Vecteur de Killing

En mathématiques, un vecteur de Killing^{[N 1]}, ou champ de Killing, est un champ vectoriel^[1],[2],[3] sur une variété (pseudo-)riemannienne^[2] qui conserve la métrique de cette variété et met en évidence les symétries continues^[2],[3] de celle-ci.

Le champ de vecteurs suivant l'expression K=sin⁡ϕeθ+cot⁡θcos⁡ϕeϕ et ses lignes intégrales crées avec POVRAY.

Intuitivement un vecteur de Killing peut être vu comme un « champ de déplacement » ${\displaystyle \xi }$, c'est-à-dire associant à un point M de la variété le point M' défini par le déplacement de M le long de la courbe passant par M dont ${\displaystyle \xi }$ est le vecteur tangent. Sa propriété fondamentale est que ce champ représente une isométrie, c'est-à-dire qu'il conserve les distances. Ainsi, la distance entre deux points M et N est égale à la distance entre leurs images M' et N' par l'action de ${\displaystyle \xi }$.

Appliqué à une surface (variété de dimension 2) vue comme étant plongée dans un espace à trois dimensions, un tel champ permet par exemple de la faire « glisser » sur elle-même, sans qu'elle ne se déchire ni se plisse.

La formulation mathématique de cette propriété est appelée équation de Killing. Elle stipule que la dérivée de Lie de la métrique riemannienne par rapport au vecteur de Killing ${\displaystyle \xi }$ est nulle, soit, dans un système de coordonnées quelconque,

${\displaystyle D_{a}\xi _{b}+D_{b}\xi _{a}=0}$,

D étant la dérivée covariante associée à la métrique.

À partir de celle-ci, on en déduit un certain nombre de propriétés associées aux vecteurs de Killing.

Histoire

L'éponyme du vecteur est Wilhelm K. J. Killing (1847-1923), mathématicien allemand qui l'a introduit en 1892^{[4],[5],[6],[7],[8]}.

Propriétés

Divergence

En contractant l'équation de Killing avec la métrique, on obtient immédiatement :

${\displaystyle D_{a}\xi ^{a}=0}$.

Un vecteur de Killing est toujours à divergence nulle.

Constantes du mouvement

Le produit scalaire d'un vecteur de Killing avec le vecteur tangent d'une géodésique est constant le long d'une trajectoire. Si on note ${\displaystyle u^{a}}$ ce vecteur tangent, on a donc

${\displaystyle {\frac {D}{d\tau }}(u^{a}\xi _{a})=0}$,

l'opérateur ${\displaystyle D/d\tau }$ représentant la dérivée par rapport à un paramètre affine de la géodésique.

Démonstration

L'opérateur ${\displaystyle D/d\tau }$ peut se réécrire, d'après la définition d'une géodésique,

${\displaystyle D/d\tau =u^{b}D_{b}}$.

On a donc

${\displaystyle {\frac {D}{d\tau }}(u^{a}\xi _{a})=u^{b}D_{b}(u^{a}\xi _{a})}$.

En utilisant la règle de Leibniz des dérivées, on obtient alors

${\displaystyle u^{b}D_{b}(u^{a}\xi _{a})=u^{b}u^{a}D_{b}\xi _{a}+u^{b}\xi _{a}D_{b}u^{a}}$.

Le second terme de l'égalité est nul. En effet, la définition même d'une géodésique est que son vecteur tangent est conservé le long de la géodésique, soit

${\displaystyle {\frac {D}{d\tau }}u^{a}=u^{b}D_{b}u^{a}=0}$.

Le premier terme de l'égalité est également nul. En effet, l'équation de Killing indique que le tenseur ${\displaystyle D_{a}\xi _{b}}$ est antisymétrique. Sa contraction avec un tenseur symétrique est donc nulle. Ainsi, on a bien

${\displaystyle {\frac {D}{d\tau }}(u^{a}\xi _{a})=0}$.

