Une région extérieure au rayon de Schwarzschild est celle où la coordonnéet est de genre temps et les coordonnées r, θ et φ sont de genre espace[10].
La métrique de Schwarzschild est une solution de l'équation d'Einstein pour le vide[12]. Elle est à symétrie sphérique et dépend d'un paramètre M correspondant à la masse[12]. Elle peut s'exprimer dans un système de coordonnées d'espace-temps avec r tel que l'aire des sphères—qui sont les orbites du groupe des rotations— soit 4πr2[12]. Dans ce système de coordonnées et pour M > 0, la métrique présente une singularité à r = 2GM / c2[12]. Dans la région r > 2GM / c2, la métrique est statique et représente le champ gravitationnel en dehors d'un corps à symétrie sphérique, statique et dont l'aire correspond à r0 > 2GM / c2[12]. Le théorème répond à la question de savoir si la métrique reste applicable sans avoir à supposer que le corps soit statique[12].
À la suite des travaux d'Ernst Schmutzer[16] et de Hubert Goenner[17], et de leur citation par Hans-Jürgen Schmidt[18] puis Stanley Deser et Joel Franklin[19], il est désormais admis qu'il avait déjà été publié deux ans plus tôt par un physicien norvégien alors méconnu, Jørg Tofte Jebsen(en)[20]. Depuis, il est souvent question du «théorème de Jebsen-Birkhoff» dans les publications scientifiques[21]. D'après Deser et Franklin[19], le théorème a également été obtenu indépendamment par W. Alexandrow dès [22] et par J. Eisland deux ans plus tard[23].
L'idée du théorème de Birkhoff est qu'un champ gravitationnel de symétrie sphérique doit être généré par un objet massif à l'origine: s'il y avait une autre concentration de masse-énergie ailleurs, cela perturberait la symétrie sphérique, donc, on peut s'attendre à ce que la solution représente un objet isolé. Le champ devrait disparaître à grande distance de l'objet, ce qui correspond partiellement à une solution asymptotiquement plate. Ainsi, cette part du théorème correspond à ce que l'on attend du fait que la gravitation newtonienne est un cas limite de la relativité générale.
Le théorème montre qu'il est inutile de supposer que l'espace-temps est statique pour obtenir la métrique de Schwarzschild[24]: supposer que l'espace-temps est à symétrie sphérique est nécessaire mais suffisant[24].
La conclusion que le champ extérieur doit être stationnaire est plus surprenante, et a une conséquence importante. Considérons une étoile sphérique de masse fixe soumise à des pulsations sphériques. Alors, le théorème de Birkhoff dit que sa géométrie extérieure doit obéir à la métrique de Schwarzschild: le seul effet de la pulsation est de changer la position de la surface stellaire.
À l'extérieur d'un système qui n'est pas statique mais dont l'évolution temporelle préserve la symétrique sphérique, l'espace-temps est celui dont la géométrie est décrite par la métrique de Schwarzschild[25].
Une autre conséquence intéressante du théorème de Birkhoff est que pour une fine couche sphérique, la solution intérieure doit obéir à la métrique de Minkowski. En d'autres termes, le champ gravitationnel doit s'annuler à l'intérieur d'une couche sphérique. Ceci est en accord avec la gravitation newtonienne.
En vertu du théorème de de Birkhoff, une étoile statique doit avoir un rayon supérieur au rayon de Schwarzschild[26]:
,
où:
et son respectivement le rayon et la masse de l'étoile;
Le théorème de Birkhoff peut être généralisé: toute solution à symétrie sphérique des équations de champ d'Einstein-Maxwell doit être stationnaire et asymptotiquement plate, ce qui implique que la géométrie extérieure d'une étoile chargée sphérique doit correspondre à celle d'un trou noir de Reissner-Nordström.
Il n'existe pas de généralisation du théorème de Birkhoff pour le cas d'un espace-temps à symétrie axiale[27], notamment pour l'effondrement gravitationnel d'un corps en rotation[28]. En particulier, la métrique de Kerr n'est pas la métrique extérieure au corps en rotation pendant son effondrement gravitationnel[28].
(en) Nils Voje Johansen et Finn Ravndal, «On the discovery of Birkhoff's theorem», General Relativity and Gravitation, vol.38, no3, , p.537-540 (DOI10.1007/s10714-006-0242-0, arXivphysics/0508163v2).
(en) Anne Marie Nzioki, Rituparno Goswami et Peter K. S. Dunsby, «Jebsen-Birkhoff theorem and its stability in f(R) gravity», Physical Review D, vol.89, , p.064050 (DOI10.1103/PhysRevD.89.064050).
(en) Christian Heinicke et Friedrich W. Hehl, «Schwarzschild and Kerr solutions of Einstein's field equation: an introduction» [«Les solutions de Schwarzschild et de Kerr de l'équation du champ d'Einstein: une introduction»], Int. J. Mod. Phys. D, vol.24, no2, , p.1530006 (OCLC5823012032, DOI10.1142/S0218271815300062, Bibcode2015IJMPD..2430006H, arXiv1503.02172, résumé)— réimpr. dans:
[Knutsen 2006] (en) Henning Knutsen, «Jørg Tofte Jebsen, the forgotten Norwegian relativist who first obtained Birkhoff's theorem», dans Jean-Michel Alimi and André Füzfa (éd.), Albert Einstein century international conference (acte de la conférence internationale tenue à Paris du au ), Melville, American Institute of Physics, coll.«AIP Conference Proceedings» (no861), , XXIII-260p., 28 cm (ISBN978-0-7354-0359-8, EAN9780735403598, OCLC494342472, BNF40962775, DOI10.1063/1.2399709, SUDOC113279140).
[Schmidt 1997] (en) Hans-Jürgen Schmidt, «A new proof of Birkhoff's theorem», Gravitation and Cosmology, vol.3, no3, , p.185-190 (Bibcode1997GrCo....3..185S, arXivgr-qc/9709071).
[Reall 2017] (en) Harvey S. Reall, Black holes (notes de cours), Cambridge, Université de Cambridge, , VIII-148p., 30 cm (lire en ligne[PDF]), §2.1 «Birkhoff's theorem», p.11-12.
Thèses
[Dul 2016] (en) Filip Dul, «The geometry of spacetime and its singular nature», Honors Scholar Theses, no497, , p.32p., §2.2 «Birkhoff's theorem», p.7-10 (résumé, lire en ligne, consulté le ).
