XVII.
Un polinomio P na variable x denótase comunmente P ou P(x). Cando non é necesario salientar o nome da variable, moitas fórmulas son moito máis sinxelas e de fácil lectura se non aparecen os nomes das variables.
Podemos escribir P(a) para asignar o valor a para a variable x. Ese valor a pode pertencer a calquera dominio onde se definan a suma e a multiplicación (é dicir, calquera anel). En particular, se a é un polinomio, entón P(a) tamén é un polinomio.
Unha expresión polinómica é unha expresión que se pode construír a partir de constantes e símbolos chamados variables ou indeterminados mediante a suma, a multiplicación e a exponenciación a unha potencia enteira non negativa. Normalmente as constantes son números, pero poden ser calquera expresión que non involucre os indeterminados e representen obxectos matemáticos que se poden sumar e multiplicar. Considérase que dúas expresións polinómicas definen o mesmo polinomio se se poden transformar, unha a outra, aplicando as propiedades habituais de conmutividade, asociatividade e distributividade de suma e multiplicación. Por exemplo e son dúas expresións polinómicas que representan o mesmo polinomio; así, un ten a igualdade .
Un polinomio nunha única x indeterminada sempre a pordemos reescribir na formaonde son constantes que se denominan coeficientes do polinomio, e é o indeterminado.[1] Calquera valor pode ser substituído por . A correspondencia que asocia o resultado desta substitución ao valor substituído é unha función, chamada función polinómica.
Isto pódese expresar de forma máis concisa usando a notación de suma:
O expoñente dun indeterminado nun termo chámase grao dese indeterminado nese termo; se hai varios indeterminados o grao do termo é a suma dos graos dos indeterminados nese termo, e o grao dun polinomio é o maior grao de calquera termo con coeficiente distinto de cero.[2] Dado que x = x1, o grao dun indeterminado sen expoñente é un.
Un termo sen indeterminados e un polinomio sen indeterminados chámanse, respectivamente, termo constante e polinomio constante. O grao dun termo constante e dun polinomio constante distinto de cero é 0.
Por exemplo: é un termo con coeficiente -5, indeterminados x e y, o grao de x é 2 e o grao de y é 1, por tanto o grao do termo é 3.
Outro exemplo: consta de tres termos: o primeiro é o grao dous, o segundo é o grao un e o terceiro é o grao cero.
Aos polinomios de pequeno grao déronselles nomes específicos. Un polinomio de grao cero é un polinomio constante, ou simplemente unha constante. Os polinomios de grao un, dous ou tres son respectivamente polinomios lineares, polinomios cadráticos e polinomios cúbicos.[2]
No caso de polinomios en máis dun indeterminado, un polinomio denomínase homoxéneo de grao n se todos os seus termos distintos de cero teñen grao n. Por exemplo, x3y2 + 7x2y3 − 3x5 é homoxéneo de grao 5.
A lei conmutativa da suma pódese usar para reorganizar os termos en calquera orde preferida.
Dous termos cos mesmos indeterminados elevados ás mesmas potencias pódense sumar mediante a lei distributiva, nun único termo cuxo coeficiente é a suma dos coeficientes dos termos sumados. Os polinomios pódense clasificar polo número de termos con coeficientes distintos de cero, de xeito que un polinomio dun termo chámase monomio,[lower-alpha 1] un polinomio de dous termos chámase binomio e un polinomio de tres termos chámase un trinomio.
Un polinomio real é un polinomio con coeficientes reais. Do mesmo xeito, un polinomio enteiro é un polinomio con coeficientes enteiros, e un polinomio complexo é un polinomio con coeficientes complexos .
Un polinomio nun indeterminado chámase polinomio univariado, un polinomio en máis dun indeterminado chámase polinomio multivariado. Un polinomio con dous indeterminados chámase polinomio bivariado.[1]
Os polinomios pódense sumar usando a lei asociativa da suma e reordenando usando a lei conmutativa. [3][4] Por exemplo, se temos Daquela a suma pódese reordenar e reagrupar como E simplificarse finalmente a
Cando se suman polinomios, o resultado é outro polinomio.
A resta faise de modo similar.
Os polinomios tamén se poden multiplicar. Cada termo dun polinomio multiplícase por cada termo do outro.[5] Por exemplo, se temos
daquela operando temosA combinación de termos similares produce
que se pode simplificar a
O produto de polinomios é sempre un polinomio.[6]
Dado un polinomio dunha soa variable e outro polinomio g de calquera número de variables, a composición obtense substituíndo cada copia da variable do primeiro polinomio polo segundo polinomio. [6] Por exemplo, se e entónA composición de dous polinomios é outro polinomio.[7]
Normalemtne a división dun polinomio por outro non é un polinomio. Estas divisións son unha familia máis xeral de obxectos, chamadas fraccións racionais, expresións racionais ou funcións racionais, dependendo do contexto. [8] Isto é análogo ao feito de que a división de dous enteiros é un número racional, non necesariamente un enteiro.[9][10]Por exemplo, a fracción 1/(x2 + 1) non é un polinomio e non se pode escribir como unha suma finita de potencias da variable x.
