Trou noir de Schwarzschild

En astrophysique, le trou noir de Schwarzschild^[1] est le plus simple^[2] modèle de trous noirs^[3]^,^[4]^,^[5]. Il consiste, par définition, en un trou noir :

de masse $M$ strictement positive : $M>0$ ;
dont la charge électrique $Q$ est nulle : $Q=0$ ;
dont le moment cinétique $J$ est nul : $J=0$ , c'est-à-dire qui n'est pas en rotation ;
dont la singularité gravitationnelle est ponctuelle ;
dont l'horizon des événements est une hypersurface de rayon $R_{h}$ égal au rayon de Schwarzschild $R_{s}$ : $R_{h}=R_{s}$ ;
dont l'ergosphère est confondue avec l'horizon des événements, de sorte qu'il n'existe pas d'ergorégion^[6].

Plus formellement, c'est le trou noir obtenu en résolvant l'équation d'Einstein de la relativité générale, pour une masse immobile, sphérique, qui ne tourne pas et sans charge électrique. La métrique satisfaisant à ces conditions est alors appelée la métrique de Schwarzschild.

Le trou noir de Schwarzschild s'interprète comme l'« état fondamental » — c'est-à-dire comme l'« état de plus basse énergie possible » — d'un trou noir de masse donnée^[7]. Il représente l'état final d'un trou noir de Kerr de l'ergorégion duquel toute l'énergie de rotation aurait été extraite par processus de Penrose^[8]^,^[9]^,^[10].

L'éponyme^[11] du trou noir de Schwarzschild^[12] est l'astronome allemand Karl Schwarzschild (1873-1916).

Le terme de trou noir "black hole" est inventé en 1967 par le physicien américain John Wheeler. Il avait déjà été imaginé au XVIII^e siècle par Laplace : « Un astre lumineux de même diamètre que la Terre, dont la densité serait deux cent cinquante fois plus grande que celle du Soleil, ne laisserait en vertu de son attraction, parvenir aucun de ses rayons jusqu’à nous ». Cette idée n’a rien à voir ni avec la relativité générale ni avec Schwarzschild puisque prévu par la mécanique newtonienne.

La métrique de Schwarzschild, de laquelle dérivent les solutions de l'équation d'Einstein qu'on identifie aux trous noirs de Schwarzschild, a été obtenue la première fois par Schwarzschild, peu après la publication de la théorie de la relativité générale par Albert Einstein en 1915.

Masse

L'espace-temps, dont la métrique de Schwarzschild décrit la géométrie, ne contient un trou noir que si la masse est strictement positive $(m > 0)$ et le vide $(T μν = 0)$ s'étend jusqu'au rayon de Schwarzschild^[13]^,^[14].

La masse $M$ d'un trou noir de Schwarzschild est un nombre réel positif non nul : $M\in \mathbb {R} _{+}^{*}$ , soit $\left\{M\in \mathbb {R} \mid M>0\right\}$ ^[15]. En effet, avec une masse négative, la métrique de Schwarzschild exhibe une singularité nue^[15].

La masse $M$ d'un trou noir de Schwarzschild est égale à la masse irréductible $M_{irr}$ d'un trou noir de Kerr^[16].

Dernière orbite circulaire stable

Le rayon de la dernière orbite circulaire stable ( $r ISCO$ ) sur laquelle une particule massive peut se mouvoir autour d'un trou noir de Schwarzschild est donnée par^[17]^,^[18] :

$r_{\mathrm {ISCO} }={\frac {6GM}{c^{2}}}$ .

Horizon des événements

L'aire de l'horizon des événements ( $A H$ ) d'un trou noir de Schwarzschild est celle d'une sphère ( $A H = 4πr 2$ ) dont le rayon aréolaire ( $r = \sqrt A H / 4π$ ) est, par définition, le rayon de Schwarzschild ( $R S = 2GM / c 2$ )^[19]^,^[20]^,^[21] :

A_{\mathrm {H} }=4\pi R_{\mathrm {S} }^{2}={\frac {16\pi G^{2}M^{2}}{c^{4}}}

.

L'horizon des événements d'un trou noir de Schwarzschild coïncide avec d'autres horizons :

horizon de Killing (en)^[22] ;
horizon apparent (en)^[22].

L'horizon des événements d'un trou noir de Schwarzschild est dit surface de décalage infini vers le rouge : des photons émis par une source statique juste à l'extérieur de l'horizon ont une longueur d'onde infinie quand elle est mesurée par des observateurs statiques à l'infini^[13].

Il est aussi dit limite statique : il ne peut pas exister d'observateurs statiques à l'intérieur de l'horizon^[13].

À l'horizon des événements, la gravité de surface ( $κ H$ ) est donnée par^[23] :

$\kappa _{\mathrm {H} }={\frac {GM}{R_{\mathrm {S} }^{2}}}={\frac {c^{4}}{4GM}}$ .

