Théorème de Noether (physique)

Le théorème de Noether exprime l'équivalence qui existe entre les lois de conservation et l'invariance du lagrangien d'un système par certaines transformations (appelées symétries) des coordonnées.

Emmy Noether est une mathématicienne allemande connue pour ses contributions majeures en algèbre abstraite et en physique théorique.

Démontré en 1915 et publié en 1918 par la mathématicienne Emmy Noether à Göttingen, ce théorème fut qualifié par Albert Einstein de « monument de la pensée mathématique » dans une lettre envoyée à David Hilbert en vue de soutenir la carrière de la mathématicienne^[1].

Il est abondamment utilisé aujourd'hui par la physique théorique, où tout phénomène est abordé, chaque fois que possible, en matière de symétrie d'espace, de charges électriques, et même de temps.

Énoncés

Théorème de Noether — À toute transformation infinitésimale qui laisse invariante l'intégrale d'action correspond une grandeur qui se conserve.

Un autre énoncé équivalent est :

Théorème — À toute transformation infinitésimale qui laisse le lagrangien d'un système invariant à une dérivée temporelle totale près correspond une grandeur physique conservée.

Chaque « invariance » traduit le fait que les lois de la physique ne changent pas lorsqu'une expérience subit la transformation correspondante, et donc, qu'il n'y a pas de référence absolue pour mener une telle expérience^[2].

Démonstrations

Démonstration

Soit ${\displaystyle q_{i}(s)}$, un jeu de coordonnées généralisées qui dépendent continûment d'un paramètre ${\displaystyle s}$. Si le lagrangien ${\displaystyle L}$ est indépendant de ${\displaystyle s}$, c'est-à-dire ${\displaystyle L(q_{i}(s),{\dot {q}}_{i}(s),t)=L(q_{i},{\dot {q}}_{i},t)}$ avec ${\displaystyle q_{i}=q_{i}(0)}$, alors :

${\displaystyle I(q_{i},{\dot {q}}_{i})=\left.{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\frac {\mathrm {d} q_{i}(s)}{\mathrm {d} s}}\right|_{s=0}}$

est une intégrale première, c'est-à-dire que ${\displaystyle I}$ est invariant dans le temps : ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} I}{\mathrm {d} t}}=0}$.

En effet :

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} L}{\mathrm {d} s}}={\frac {\partial L}{\partial q_{i}(s)}}{\frac {\mathrm {d} q_{i}(s)}{\mathrm {d} s}}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}(s)}}{\frac {\mathrm {d} {\dot {q}}_{i}(s)}{\mathrm {d} s}}=0}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} L}{\mathrm {d} s}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}(s)}}{\frac {\mathrm {d} q_{i}(s)}{\mathrm {d} s}}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}(s)}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} q_{i}(s)}{\mathrm {d} s}}}$

(en utilisant les équations d'Euler-Lagrange ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}(s)}}={\frac {\partial L}{\partial q_{i}(s)}}}$, et ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\dot {q}}_{i}(s)}{\mathrm {d} s}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} q_{i}(s)}{\mathrm {d} s}}}$)

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} L}{\mathrm {d} s}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(\left.{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}(s)}}{\frac {\mathrm {d} q_{i}(s)}{\mathrm {d} s}}\right|_{\forall \,s}\right)=0}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} L}{\mathrm {d} s}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(\left.{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\frac {\mathrm {d} q_{i}(s)}{\mathrm {d} s}}\right|_{s=0}\right)=0}$.

Remarque : Dans le cas général, on n'a pas nécessairement un unique paramètre ${\displaystyle s}$ mais plutôt un jeu de paramètres ${\displaystyle s_{j}}$ auxquels vont correspondre les invariants

$${\displaystyle I_{j}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\frac {\partial q_{i}({\vec {s}})}{\partial s_{j}}}.}$$

Démonstration

Soit un Lagrangien ${\displaystyle L=L(q_{i},{\dot {q}}_{i},t)}$ qui dépend de ${\displaystyle N}$ coordonnées généralisées ${\displaystyle q_{i}=q_{i}(t)}$, avec ${\displaystyle i=1,\cdots ,N}$. Selon le principe de moindre action, l'action ${\displaystyle S=\int Ldt}$ est stationnaire sur une trajectoire physique. Ceci mène directement aux équations d'Euler-Lagrange :

$${\displaystyle \forall i\quad {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}=0.}$$

