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forme géométrique De Wikipédia, l'encyclopédie libre
En géométrie dans l'espace, une sphère est une surface constituée de tous les points situés à une même distance d'un point appelé centre. La valeur de cette distance au centre est le rayon de la sphère. La géométrie sphérique est la science qui étudie les propriétés des sphères. La surface de la Terre peut, en première approximation, être modélisée par une sphère dont le rayon est d'environ 6 371 km.
Sphère | |
![]() Une sphère avec son rayon r et son diamètre d. | |
Type | Solide de révolution |
---|---|
Faces | Une surface sphérique |
Volume | |
Aire | |
Propriétés | Constructible |
modifier ![]() |
Plus généralement en mathématiques, dans un espace métrique, une sphère est l'ensemble des points situés à même distance d'un centre. Sa forme peut alors être très différente de la forme ronde usuelle. Une sphère est également un ellipsoïde dégénéré.
Une sphère « pleine » est une boule, dont les points ont une distance au centre inférieure ou égale au rayon.
Pendant longtemps, le langage courant a employé le mot « sphère » autant pour nommer la surface que le solide qu'elle délimite[1]. De nos jours, la sphère désigne exclusivement la surface et le solide, quant à lui, porte le nom de boule.
D'autres termes méritent d’être définis :
En géométrie cartésienne, l'espace étant muni d'un repère orthonormé , une sphère de centre et de rayon est l'ensemble des points tels que[Note 1] :
Les points de la sphère de rayon r et de centre O peuvent être paramétrés par :
On peut voir comme la latitude et comme la longitude. (Voir fonctions trigonométriques et coordonnées sphériques.)
L'aire d'une sphère de rayon est :
Le volume de la boule qu'elle renferme est :
Sa « compacité », c'est-à-dire son rapport aire-volume, est donc :
Le moment d'inertie d'une boule homogène de rayon , de masse volumique et de masse M, par rapport à un axe passant par son centre est :
Le moment d'inertie d'une sphère homogène de rayon et de masse M, par rapport à un axe passant par son centre est :
L'élément d'aire de la sphère de rayon dans les coordonnées latitude-longitude (-) est . On en déduit que l'aire d'un fuseau (portion limitée par deux demi-cercles joignant les pôles et faisant un angle exprimé en radians) est .
Cela permet aussi de calculer l'aire d'une zone sphérique, c’est-à-dire d'une portion de sphère limitée par deux plans parallèles qui intersectent la sphère (ou lui sont tangents). On trouve où désigne la distance des deux plans : l'aire est la même que celle d'un cylindre circulaire de même hauteur tangent à la sphère (cylindre circonscrit). Ce résultat remarquable est démontré par Archimède dans son traité De la sphère et du cylindre[2]. Selon Cicéron, Archimède aurait demandé que soient gravés sur son tombeau, en mémoire de ce résultat, une sphère et son cylindre circonscrit[3].
Le cylindre circonscrit à une sphère donnée a un volume égal à 1,5 fois le volume de la sphère.
La sphère a la plus petite aire parmi les surfaces renfermant un volume donné et renferme le volume le plus élevé parmi les surfaces d'une aire donnée. Elle est la réponse à la question d'isopérimétrie pour l'espace euclidien de dimension 3. Pour cette raison, la sphère apparaît dans la nature, par exemple les bulles et gouttes d'eau (en l'absence de gravité) sont des sphères car la tension superficielle essaie de minimiser l'aire.
Par quatre points non coplanaires A, B, C et D (ABCD est un tétraèdre non aplati), il passe une seule et unique sphère, appelée sa sphère circonscrite.
Les six plans médiateurs des arêtes du tétraèdre se coupent au centre de la sphère.
On peut démontrer que la sphère est une surface non développable. Il n'existe pas de patron de la sphère. Néanmoins il est possible, en pratique, d'obtenir des surfaces développables approchant la sphère très fidèlement, c'est le cas de tous les ballons cousus. Voir : ballon de football (icosaèdre tronqué), ballon de volley-ball, et ballon fantaisie (en fuseaux de pôle à pôle.)
Notez que la pression interne gauchit les surfaces et fidélise l'approche… Plus on gonfle, plus la sphère s'approche de la perfection.
On peut généraliser le concept de sphère à un espace de dimension entière quelconque. Pour tout entier naturel n, une n-sphère de rayon r est l'ensemble des points de l'espace euclidien à (n+1) dimensions qui sont à distance fixée r d'un point de cet espace (r est un réel strictement positif). Par exemple :
Les sphères de dimension n > 2 sont parfois appelées hypersphères. La n-sphère de rayon 1 est notée Sn.
L'aire d'une (n−1)-sphère de rayon r est
où Γ est la fonction gamma d'Euler
et le volume d'une n-boule de rayon r est égal au produit de cette aire par , donc à
Selon le contexte, en particulier en topologie, le mot sphère (ou n-sphère si on veut rappeler la dimension) peut être utilisé pour désigner n'importe quel espace topologique homéomorphe à une n-sphère au sens défini dans la section précédente[4].
La caractéristique d'Euler d'une n-sphère vaut 2 si n est pair, et 0 si n est impair.
Dans les logiciels de CAO ou d'infographie (par exemple[5] Blender), la sphère est très utilisée en tant que primitive géométrique. Les caractéristiques du maillage qui sert à sa représentation sont précisées par l'utilisateur (ajustement de la finesse).
C'est une variété (de dimension 2, sans bord).
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