 

Cette propriété est particulièrement utile pour intégrer l'équation des géodésiques. En effet, l'existence d'un nombre suffisant de vecteurs de Killing permet alors d'exhiber un nombre suffisant de constantes du mouvement qui permettent la résolution immédiate et explicite de l'équation des géodésiques. Un exemple simple est celui de la métrique de Schwarzschild, qui est à la fois à symétrie sphérique et statique. La première propriété permet d'exhiber deux vecteurs de Killing et la seconde un vecteur de Killing supplémentaire. Les constantes du mouvement associées sont la norme du moment cinétique, sa projection le long d'un axe, et une quantité qui dans une approche non relativiste pourrait être identifiée à l'énergie de la particule. Ainsi les lois habituelles de conservation de l'énergie et du moment cinétique de la mécanique classique se traduisent-elles en relativité générale par l'existence de vecteurs de Killing.

Relation avec le tenseur de Riemann

En prenant la dérivée de l'équation de Killing et en utilisant les propriétés de commutation des dérivées covariantes, l'on obtient une équation reliant la dérivée seconde d'un vecteur de Killing au tenseur de Riemann. Cette relation s'écrit :

${\displaystyle D_{ab}\xi _{c}=-R_{\;acb}^{d}\xi _{d}}$ .

Démonstration

À partir de l'équation de Killing, on effectue une dérivation supplémentaire. On obtient donc :

${\displaystyle D_{ca}\xi _{b}+D_{cb}\xi _{a}=0}$.

Les dérivées covariantes ne commutent pas en général, mais peuvent être commutées si on leur adjoint un terme supplémentaire faisant appel au tenseur de Riemann (c'est même la définition du tenseur de Riemann) :

${\displaystyle D_{cb}\xi _{a}=D_{bc}\xi _{a}-R_{\;acb}^{d}\xi _{d}}$ .

On obtient ainsi

${\displaystyle D_{ca}\xi _{b}+D_{bc}\xi _{a}=R_{\;acb}^{d}\xi _{d}}$ .

On peut réécrire cette équation en effectuant des permutations sur les indices a, b et c :

${\displaystyle D_{ab}\xi _{c}+D_{ca}\xi _{b}=R_{\;bac}^{d}\xi _{d}}$ .

${\displaystyle D_{bc}\xi _{a}+D_{ab}\xi _{c}=R_{\;cba}^{d}\xi _{d}}$ .

En effectuant la somme de ces trois égalités, on obtient

${\displaystyle 2D_{ca}\xi _{b}+2D_{bc}\xi _{a}+2D_{ab}\xi _{c}=(R_{\;acb}^{d}+R_{\;bac}^{d}+R_{\;cba}^{d})\xi _{d}}$ .

En vertu de la première identité de Bianchi, les termes du membre de droite s'annulent. On a donc

${\displaystyle D_{ca}\xi _{b}+D_{bc}\xi _{a}+D_{ab}\xi _{c}=0}$ .

En soustrayant ceci à la première égalité faisant intervenir le tenseur de Riemann, il vient alors

${\displaystyle D_{ab}\xi _{c}=-R_{\;acb}^{d}\xi _{d}}$ .

 

Cette relation possède nombre de conséquences intéressantes :

• En la contractant sur a et b, on obtient une relation entre le d'alembertien du champ et le tenseur de Ricci :

  ${\displaystyle D_{a}D^{a}\xi _{c}=-R_{\;c}^{d}\xi _{d}}$ .