Aussi, sous une transformation infinitésimale des coordonnées ${\displaystyle q_{i}\rightarrow q_{i}'=q_{i}+\alpha .\delta q_{i}}$, si le Lagrangien est invariant à une dérivée temporelle totale près (c.-à-d. : ${\displaystyle L\rightarrow L'=L+\alpha .\delta L=L+\alpha {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}F(q_{i},t)}$, pour une fonction quelconque ${\displaystyle F(q_{i},t)}$ qui ne dépend que des coordonnées généralisées et du temps), alors les équations du mouvement sont inchangées. Sous cette hypothèse, en calculant le Lagrangien au premier ordre du développement de Taylor, on obtient :

$${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha .\delta L&={\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}\alpha .\delta q_{i}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\alpha .\delta {\dot {q}}_{i}\\&={\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}\alpha .\delta q_{i}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\alpha .\delta q_{i}\\&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\alpha .\delta q_{i}\right)+\left[{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)\right]\alpha .\delta q_{i}.\end{aligned}}}$$

Notons que le deuxième terme de la seconde ligne n'est autre que l'un des termes obtensible via la règle de Leibniz :

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\delta q_{i}\right)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)\cdot \delta q_{i}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\cdot {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(\delta q_{i}\right)\end{aligned}}}$$

Nous avons donc simplement remplacé ${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\cdot \delta q_{i}}$ par les autres termes de la règle en tenant compte du facteur ${\displaystyle \alpha }$.

Enfin, dans notre dernière ligne, le deuxième terme est nul car il s'agit de l'équation d'Euler-Lagrange pour ${\displaystyle q_{i}}$. Ainsi, par comparaison avec l'hypothèse de départ, on a :

$${\displaystyle F(q_{i},t)={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}.\delta q_{i}.}$$

On définit la quantité conservée du système :

$${\displaystyle C(q_{i},t)=F(q_{i},t)-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}.\delta q_{i}}$$

car

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}C(q_{i},t)=0.}$$

Dans le cas où la transformation laisse le lagrangien invariant, on a alors ${\displaystyle F(q_{i},t)=0}$ et on retrouve alors le résultat de la démonstration précédente, qui est moins générale mais plus explicite.

Exemples

Propriété du système physique	Symétrie	Invariant
Espace homogène	Invariance par translation dans l'espace	Conservation de l'impulsion
Espace isotrope	Invariance par rotation dans l'espace	Conservation du moment cinétique
Système indépendant du temps	Invariance par translation dans le temps (les lois sont les mêmes tout le temps)	Conservation de l'énergie
Pas d'identité propre des particules	Permutation de particules identiques	Statistique de Fermi-Dirac, Statistique de Bose-Einstein
Pas de référence absolue pour la phase des particules chargées	Invariance par changement de phase	Conservation de la charge électrique

Détaillons quelques-uns de ces exemples.

Quantité de mouvement

Prenons tout d'abord le cas d'une particule libre, on a donc le lagrangien

$${\displaystyle L={\frac {1}{2}}m{\dot {\vec {q}}}^{2}}$$

invariant par translation. On voit bien ici que si on change l'origine des coordonnées, cela ne va pas modifier la physique de notre particule libre. Le lagrangien est donc invariant par la transformation de translation$${\displaystyle q_{i}\rightarrow {\tilde {q}}_{i}=q_{i}+\alpha _{i}}$$

avec les ${\displaystyle \alpha _{i}}$ les composantes du vecteur décrivant la translation. On voit ici que l'on a, pour une translation infinitésimale d'un vecteur ${\displaystyle {\vec {\delta \alpha }}=\delta \alpha _{i}{\vec {e}}_{i}}$ , une variation de nos coordonnées généralisées qui vaut ${\displaystyle \delta q_{i}={\tilde {q}}_{i}-q_{i}=\delta \alpha _{i}}$ . Les quantités conservées associées à cette transformation sont donc

$${\displaystyle I_{i}=\sum _{j}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}{\frac {\partial q_{j}}{\partial \alpha _{i}}}=\sum _{j}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\delta _{ij}=m{\dot {q}}_{i}=p_{i}}$$avec ${\displaystyle \delta _{ij}}$ le delta de Kronecker, on retrouve bien les composantes du vecteur quantité de mouvement.