Singularité

La singularité gravitationnelle, localisée au-delà de l'horizon, est ponctuelle, future, du genre espace^[24].

Absence d'ergorégion

Dans un espace-temps stationnaire, l'ergorégion est la région où le champ de Killing associé à la stationnarité devient de genre espace^[25]. Dans le cas d'un trou noir de Schwarzschild, la limite de l'ergorégion coïncide avec l'horizon des événements^[25]. Ainsi, nulle ergorégion ne s'étend à l'extérieur d'un trou noir de Schwarzschild^[25].

Théorème de Birkhoff

Un théorème remarquable dû à Birkhoff affirme que la métrique de Schwarzschild est l'unique solution aux équations d'Einstein dans le vide possédant la symétrie sphérique. Comme la métrique de Schwarzschild est également statique, ceci montre qu'en fait dans le vide toute solution sphérique est automatiquement statique^{[N 1]}.

Ce théorème a une conséquence importante :

Un trou noir de Schwarzschild dans le vide, n'étant pas soumis à une quelconque interaction, ne peut pas émettre d'onde gravitationnelle.

Théorème de calvitie

Le théorème d'unicité d'Israel^{[N 2]} ou, en forme courte, le théorème d'Israel^{[N 3]} est le théorème qui établit l'unicité du trou noir de Schwarzschild^[27]^,^[28]. Il est le premier des théorèmes d'unicités relatifs aux trous noir^[29]^,^[30]. Son éponyme est Werner Israel (1931-2022) l'a présenté en 1967^[29]^,^[31]. Antérieurement, Georges Darmois (1888-1960) avait conjecturé l'unicité du trou noir de Schwarzschild^[32]. La preuve du théorème a été améliorée par Müller zum Hagen et al. en 1973^[33] et 1974 et par Robinson en 1974 et 1977^[34]. De nouvelles preuves du théorème ont été apportées par Simon en 1985, par Bunting et Masood ul Alam en 1987 et par celui-ci en 1992^[34].

Le théorème de calvitie dit la chose suivante :

Un trou noir est entièrement décrit par trois paramètres essentiels, qui à eux seuls, permettent de retrouver tous les autres :

la masse
la charge électrique
sa rotation (son moment angulaire)

Lorsqu'une étoile s'effondre en un trou noir, les valeurs des paramètres cités au-dessus sont conservées. Ce qui veut dire qu'un trou noir de Schwarzschild, de masse M, de charge nulle et de moment angulaire nul est né à partir d'une étoile ayant un moment angulaire nul, de charge nulle et ayant la même masse.

La nécessité d'avoir une étoile de charge et de moment angulaire nuls font que, dans l'absolu, ce genre de trou noir est plus théorique qu'autre chose. Cependant, en pratique, ce modèle reste satisfaisant pour la plupart des trous noirs d'origine stellaire, la charge réelle d'une étoile étant faible et sa vitesse de rotation négligeable par rapport à la vitesse de la lumière.

Tous les autres paramètres que les trois cités au-dessus, comme la température, sa pression... disparaissent. On ne peut donc, à partir d'un trou noir dont on connaît masse, charge et moment angulaire, retrouver les autres paramètres de l'étoile génitrice.

Notes

[N 1]
Précisons toutefois que ce théorème s'applique uniquement dans un espace à quatre dimensions. Si l'espace-temps possède plus de dimensions alors il est possible de trouver des solutions sphériques et non statiques en général.
[N 2]
En anglais, Israel's uniqueness theorem^[26].
[N 3]
En anglais, Israel theorem^[27].

Références

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[Misner, Thorne et Wheeler 1973] (en) Charles W. Misner, Kip S. Thorne et John A. Wheeler, Gravitation [« Gravitation »], San Francisco, W. H. Freeman, hors coll., 1973, 1^re éd., XXVI-1279 p., 20 × 25 cm (ISBN 0-7167-0334-3 et 0-7167-0344-0, EAN 9780716703341, OCLC 300307879, BNF 37391055, Bibcode 1973grav.book.....M, SUDOC 004830148, présentation en ligne, lire en ligne).