• Il s'agit là d'une équation assez semblable à celle du potentiel vecteur en électromagnétisme dans la jauge de Lorentz (d'autant que de même que le potentiel vecteur est de divergence nulle dans la jauge de Lorentz, le vecteur de Killing est également par construction de divergence nulle). La seule différence vient du signe du tenseur de Ricci qui est l'opposé de celui que l'on trouve en électromagnétisme. Dans le cas où le tenseur de Ricci s'annule, l'analogie entre vecteur de Killing et potentiel vecteur est encore plus grande (les deux obéissent exactement à la même équation).
• Cette équation, appliquée le long d'une géodésique, implique que le vecteur de Killing le long de cette géodésique est entièrement déterminé par sa valeur et celle de ses dérivées en un point. Par extension, le vecteur de Killing dans toute la variété est entièrement déterminé par ses valeurs et celle de ses dérivées en un seul point.
• Par suite, si la dimension de la variété est n, la donnée du vecteur de Killing est déterminée par n nombres (ses composantes), et ses dérivées par n (n - 1) / 2 composantes (du fait de l'antisymétrie de l'équation de Killing). Le nombre maximum de vecteurs de Killing pouvant exister sur une variété de dimension n est donc n (n + 1) / 2. Une variété possédant son nombre maximum de vecteurs de Killing est dite à symétrie maximale. L'espace de de Sitter est un exemple d'espace à symétrie maximale.
• Plus généralement, il est commode de classer les variétés de dimension données en fonction de leurs vecteurs de Killing. Cette classification, appliquée à une certaine catégorie d'espace-temps de dimension 4 (les espaces homogènes), s'appelle classification de Bianchi.

Relations avec le théorème de Noether

La contraction d'un vecteur de Killing avec le tenseur énergie-impulsion ${\displaystyle T^{ab}}$ permet d'exhiber un vecteur de divergence nulle.

Démonstration

En effet, la divergence de la quantité ${\displaystyle T^{ab}\xi _{b}}$ donne

${\displaystyle D_{a}(T^{ab}\xi _{b})=T^{ab}D_{a}\xi _{b}+\xi _{b}D_{a}T^{ab}}$.

Le premier terme est nul, car il est la contraction d'un tenseur symétrique (${\displaystyle T^{ab}}$) et d'un tenseur antisymétrique (${\displaystyle D_{a}\xi _{b}}$, d'après l'équation de Killing). Le second terme est également nul car le tenseur énergie impulsion est par définition de divergence nulle (${\displaystyle D_{a}T^{ab}=0}$). On a donc

${\displaystyle D_{a}(T^{ab}\xi _{b})=0}$.

 

L'existence de ce vecteur de divergence nulle permet alors de définir des quantités conservées par l'intermédiaire du théorème de Noether.

Dans l'espace de Minkowski et des coordonnées cartésiennes, le vecteur ${\displaystyle \partial /\partial t}$, noté ${\displaystyle \partial _{t}}$ est un vecteur de Killing, qui dit simplement que l'espace de Minkowski est invariant par translation dans le temps. Cela implique alors la conservation de l'énergie^{[N 2]}. De même, les vecteurs ${\displaystyle \partial _{x^{i}}}$ sont également des vecteurs de Killing. Cela implique la conservation de la quantité de mouvement. Aucun de ces vecteurs n'est cependant un vecteur de Killing dans un univers en expansion. C'est la raison pour laquelle l'énergie du rayonnement électromagnétique n'est pas conservée au cours du temps : c'est le phénomène de décalage vers le rouge. D'une manière générale, il n'y a pas forcément de vecteurs de Killing dans un espace-temps quelconque. Cela implique qu'en relativité générale, il n'y a pas conservation de l'énergie, sauf cas particuliers, comme celui des espaces asymptotiquement plats.

Toujours dans l'espace de Minkowski, les vecteurs ${\displaystyle x\partial _{y}-y\partial _{x}}$, ${\displaystyle y\partial _{z}-z\partial _{y}}$, ${\displaystyle z\partial _{x}-x\partial _{z}}$ sont également des vecteurs de Killing. L'existence de ces vecteurs implique la conservation du moment cinétique. De même, les vecteurs ${\displaystyle x_{i}\partial _{t}+t\partial _{x_{i}}}$ sont trois vecteurs de Killing. Dans la limite non relativiste, ils correspondent à la quantité ${\displaystyle x^{i}-v^{i}t}$, soit la valeur de la i^e coordonnée à l'instant ${\displaystyle t=0}$^{[N 3]}. Ces vecteurs, au nombre de 10, forment tous les vecteurs de Killing linéairement indépendants de l'espace de Minkowski.