Moment cinétique

Considérons maintenant le cas d'un système invariant par rotation, prenons par exemple une particule placée dans un potentiel central ${\displaystyle \Phi (r)}$, on a alors ${\displaystyle L={\frac {1}{2}}m{\dot {\vec {q}}}^{2}-\Phi (r)}$. Le système étant invariant par rotation (la norme de la vitesse est invariante par rotation), il semble pertinent de se placer en coordonnées sphériques, pour lesquelles ${\displaystyle q=r{\vec {e}}_{r}}$ et ${\displaystyle {\dot {\vec {q}}}={\dot {r}}{\vec {e}}_{r}+r{\dot {\theta }}{\vec {e}}_{\theta }+r\sin(\theta ){\dot {\phi }}{\vec {e}}_{\phi }}$. On a alors

$${\displaystyle L={\frac {m}{2}}\left({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta ){\dot {\phi }}^{2}\right)-\Phi (r).}$$

La transformation associée à la rotation en coordonnées sphériques peut s'écrire comme ${\displaystyle (r,\theta ,\phi )\rightarrow (r,{\tilde {\theta }}=\theta +\chi ,{\tilde {\phi }}=\phi +\psi )}$, avec ${\displaystyle \chi }$ et ${\displaystyle \psi }$ les deux angles caractérisant la transformation. Pour une transformation infinitésimale on a donc ${\displaystyle \delta q=r{\vec {e}}_{\theta }\delta \chi +r{\vec {e}}_{\phi }\delta \psi }$. On voit donc ici que les deux quantités conservées vont être

$${\displaystyle I_{\theta }={\frac {\partial L}{\partial (r{\dot {\theta }})}}{\frac {\partial q}{\partial \chi }}\cdot {\vec {e}}_{\theta }=mr^{2}{\dot {\theta }}\qquad \mathrm {et} \qquad I_{\phi }={\frac {\partial L}{\partial (r\sin(\theta ){\dot {\phi }})}}{\frac {\partial q}{\partial \psi }}\cdot {\vec {e}}_{\phi }=mr^{2}\sin(\theta ){\dot {\phi }}}$$c'est-à-dire les deux composantes angulaires du moment cinétique ${\displaystyle {\vec {L}}={\vec {r}}\times {\vec {p}}}$, à un signe près pour ${\displaystyle L_{\theta }}$. Attention cependant aux indices, on a ${\displaystyle I_{\theta }=L_{\phi }}$ et ${\displaystyle I_{\phi }=-L_{\theta }}$, et on a bien sûr ${\displaystyle L_{r}=0}$ par définition du produit vectoriel.

Énergie

Si on a cette fois un système qui est invariant dans le temps, on a alors un lagrangien qui est indépendant du temps ${\displaystyle L(t+\delta t)=L(t)}$, ${\displaystyle \partial _{t}L=0}$. La transformation est ici une translation dans le temps, et se traduit pour les coordonnées temporelles par $${\displaystyle q_{i}(t)\rightarrow {\tilde {q}}_{i}(t)=q_{i}(t+\delta t)=q_{i}(t)+\delta t{\dot {q}}_{i}}$$

ce qui conduit à la quantité conservée

$${\displaystyle I=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{i}}}}}{\frac {\partial q_{i}}{\partial t}}.}$$Le lagrangien étant conservé aussi, on a la quantité totale

$${\displaystyle H=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\dot {q}}_{i}-L}$$

qui est conservée, or ce n'est rien d'autre que le hamiltonien du système. Le hamiltonien (l'énergie) est donc conservé pour les systèmes indépendants (explicitement) du temps.

Théorie des champs classique

Le théorème de Noether est aussi valide en théorie des champs classique où le lagrangien est remplacé par une densité lagrangienne qui dépend de champs plutôt que de variables dynamiques. La formulation du théorème reste sensiblement la même^[3] :

Théorème de Noether — À toute transformation infinitésimale qui laisse la densité lagrangienne d'un système invariante à une quadridivergence près correspond une quantité conservée.