Théorème d'Israel

[Heusler 1998] (en) Markus Heusler, « Uniqueness theorems for black hole space-times », dans Friedrich W. Hehl, Claus Kiefer et Ralph J. K. Metzler (éd.), Black holes : theory and observation, Berlin et Heidelberg, Springer, coll. « Lecture notes in physics » (n^o 514), novembre 1998 (réimpr. octobre 2013), 1^re éd., XV-519 p., 15,6 × 23,4 cm (ISBN 3-540-65158-6 et 978-3-662-14175-5, EAN 9783540651581, OCLC 40142983, BNF 37545250, DOI 10.1007/b13593, S2CID 118992482, SUDOC 046260145, présentation en ligne, lire en ligne), chap. 7, p. 157-186.
[Israel 1967] (en) Werner Israel, « Event horizons in static vacuum space-times », Phys. Rev., vol. 164, n^o 5,‎ décembre 1967, p. 1776-1779 (OCLC 4644982839, DOI 10.1103/PhysRev.164.1776, Bibcode 1967PhRv..164.1776I, S2CID 121250202, résumé).
[Mazur 1987] (en) Pawel O. Mazur, « Black hole uniqueness theorems », dans Malcolm A. H. MacCallum (éd.), General relativity and gravitation, Cambridge, CUP, septembre 1987, 1^re éd., XVII-407 p., 15,2 × 22,8 cm (ISBN 0-521-33296-6, EAN 9780521332965, OCLC 15489876, Bibcode 1987grgp.book.....M, zbMATH 0703.53063, SUDOC 020191995, lire en ligne), I^re partie, chap. 7, p. 130-157.
[Müller zum Hagen, Robinson et Seifert 1973] (en) Henning Müller zum Hagen, David C. Robinson et Hans J. Seifert, « Black holes in static vacuum space-times », General Relativity and Gravitation, vol. 4, n^o 1,‎ février 1973, p. 53-78 (OCLC 5654947933, DOI 10.1007/BF00769760, Bibcode 1973GReGr...4...53H, S2CID 120727347).
[Robinson 1997] (en) David C. Robinson, « Black hole uniqueness theorems », Classical and Quantum Gravity, vol. 14, n^o 3,‎ mars 1997, p. 25 (OCLC 4654377537, DOI 10.1088/0264-9381/14/3/025, S2CID 120057895).

Articles connexes

Liens externes

(en) « Schwarzschild black hole » [« Trou noir de Schwarzschild »], sur scienceworld.wolfram.com d'Eric W. Weisstein.
Notices d'autorité :
- LCCN

[26] [N 1]
Précisons toutefois que ce théorème s'applique uniquement dans un espace à quatre dimensions. Si l'espace-temps possède plus de dimensions alors il est possible de trouver des solutions sphériques et non statiques en général.

[28] [N 2]
En anglais, Israel's uniqueness theorem^[26].

[30] [N 3]
En anglais, Israel theorem^[27].

[1] [1]
Entrée « trou noir de Schwarzschild », dans Richard Taillet, Pascal Febvre et Loïc Villain, Dictionnaire de physique, Bruxelles, De Boeck Université, 2009, XII-741 p. (ISBN 978-2-8041-0248-7, BNF 42122945), p. 561, lire en ligne

[Guidry2019243<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;13</span>,_introduction-2] [2]
Guidry 2019, chap. 13, introduction, p. 243.

[Kriele1999322<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;7</span>,_<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;7.2-3] [3]
Kriele 1999, chap. 7, sec. 7.2, p. 322.

[O'Neil1983364<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;13</span>,_introduction-4] [4]
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[Prugovečki199554-55<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;2</span>,_<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;2.7-5] [5]
Prugovečki 1995, chap. 2, sec. 2.7, p. 54-55.

[6] [6]
Éric Gourgoulhon, Relativité générale, Paris, Observatoire de Paris, universités Paris-VI, Paris-VII et Paris-XI, École normale supérieure, 2013 (lire en ligne [PDF]), p. 134

[Guidry2019386<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;17</span>,_<span_class="nowrap">sect._17.3</span>,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;17.3.5</span>-7] [7]
Guidry 2019, chap. 17, sect. 17.3, § 17.3.5, p. 386.

[Chow200793<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;6</span>,_<span_class="nowrap">sect._6.4</span>,<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;6.4.2</span>-8] [8]
Chow 2007, chap. 6, sect. 6.4,§ 6.4.2, p. 93.

[FerrariGualtieriPani2020450<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;2</span>,_<span_class="nowrap">sect._20.1</span>-9] [9]
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[OhanianRuffini2013354<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;8</span>,_<span_class="nowrap">sect._8.5</span>-10] [10]
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[Ridpath_2012Ridpath_201257''<abbr_class="abbr_"_title="sub_verbo_(«_à_l'article_»)"_>s.v.</abbr>''<span_class="lang-en"_lang="en">black_hole</span>-11] [11]
Ridpath 2012, s.v.black hole, p. 57.

[TailletVillainFebvre2013700,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="colonne(s)"_>col.</abbr>&nbsp;2</span>''<abbr_class="abbr_"_title="sub_verbo_(«_à_l'article_»)"_>s.v.</abbr>''trou_noir_de_Schwarzschild-12] [12]
Taillet, Villain et Febvre 2013, s.v.trou noir de Schwarzschild, p. 700, col. 2.