Algèbre de Lie des vecteurs de Killing

Le crochet de Lie de deux vecteurs de Killing ${\displaystyle \xi }$ et ${\displaystyle \zeta }$ est également un vecteur de Killing

Démonstration

Le crochet de Lie de ${\displaystyle \xi }$ par ${\displaystyle \zeta }$ s'écrit, en termes de composantes,

${\displaystyle \zeta ^{b}D_{b}\xi ^{a}-\xi ^{b}D_{b}\zeta ^{a}}$.

Pour que ce vecteur soit un vecteur de Killing, il faut et il suffit qu'il satisfasse à l'équation de Killing. On calcule donc

${\displaystyle D_{a}\left(\zeta ^{c}D_{c}\xi _{b}-\xi ^{c}D_{c}\zeta _{b}\right)-D_{b}\left(\zeta ^{c}D_{c}\xi _{a}-\xi ^{c}D_{c}\zeta _{a}\right)}$

${\displaystyle =\zeta ^{c}\left(D_{ac}\xi _{b}-D_{bc}\xi _{a}\right)+\xi ^{c}\left(D_{bc}\zeta _{a}-D_{ac}\zeta _{b}\right)+D_{a}\zeta ^{c}\;D_{c}\xi _{b}-D_{c}\zeta _{b}\;D_{a}\xi ^{c}-D_{b}\zeta ^{c}\;D_{c}\xi _{a}+D_{c}\zeta _{a}\;D_{b}\xi ^{c}}$.

Les termes comprenant des produits de deux dérivées premières peuvent être manipulés en utilisant l'équation de Killing pour ${\displaystyle \xi }$ et ${\displaystyle \zeta }$, de sorte que l'indice c ne porte pas sur la dérivée covariante, mais sur le vecteur. Ainsi, on a

${\displaystyle D_{a}\zeta ^{c}\;D_{c}\xi _{b}-D_{c}\zeta _{b}\;D_{a}\xi ^{c}-D_{b}\zeta ^{c}\;D_{c}\xi _{a}+D_{c}\zeta _{a}\;D_{b}\xi ^{c}=-D_{a}\zeta ^{c}\;D_{b}\xi _{c}+D_{b}\zeta _{c}\;D_{a}\xi ^{c}-D_{b}\zeta ^{c}\;D_{a}\xi _{c}+D_{a}\zeta _{c}\;D_{b}\xi ^{c}=0}$,

car les termes s'annulent deux à deux. Pour les termes comprenant des dérivées seconde, on utilise également les équations de Killing pour chasser l'indice c des dérivées covariantes. On a

${\displaystyle \zeta ^{c}\left(D_{ac}\xi _{b}-D_{bc}\xi _{a}\right)+\xi ^{c}\left(D_{bc}\zeta _{a}-D_{ac}\zeta _{b}\right)=\zeta ^{c}\left(-D_{ab}\xi _{c}+D_{ba}\xi _{c}\right)+\xi ^{c}\left(D_{ba}\zeta _{c}-D_{ab}\zeta _{c}\right).}$

On reconnaît le commutateur des dérivées covariantes, que l'on peut réécrire à l'aide du tenseur de Riemann :

${\displaystyle \zeta ^{c}\left(-D_{ab}\xi _{c}-D_{ba}\xi _{c}\right)+\xi ^{c}\left(D_{ba}\zeta _{c}-D_{ab}\zeta _{c}\right)=\zeta ^{c}R_{\;cab}^{d}\xi _{d}-\xi ^{c}R_{\;cba}^{d}\zeta _{d}}$.

En utilisant enfin les relations d'antisymétrie sur les deux paires d'indices du tenseur de Riemann et en intervertissant les indices muets c et d sur un des deux membres du résultat, on obtient

${\displaystyle \zeta ^{c}R_{\;cab}^{d}\xi _{d}-\xi ^{c}R_{\;cba}^{d}\zeta _{d}=\zeta ^{c}\xi ^{d}R_{dcab}-\xi ^{c}\zeta ^{d}R_{dcba}=\zeta ^{c}\xi ^{d}R_{dcab}-\zeta ^{c}\xi ^{d}R_{cdba}=\zeta ^{c}\xi ^{d}(R_{dcab}-R_{cdba})=\zeta ^{c}\xi ^{d}(R_{dcab}-R_{dcab})=0}$.