Démonstration

Soit une densité lagrangienne ${\displaystyle {\mathcal {L}}={\mathcal {L}}[\varphi _{i}(x),\partial _{\mu }\varphi _{i}(x),x]}$ où ${\displaystyle [\varphi _{i}(x),\partial _{\mu }\varphi _{i}(x),x]}$ dénote une dépendance de la densité lagrangienne sur ${\displaystyle N}$ champs scalaires (la preuve peut se généraliser à des champs vectoriels ou tensoriels) ${\displaystyle \varphi _{i}(x)}$ (${\displaystyle i=1,...,N}$) et de leur différentes dérivées partielles en espace et en temps (${\displaystyle \partial _{\mu }}$ est l'opérateur de dérivation par rapport à l'indice ${\displaystyle \mu \in \{0,...,3\}}$ i.e.: ${\displaystyle \partial _{\mu }\equiv {\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}}$). Chaque champ dépend d'une unique variable d'espace-temps ${\displaystyle x\equiv (x^{0},...,x^{3})}$ où ${\displaystyle x^{0}}$ représente le temps et ${\displaystyle x^{j}}$ représente une des trois variables d'espace avec ${\displaystyle j=1,...,3}$. Selon le principe de moindre action, l'intégrale d'action ${\displaystyle S[\varphi _{i}(x)]}$ doit être stationnaire :

$${\displaystyle S\equiv \int {\mathcal {L}}[\varphi _{i}(x),\partial _{\mu }\varphi _{i}(x),x]d^{4}x}$$

$${\displaystyle \delta S=0.}$$

Ce principe d'action stationnaire mène directement aux équations d'Euler-Lagrange en théorie des champs :

$${\displaystyle \partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi _{i})}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \varphi _{i}}}=0}$$

où la convention d'Einstein sur les indices répétés est utilisée ici. Soit une transformation infinitésimale d'un des champs ${\displaystyle \varphi _{i}(x)\rightarrow \varphi _{i}'(x)=\varphi _{i}(x)+\alpha \Delta \varphi _{i}(x)}$ où ${\displaystyle \Delta \varphi _{i}(x)}$ représente la déformation du champ et ${\displaystyle \alpha }$ est un paramètre infinitésimal (la preuve peut facilement être généralisée avec une déformation de plusieurs champs en même temps). Si la densité lagrangienne est invariante à une quadri-divergence près sous cette transformation infinitésimale, c'est-à-dire que :

$${\displaystyle {\mathcal {L}}\rightarrow {\mathcal {L}}+\alpha \Delta {\mathcal {L}}={\mathcal {L}}+\alpha \partial _{\mu }J^{\mu }(x)}$$

pour une certaine fonction ${\displaystyle J^{\mu }}$. Alors, en comparant les termes au 1er ordre du développement de Taylor de la densité lagrangienne :

$${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha \Delta {\mathcal {L}}&={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \varphi _{i}}}(\alpha \Delta \varphi _{i})+\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi _{i})}}\right)\partial _{\mu }(\alpha \Delta \varphi _{i})\\&=\alpha \partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi _{i})}}\Delta \varphi _{i}\right)+\alpha \left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \varphi _{i}}}-\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi _{i})}}\right)\right]\Delta \varphi _{i}.\end{aligned}}}$$

Le deuxième terme est nul car il s'agit de l'équation d'Euler-Lagrange pour le champ ${\displaystyle \varphi _{i}}$. On a donc finalement, par comparaison directe :

$${\displaystyle \partial _{\mu }J^{\mu }(x)=\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi _{i})}}\Delta \varphi _{i}\right)}$$