Con polinomios dunha variable podemos realizar a división de Euclides de polinomios, xeneralizando a división de Euclides de números enteiros. [lower-alpha 2] Esta noción da división a(x)/b(x) dá como resultado dous polinomios, un cociente q(x) e un resto r(x), tal que a = b q + r e grao(r) < grao(b). O cociente e o resto pódense calcular mediante calquera dos varios algoritmos, incluíndo a división polinómica longa e a división sintética.[11]
Cando o denominador b(x) é mónico e tamén linear, é dicir, b(x) = x − c para algunha constante c, entón o teorema do resto polinómico afirma que o resto da división de a(x) por b(x) é a avaliación a(c). [10] Neste caso, o cociente pódese calcular mediante a regra de Ruffini, un caso especial de división sintética.[12]
Todos os polinomios con coeficientes nun dominio de factorización único (por exemplo, os números enteiros ou un corpo) tamén teñen unha forma factorizada na que o polinomio se escribe como un produto de polinomios irredutibles e unha constante. Por exemplo, a forma factorizada deé, no corpo dos enteiros e os reaise nos complexos
Calcular derivadas e integrais de polinomios é particularmente sinxelo, en comparación con outros tipos de funcións. A derivada do polinomio con respecto a x é o polinomio Do mesmo xeito, a integral ou antiderivada xeral de é onde c é unha constante arbitraria. Por exemplo, a integral de x2 + 1 ten a forma 1/3x3 + x + c.
Para polinomios cuxos coeficientes proveñen de configuracións máis abstractas (por exemplo, se os coeficientes son números enteiros módulo algún número primo p, ou elementos dun anel), a fórmula da derivada aínda se pode interpretar formalmente, entendendo que o coeficiente kak significa a suma de k copias de ak. Por exemplo, sobre os números enteiros módulo p, a derivada do polinomio xp + x é o polinomio constante 1.[13]
Unha función polinómica é unha función que se pode definir avaliando un polinomio.
Toda función polinómica é continua, suave e enteira.
A avaliación dun polinomio é o cálculo da función polinómica correspondente; é dicir, a avaliación consiste en substituír un valor numérico en cada indeterminado e realizar as multiplicacións e sumas indicadas.
Unha función polinómica non constante tende ao infinito cando a variable aumenta indefinidamente (en valor absoluto). Se o grao é superior a un, a gráfica non ten asíntota ningunha, nese caso ten dúas ramas parabólicas con dirección vertical (unha rama para x positivo e outra para x negativo).
Unha ecuación polinómica, tamén chamada ecuación alxébrica, é unha ecuación da forma [14]Por exemplo,Unha ecuación polinómica contrasta cunha identidade polinómica como (x + y)(x − y) = x2 − y2, onde ambas as expresións representan o mesmo polinomio en diferentes formas e, como consecuencia, calquera avaliación de ambos os membros dá unha igualdade válida.
En álxebra elemental, ensínanse métodos como a fórmula cadrática para resolver todas as ecuacións polinómicas de primeiro e segundo grao nunha soa variable. Tamén pódense usar algoritmos de busca de raíces para atopar aproximacións numéricas das raíces dunha expresión polinómica de calquera grao.
O número de solucións dunha ecuación polinómica con coeficientes reais non pode exceder o grao, e é igual ao grao cando as solucións complexas se contan coa súa multiplicidade. Este feito chámase teorema fundamental da álxebra.
Un número a é unha raíz dun polinomio P se e só se o polinomio linear x − a divide P, é dicir, se existe outro polinomio Q tal que P = (x − a) Q. Pode ocorrer que unha potencia (maior que 1) de x − a divida P ; neste caso, a é unha raíz múltiple de P, e se non a é unha raíz simple de P. Se P é un polinomio distinto de cero, existe a maior potencia m tal que (x − a)m divide P, que se chama multiplicidade de a como raíz de P. O número de raíces dun polinomio P distinto de cero, contado coas súas respectivas multiplicidades, non pode exceder o grao de P,[15] e é igual a este grao se se consideran todas as raíces complexas (isto é unha consecuencia do teorema fundamental da álxebra). Os coeficientes dun polinomio e as súas raíces están relacionados mediante as fórmulas de Viète.
En 1824, Niels Henrik Abel demostrou o resultado de que hai ecuacións de grao 5 cuxas solucións non se poden expresar mediante unha fórmula (finita), que só implican operacións aritméticas e radicais (ver teorema de Abel-Ruffini). En 1830, Évariste Galois demostrou que a maioría das ecuacións de grao superior a catro non se poden resolver mediante radicais, e demostrou que para cada ecuación pódese decidir se é resoluble por radicais e, se é así, resolvela. Este resultado marcou o inicio da teoría de Galois e da teoría de grupos, dúas ramas importantes da álxebra moderna.
Cando non hai unha expresión alxébrica para as raíces, e cando tal expresión alxébrica existe mais é demasiado complicada para ser útil, a única forma de resolvela é calcular aproximacións numéricas das solucións.[16] (Ver Algoritmo de busca de raíces).
Para polinomios con máis dun indeterminado, as combinacións de valores das variables para as que a función polinómica toma o valor cero chámanse xeralmente ceros en lugar de "raíces". (Ver Sistema de ecuacións polinómicas).
O caso especial no que todos os polinomios son de grao un chámase sistema de ecuacións lineares, para o cal existe outra gama de métodos de solución diferentes, incluíndo a eliminación clásica de Gauss.
Unha ecuación polinómica na que só se queren as solucións que son enteiros chámase ecuación diofantiana. Resolver ecuacións diofantianas é xeralmente unha tarefa moi difícil. Probouse que non pode haber ningún algoritmo xeral para resolvelas, nin sequera para decidir se o conxunto de solucións está baleiro (ver o décimo problema de Hilbert). Algúns dos problemas máis famosos que se resolveron durante os últimos cincuenta anos están relacionados coas ecuacións diofántianas, como o último teorema de Fermat.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.