Ainsi donc, le crochet de Lie de deux vecteurs de Killing est également un vecteur de Killing.

 

Ceci permet de munir l'espace des vecteurs de Killing d'une structure d'algèbre de Lie. En relativité générale, c'est par ce biais que sont effectuées certaines classifications des espaces-temps, comme la classification de Bianchi évoquée plus haut qui porte sur les espaces-temps quadridimensionnels dont les sections spatiales sont homogènes.

Transformation conforme

Lors d'une transformation conforme, un vecteur de Killing perd sa propriété fondamentale et ne satisfait plus à l'équation de Killing. Il satisfait cependant à une autre équation qui peut dans certains cas s'avérer intéressantes. On parle alors de vecteur de Killing conforme.

Espace-temps statique

En relativité générale, un espace-temps (ou une région de celui-ci) est dit statique s'il admet un vecteur de Killing de genre temps qui puisse être vu comme la normale à des hypersurfaces. Pour cela, en plus de l'équation de Killing, il faut que le vecteur de Killing soit proportionnel à un gradient (les hypersurfaces pouvant être vues comme les régions où un certain paramètre est constant). Cette dernière condition s'écrit sous la forme

${\displaystyle \xi _{[a}D_{b}\xi _{c]}=0}$,

ce que l'on démontre grâce à un théorème de Frobenius. Dans un espace-temps à quatre dimensions, cette condition est alors équivalente à celle sur la forme duale associée,

${\displaystyle \epsilon ^{dabc}\xi _{[a}D_{b}\xi _{c]}=0}$,

où ${\displaystyle \epsilon }$ est un tenseur complètement antisymétrique dans tous ses indices.

La métrique de Schwarzschild, est un exemple d'espace-temps statique dans la région extérieure au rayon de Schwarzschild. La métrique de Reissner-Nordström possède la même propriété. La métrique de tels espaces peut s'écrire dans un certain système de coordonnées ${\displaystyle (t,x^{i})}$ sous la forme

${\displaystyle {\mathrm {d} }s^{2}=V^{2}(x^{k})-\sum _{ij}h_{ij}(x^{k})\;{\mathrm {d} }x^{i}\;{\mathrm {d} }x^{j}}$.

La staticité se voit :

1. Par le fait que la métrique ne dépend pas de la coordonnées t (équation de Killing)
2. Par le fait qu'il n'y a pas de termes en ${\displaystyle {\mathrm {d} }t\;{\mathrm {d} }x^{i}}$ (orthogonalité aux hypersurfaces)

Espace-temps stationnaire

Un espace-temps est dit stationnaire s'il admet un vecteur de Killing de genre temps, sans que celui-ci possède la propriété d'orthogonalité à des hypersurfaces. Dans le système de coordonnées précédent la métrique associée est plus générale :

${\displaystyle {\mathrm {d} }s^{2}=V^{2}(x^{k})-\sum _{ij}h_{ij}(x^{k})\;{\mathrm {d} }x^{i}\;{\mathrm {d} }x^{j}+\sum _{i}N_{i}(x^{k})\;{\mathrm {d} }t\;{\mathrm {d} }x^{i}}$.

Espace-temps axisymétrique

Un espace-temps est dit axisymétrique s'il est stationnaire (il possède donc un vecteur de Killing de genre temps ${\displaystyle \xi }$, voir ci-dessus) et possède un autre vecteur de Killing ${\displaystyle \eta }$ de genre espace dont le flot forme des courbes fermées et qui commute avec le précédent :

${\displaystyle [\xi ,\eta ]=0}$.

La métrique de Kerr et celle de Kerr-Newman sont des exemples connus de métriques axisymétriques. Le bivecteur ${\displaystyle \xi _{[a}\eta _{b]}}$ dit, pour des raisons évidentes, de Killing joue un rôle important dans les démonstrations sur les théorèmes sur les singularités.