Ainsi, la quantité conservée du système est la suivante :

$${\displaystyle j^{\mu }\equiv J^{\mu }(x)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi _{i})}}\Delta \varphi _{i}}$$

car

$${\displaystyle \partial _{\mu }j^{\mu }=0.}$$

Invariance de jauge et second théorème de Noether

On considère de manière générale pour une densité de lagrangien quelconque $${\displaystyle {\mathcal {L}}[\psi _{i},\partial _{\mu }\psi _{i},x^{\mu }]}$$

dont l'action associée doit être stationnaire pour toute transformation infinitésimale des champs selon le Principe de Hamilton. On a donc

$${\displaystyle \delta S=\int {\textrm {d}}^{4}x\;\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \psi _{i}}}\delta \psi _{i}+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\psi _{i})}}\delta \partial _{\mu }\psi _{i}\right]=\int {\textrm {d}}^{4}x\;\left[\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \psi _{i}}}-\partial _{\mu }{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\psi _{i})}}\right)\delta \psi _{i}+\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\psi _{i})}}\delta \psi _{i}\right)\right]=0}$$

où on a utilisé la convention d'Einstein pour la sommation sur les indices répétés, et où on a mis de côté les possibles transformations de l'espace-temps (on a pris ${\displaystyle \delta x^{\mu }=0}$ ). On voit donc que l'on peut reformuler ce résultat de manière générale comme

$${\displaystyle [\psi ]_{i}\delta \psi _{i}=-\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\psi _{i})}}\delta \psi _{i}\right),\qquad [\psi ]_{i}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \psi _{i}}}-\partial _{\mu }{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\psi _{i})}}}$$

avec ${\displaystyle [\psi ]_{i}}$ représentant donc les équations du mouvement pour le champ ${\displaystyle \psi _{i}}$.

On s'intéresse maintenant à une densité de lagrangien invariante sous une transformation de jauge, c'est-à-dire une transformation locale des champs. Dans ce cas on va voir que l'on applique cette fois le second théorème de Noether.

Plus précisément on considère ici une densité de lagrangien invariante sous un groupe de transformation de dimension infinie et dépendant continûment de ${\displaystyle \rho }$ fonctions ${\displaystyle p_{\alpha }(x^{\mu }),\;\;\alpha =1,\;...,\;\rho }$ , groupe que l'on notera ${\displaystyle G_{\infty \rho }}$. On voit que dans le cas d'une telle transformation la variation infinitésimale des champs ${\displaystyle \delta \psi _{i}}$ dans l'équation ci-dessus se décompose comme

$${\displaystyle \delta \psi _{i}=\sum _{\alpha }\left[a_{\alpha i}(\psi _{i},\partial _{\mu }\psi _{i},x^{\mu })\Delta p_{\alpha }(x^{\mu })+b_{\alpha i}^{\nu }(\psi _{i},\partial _{\mu }\psi _{i},x^{\mu })\partial _{\nu }\Delta p_{\alpha }(x^{\mu })\right]}$$

où la notation ${\displaystyle \Delta p_{\alpha }}$ dénote le fait que l'on considère un ${\displaystyle p_{\alpha }}$ infinitésimal. On voit donc que l'on peut reprendre l'équation précédente sous forme intégrale pour obtenir

$${\displaystyle \int d^{4}x\,[\psi ]_{i}\left(a_{\alpha i}\Delta p_{\alpha }+b_{\alpha i}^{\nu }\partial _{\nu }\Delta p_{\alpha }\right)=\int d^{4}x\,\left(a_{\alpha i}[\psi ]_{i}-\partial _{\nu }\left(b_{\alpha i}^{\nu }[\psi ]_{i}\right)\right)\Delta p_{\alpha }+\int d^{4}x\,\partial _{\nu }\left(b_{\alpha i}^{\nu }[\psi ]_{i}\partial _{\nu }\Delta p_{\alpha }\right)}$$$${\displaystyle \Longrightarrow \qquad \int d^{4}x\left(a_{\alpha i}[\psi ]_{i}-\partial _{\nu }\left(b_{\alpha i}^{\nu }[\psi ]_{i}\right)\right)\Delta p_{\alpha }=-\int d^{4}x\,\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\psi _{i})}}\delta \psi _{i}+b_{\alpha i}^{\mu }[\psi ]_{i}\Delta p_{\alpha }\right)}$$or on voit ici que le second terme de la seconde équation est un terme de bord, et les fonctions ${\displaystyle p_{\alpha }}$ étant arbitraires on peut toujours les choisir de sorte que ce terme s'annule. On obtient alors le second théorème de Noether^[4]

Théorème — Si l'action S est invariante sous un groupe de transformation ${\displaystyle G_{\infty \rho }}$ alors il existe ${\displaystyle \rho }$ relations ${\displaystyle a_{\alpha i}[\psi ]_{i}-\partial _{\nu }\left(b_{\alpha i}^{\nu }[\psi ]_{i}\right)=0}$.