[BaumgarteShapiro201010<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;<abbr_class="abbr"_title="Premier">1<sup>er</sup></abbr></span>,_<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;1.2-13] [13]
Baumgarte et Shapiro 2010, chap. 1^er, sec. 1.2, p. 10.

[Woodhouse122<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;9</span>,_<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;9.1-14] [14]
Woodhouse, chap. 9, sec. 9.1, p. 122.

[Choquet-Bruhat200878<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;<abbr_class="abbr_"_title="4"_><span_class="romain"_style="text-transform:uppercase">IV</span></abbr></span>,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="section(s)"_>sect.</abbr>_5</span>-15] [15]
Choquet-Bruhat 2008, chap. IV, sect. 5, p. 78.

[DeruelleUzan2018494<abbr_class="abbr_"_title="livre"_>liv.</abbr>&nbsp;2,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="partie(s)"_>part.</abbr>_<abbr_class="abbr_"_title="2"_><span_class="romain"_style="text-transform:uppercase">II</span></abbr></span>,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;9</span>,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;9.1</span>-16] [16]
Deruelle et Uzan 2018, liv. 2, part. II, chap. 9, § 9.1, p. 494.

[Maggiore2018227<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;14.2.2</span>-17] [17]
Maggiore 2018, § 14.2.2, p. 227.

[Shäfer2015611<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;7.2</span>-18] [18]
Shäfer 2015, § 7.2, p. 611.

[AlekseevPolychronakosSmedbäck2003296,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="colonne(s)"_>col.</abbr>&nbsp;1</span>-19] [19]
Alekseev, Polychronakos et Smedbäck 2003, p. 296, col. 1.

[Chow200793<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;6</span>,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="section(s)"_>sect.</abbr>_6.4</span>,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;6.4.2</span>-20] [20]
Chow 2007, chap. 6, sect. 6.4, § 6.4.2, p. 93.

[RomeroVila201384<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;3</span>,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;3.2</span>-21] [21]
Romero et Vila 2013, chap. 3, § 3.2, p. 84.

[DeruelleUzan2018477<abbr_class="abbr_"_title="livre"_>liv.</abbr>&nbsp;3,_partie_<abbr_class="abbr_"_title="2"_><span_class="romain"_style="text-transform:uppercase">II</span></abbr>,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;7</span>,_<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;7.3-22] [22]
Deruelle et Uzan 2018, liv. 3, partie II, chap. 7, sec. 7.3, p. 477.

[Kiefer201214<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;<abbr_class="abbr"_title="Premier">1<sup>er</sup></abbr></span>,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="section(s)"_>sect.</abbr>_1.1</span>,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;1.1.5</span>-23] [23]
Kiefer 2012, chap. 1^er, sect. 1.1, § 1.1.5, p. 14.

[TailletVillainFebvre2013627,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="colonne(s)"_>col.</abbr>&nbsp;2</span>''<abbr_class="abbr_"_title="sub_verbo_(«_à_l'article_»)"_>s.v.</abbr>''singularité_(2)-24] [24]
Taillet, Villain et Febvre 2013, s.v.singularité (2), p. 627, col. 2.

[MaggioPaniRaposo20221157-25] [25]
Maggio, Pani et Raposo 2022, p. 1157.

[Poisson_et_Will264<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;5</span>,_<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;5.6,_introduction-27] [26]
Poisson et Will, chap. 5, sec. 5.6, introduction, p. 264.

[Choquet-Bruhat2008475<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;<abbr_class="abbr_"_title="14"_><span_class="romain"_style="text-transform:uppercase">XIV</span></abbr></span>,_<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;10,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;10.1</span>-29] [27]
Choquet-Bruhat 2008, chap. XIV, sec. 10, § 10.1, p. 475.

[Robinson1997-31] [28]
Robinson 1997.

[FrolovZelnikov2011359<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;10</span>,_<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;10.2,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;10.2.5</span>-32] [29]
Frolov et Zelnikov 2011, chap. 10, sec. 10.2, § 10.2.5, p. 359.

[Mazur1987131introduction-33] [30]
Mazur 1987, introduction, p. 131.

[Israel1967-34] [31]
Israel 1967.

[Choquet-Bruhat2008466<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;<abbr_class="abbr_"_title="14"_><span_class="romain"_style="text-transform:uppercase">XIV</span></abbr></span>,_<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;7,_introduction-35] [32]
Choquet-Bruhat 2008, chap. XIV, sec. 7, introduction, p. 466.

[Müller_zum_HagenRobinsonSeifert1973-36] [33]
Müller zum Hagen, Robinson et Seifert 1973.

[Heusler1998160<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;2-37] [34]
Heusler 1998, sec. 2, p. 160.

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