Espace-temps circulaire

Un espace-temps stationnaire et axisymétrique est dit circulaire si les 2-surfaces orthogonales aux champs de Killing générant la stationnarité et axisymétrie sont intégrables, c'est-à-dire si elles sont tangentes aux surfaces 2-dimensionnelles^[9].

Espace-temps à symétrique maximale

Un espace-temps est dit à symétrie maximale^[10] — ou maximalement symétrique^[11],[12] — s'il possède un nombre maximal de vecteurs de Killing, à savoir : ${\displaystyle {\frac {1}{2}}n\left(n+1\right)}$, où ${\displaystyle n}$ est le nombre de dimensions de l'espace-temps^[13],[14].

En géométrie lorentzienne, les trois^[15] variétés d'espace-temps à symétrie maximale sont :

• l'espace de Minkowski, de courbure nulle ${\displaystyle \left(k=0\right)}$^[15],[16] ;
• l'espace de de Sitter, de courbure positive ${\displaystyle \left(k>0\right)}$^[15],[16] ;
• l'espace anti de Sitter, de courbure négative ${\displaystyle \left(k<0\right)}$^[15],[17].

En relativité générale, toutes trois sont des solutions de l'équation d'Einstein dans le vide^[18] ; elles sont les trois seules de ces solutions dont le tenseur de Weyl est nul^[19]. L'espace de Minkowski est le seul des trois dont le tenseur de Riemann est nul^[20].

Généralisations

Une équation du type équation de Killing peut se généraliser à des tenseurs d'ordre plus élevé. On parle alors, selon la généralisation choisie, de tenseur de Killing ou de tenseur de Killing-Yano. Dans le cadre des théorèmes sur les singularités, on introduit parfois le concept de bivecteur de Killing, formé à l'aide de deux vecteurs de Killing.

Notes et références

Notes

1. Le terme vecteur est un abus de langage classique en physique, qui assimile par facilité élément et ensemble, vecteur et champ de vecteurs.
2. La quantité conservée est le facteur de Lorentz γ, qui a une constante près est égal dans la limite non relativiste à la somme de l'énergie de masse et de l'énergie cinétique.
3. Dans le cas relativiste, la quantité conservée est la position multipliée par le facteur de Lorentz, qui lui-même est une quantité conservée du fait que ${\displaystyle \partial _{t}}$ est un vecteur de Killing (voir plus haut).

Références

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2. Penrose 2007, chap. 14, § 14.7, p. 312.
3. Taillet, Villain et Febvre 2018, s.v.Killing (vecteur de), p. 411, col. 1.
4. Hawkins 2000, chap. 4, § 4.5, p. 128, n. 20.
5. Hawkins 2000, p. 530.
6. Misner, Thorne et Wheeler 1973, chap. 25, § 25.2, p. 650, n. histor..
7. Misner, Thorne et Wheeler 1973, p. 1238, col. 1.
8. Killing 1892, p. 167.
9. Heusler 1996, chap. 2, sec. 2.7, p. 26.
10. Peter et Uzan 2012, 2^e part., chap. 3, sect. 3.6, § 3.6.1, p. 176.
11. Barrau et Grain 2016, chap. 7, sect. 7.1, § 7.1.2, p. 129.
12. Heyvaerts 2012, chap. 10, sect. 10.2, § 10.2.1, p. 142.
13. Carroll 2019, chap. 3, § 3.9, p. 140.
14. Hawking et Ellis 1973, chap. 2, § 2.6, p. 44.
15. Ammon et Erdmenger 2015, I^re partie, chap. 2, sec. 2.3, p. 67.
16. Carroll 2019, chap. 8, sec. 8.1, p. 324.
17. Carroll 2019, chap. 8, sec. 8.1, p. 326.
18. Ammon et Erdmenger 2015, I^re partie, chap. 2, sec. 2.3, p. 67-68.
19. Griffiths et Podolský 2009, chap. 4, introduction, p. 41.
20. Papantonopoulos 2011, I^re partie, chap. 1^er, sec. 1.1, § 1.1.1, p. 4.