Exemple

Considérons par exemple la densité de Lagrangien

$${\displaystyle {\mathcal {L}}=(\partial _{\mu }+iqA_{\mu })\psi (\partial ^{\mu }+iqA^{\mu })\psi ^{*}-m^{2}\psi \psi ^{*}-{\frac {1}{4}}F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }}$$où ${\displaystyle F_{\mu \nu }}$ne dépend que des dérivées première de ${\displaystyle A_{\mu }}$ (dans le cas abélien du moins). Elle est invariante sous la transformation de jauge locale

$${\displaystyle \psi \rightarrow {\tilde {\psi }}=e^{iq\theta (x)}\psi ,\qquad \psi ^{*}\rightarrow {\tilde {\psi }}^{*}=e^{-iq\theta (x)}\psi ^{*},\qquad A_{\mu }\rightarrow {\tilde {A}}_{\mu }=A_{\mu }+\partial _{\mu }\theta (x)}$$

où voit qu'ici on a une seule fonction continue ${\displaystyle p_{\alpha }}$ dans notre groupe de transformation, que l'on a noté ${\displaystyle \theta (x)}$. Cette transformation correspond sous forme infinitésimale à

$${\displaystyle \delta \psi =iq\delta \theta \psi ,\qquad \delta \psi ^{*}=-iq\delta \theta \psi ^{*},\qquad \delta A_{\mu }=\partial _{\mu }\theta }$$on a alors $${\displaystyle a_{\psi }=iq\psi ,\qquad a_{\psi ^{*}}=-iq\psi ,\qquad b_{\psi }=b_{\psi ^{*}}a_{A_{\mu }}=0,\qquad b_{A_{\mu }}^{\nu }=\delta _{\mu }^{\nu }.}$$

On en déduit que dans le cas de cette densité de Lagrangien on a la relation

$${\displaystyle [\psi ]iq\psi +[\psi ^{*}](-iq\psi ^{*})=\partial _{\mu }\left([A_{\nu }]\delta _{\nu }^{\mu }\right)=\partial _{\mu }[A_{\mu }].}$$

On voit alors ici que si les équations du mouvement sont satisfaites pour les deux champs de masse ${\displaystyle \psi }$ et ${\displaystyle \psi ^{*}}$ on a alors

$${\displaystyle \partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial A_{\mu }}}-\partial _{\nu }{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }A_{\mu })}}\right)=0}$$

or sachant que l'on a ${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial A_{\mu }}}=0}$ et ${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }A_{\mu })}}=F^{\mu \nu }}$ on en déduit qu'ici le courant ${\displaystyle J^{\mu }=\partial _{\nu }F^{\mu \nu }}$ est conservé. Cela implique notamment que ${\displaystyle F^{\mu \nu }}$ soit complètement antisymétrique, et donc construit à partir de ${\displaystyle \partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }}$.

De même si à l'inverse on impose que les équations de l'électromagnétisme soient satisfaites c'est-à-dire ${\displaystyle [A_{\mu }]=0}$ on obtient l'équation de conservation du quadri courant électrique usuel

$${\displaystyle \partial _{\mu }j^{\mu }=0,\qquad j^{\mu }=iq\left(\psi ^{*}(\partial ^{\mu }+iqA^{\mu })\psi -\psi (\partial ^{\mu }+iqA^{\mu })\psi ^{*}\right).}$$

Symétries internes

Dans la culture

Dans Le Pyrophore, le narrateur ambitionne de découvrir de « quelles symétries naissent les invariants par le Noether des mers »^[5].