Voir aussi

Bibliographie

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• [Penrose 2007] R. Penrose (trad. de l'angl. par C. Laroche), À la découverte des lois de l'Univers : la prodigieuse histoire des mathématiques et de la physique [« The road to reality : a complete guide to the laws of the Universe »], Paris, O. Jacob, coll. « Sciences », août 2007, 1^re éd., 1 vol., XXII-1061, ill. et fig., 15,5 × 24 cm (ISBN 978-2-7381-1840-0, EAN 9782738118400, OCLC 209307388, BNF b41131526q, SUDOC 118177311, présentation en ligne, lire en ligne).

Manuels de cours

• [Barrau et Grain 2016] A. Barrau et J. Grain, Relativité générale (cours et exercices corrigés), Malakoff, Dunod, coll. « Sciences Sup. », août 2016, 2^e éd. (1^re éd. août 2011), 1 vol., VIII-231, 17 × 24 cm (ISBN 978-2-10-074737-5, EAN 9782100747375, OCLC 958388884, BNF 45101424, SUDOC 195038134, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Carroll 2019] S. M. Carroll, Spacetime and geometry : an introduction to general relativity [« Espace-temps et géométrie : une introduction à la relativité générale »], Cambridge, CUP, hors coll., août 2019, 3^e éd. (1^re éd. sept. 2003), 1 vol., XIV-513, ill., 19,2 × 25,2 cm (ISBN 978-1-108-48839-6, EAN 9781108488396, OCLC 1101387240, BNF 45756876, DOI 10.1017/9781108770385, SUDOC 237699117, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Heyvaerts 2012] J. Heyvaerts, Astrophysique : étoiles, univers et relativité (cours et exercices corrigés), Paris, Dunod, coll. « Sciences Sup. », août 2012, 2^e éd. (1^re éd. sept. 2006), 1 vol., X-384, ill. et fig., 17 × 24 cm (ISBN 978-2-10-058269-3, EAN 9782100582693, OCLC 816556703, BNF 42740481, SUDOC 163817030, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Peter et Uzan 2012] P. Peter et J.-Ph. Uzan (préf. de Th. Damour), Cosmologie primordiale, Paris, Belin, coll. « Échelles », fév. 2012, 2^e éd. (1^re éd. sept. 2005), 1 vol., 816, ill., 17 × 24 cm (ISBN 978-2-7011-6244-7, EAN 9782701162447, OCLC 793482816, BNF 42616501, SUDOC 158540697, présentation en ligne, lire en ligne).

Dictionnaires et encyclopédies

• [Alkseevskiĭ 1995] (en) D. V. Alkseevskiĭ, « Killing vector », dans M. Hazewinkel (dir.), Encyclopaedia of mathematics, t. III : Hea – Mom, Dordrecht et Boston, Kluwer Academic, 1995, 1^re éd., 1 vol., 950, ill., 30 cm (ISBN 1-556-08010-7, EAN 9781556080104, OCLC 36916612, DOI 10.1007/978-1-4899-3793-3, SUDOC 030252288, présentation en ligne, lire en ligne), s.v.Killing vector [« vecteur de Killing »], p. 391-392.
• [Taillet, Villain et Febvre 2018] R. Taillet, L. Villain et P. Febvre, Dictionnaire de physique, Louvain-la-Neuve, De Boeck Sup., hors coll., janv. 2018, 4^e éd. (1^re éd. mai 2008), 1 vol., X-956, ill. et fig., 17 × 24 cm (ISBN 978-2-8073-0744-5, EAN 9782807307445, OCLC 1022951339, SUDOC 224228161, présentation en ligne, lire en ligne), s.v.Killing (vecteur de), p. 411, col. 1.

Article original

• [Killing 1892] (de) W. Killing, « Über die Grundlagen der Geometrie », J. reine angew. Math., vol. 109,‎ déc. 1892, p. 121-186 (Bibcode 1892JRAM..109.....K, lire en ligne).

Articles connexes

• Équation de Killing
• Vecteur de Killing conforme
• Tenseur de Killing
• Bivecteur de Killing
• Tenseur de Killing-Yano
• Théorème de Noether
• Classification de Bianchi

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