Notes et références

1. (en) Leon M. Lederman et Christopher T. Hill, Symmetry and the Beautiful Universe, Prometheus Book, 2008, 363 p. (ISBN 978-1-59102-575-7, lire en ligne), p. 73.
2. « Aperçu sur la relation entre le Théorème de Noether et le Lagrangien », sur www-cosmosaf.iap.fr (traduction libre par J. Fric de Noether's Theorem in a Nutshell de J. Baez).
3. (en) Herbert Goldstein, Classical Mechanics, p. 589.
4. (en) Katherine Brading et Harvey R. Brown, « Noether’s Theorems and Gauge Symmetries », arXiv,‎ 2000 (lire en ligne).
5. Simon Giz, Le pyrophore, dans Le journal d'un pyrophore

Voir aussi

Bibliographie

• Amaury Mouchet, L'Élégante Efficacité des symétries, chap. 10, Dunod, 2013 (ISBN 978-2-1005-8937-1) 240 pages.
• (en) Nina Byers, « E. Noether's Discovery of the Deep Connection Between Symmetries and Conservation Laws », Proceedings of a Symposium on the Heritage of Emmy Noether, Université Bar-Ilan, Israël,‎ 2-4 décembre 1996, « physics/9807044 », texte en accès libre, sur arXiv.
• (en) G. Sardanashvily (en), Noether conservation laws in classical mechanics, 2003. « math-ph/0302027 », texte en accès libre, sur arXiv.
• (en) G. Sardanashvily, Noether conservation laws in quantum mechanics, 2003. « quant-ph/0302123 », texte en accès libre, sur arXiv.
• [Kosmann-Schwarzbach 2006] Yvette Kosmann-Schwarzbach (avec la collab. de Laurent Meersseman), Les théorèmes de Noether : invariance et lois de conservation au XX^e siècle : avec une traduction de l'article original, « Invariante Variationsprobleme », Palaiseau, École polytechnique, coll. « Histoire des mathématiques », juill. 2006 (réimpr. déc. 2010), 2^e éd. (1^re éd. sept. 2004), 1 vol., 201, portr. et fac-sim., 17 × 24 cm (ISBN 2-7302-1138-1 et 978-2-7302-1138-3, EAN 9782730211383, OCLC 793156865, BNF 39289569, SUDOC 15030952X, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Serra et Ménétrier 2009] Gérard Serra et Marc Ménétrier, « Les théorèmes de Noether », Bulletin de l'Union des professeurs de physique et de chimie, vol. 103, n^o 914,‎ mai 2009, p. 549-561 (résumé, lire en ligne [PDF]).
• (en) Dwight E. Neuenschwander, Emmy Noether's Wonderful Theorem, The Johns Hopkins University Press, Baltimore, 2011 (ISBN 978-0-8018-9694-1) 243 pages.

Article original

• [Noether 1918] (de) Emmy Noether, « Invariante Variationsprobleme » [« Problèmes variationnels invariants »], Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse, vol. 1918, n^o 2,‎ 1918, p. 235-257 (lire sur Wikisource, lire en ligne).

Dictionnaires et encyclopédies

• [Alekseevskii 1995] (en) D. V. Alekseevskii, « Noether theorem : 1) Noether's first theorem », dans Michiel Hazewinkel (éd.), Encyclopaedia of mathematics : an updated and annotated translation of the Soviet Mathematical encyclopaedia [« Encyclopédie de mathématiques : traduction, mise à jour et annotée, de l’Encyclopédie de mathématiques soviétique »], t. IV : Monge-Ampère equation – Rings and algebras [« Équation de Monge-Ampère – Anneaux et algèbres »], Dordrecht et Boston, Kluwer Academic, 1995 (réimpr. en 6 vol.), 1^re éd., 1 vol., 929, fig., 21 × 29,7 cm (ISBN 1-556-08010-7 et 978-0-7923-2975-6, EAN 9781556080104, OCLC 36917086, DOI 10.1007/978-1-4899-3791-9, SUDOC 030253195, lire en ligne), s.v. Noether theorem : 1) Noether's first theorem [« Théorème de Noether : 1) Premier théorème de Noether »], p. 113-114.

Articles connexes

• Calcul des variations
• Second théorème de Noether (en)
• Mécanique lagrangienne
• Mécanique hamiltonienne
• Action (physique)
• Principe de moindre action
• Électromagnétisme
• Mécanique quantique
• Théorie quantique des champs
• Théorème de Noether (mathématiques)

Liens externes

• Notices dans des dictionnaires ou encyclopédies généralistes :

  • Britannica
  • Store norske leksikon
  • Visuotinė lietuvių enciklopedija

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