Fonction gamma

En mathématiques, la fonction gamma (notée par Γ, la lettre majuscule gamma de l'alphabet grec) est une fonction utilisée communément, définie sur l'ensemble des nombres complexes excepté les entiers négatifs ou nuls. Elle est un exemple typique de fonction étudiée par l'analyse complexe.

Tracé de la fonction gamma le long de l'axe des réels.

On a pour tout entier ${\displaystyle n}$ strictement positif, ${\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!}$ (où ${\displaystyle (n-1)!}$ est la factorielle de ${\displaystyle n-1}$). Ainsi Γ prolonge-t-elle la fonction factorielle à son domaine (à un décalage de 1 près).

Cette fonction est l'une des plus importantes fonctions spéciales ; ce qui signfie qu'elle joue un rôle pilier en analyse, et qu'elle n'est pas élémentaire (informellement, on ne peut pas l'écrire de manière élémentaire à l'aide des fonctions élémentaires vues au lycée).

Définition

Définition de base

La fonction gamma, notée Γ, est définie pour tout ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ tel que ${\displaystyle \mathrm {Re} (z)>0}$, et elle à valeurs dans ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Elle est définie par :

${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{+\infty }t^{z-1}\,\mathrm {e} ^{-t}\,\mathrm {d} t}$.

C'est une intégrale paramétrée par ${\displaystyle z}$, l'intégration se faisant sur ${\displaystyle t}$. Cette intégrale impropre converge absolument sur le demi-plan complexe où la partie réelle est strictement positive^[1], et une intégration par parties^[1] montre que sur son domaine Γ vérifie l'équation fonctionnelle :

${\displaystyle \Gamma (z+1)=z\;\Gamma (z)}$.

La fonction ainsi définie est également connue sous le nom d'intégrale d'Euler de seconde espèce.

Définition prolongée

Tracé du module de la fonction gamma (prolongée) autour de l'origine du plan complexe. Les cinq « cheminées roses » correspondent à des pôles.

La fonction Γ peut être prolongée analytiquement en une fonction méromorphe sur ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0,-1,-2,\ldots \}}$, admettant comme pôles 0, −1, −2,…

C'est cette définition de la fonction gamma dont nous nous servons dans cet article ; convention partagée par de nombreux auteurs. Nous notons toujours ce prolongement Γ.

L'équation fonctionnelle est toujours valide

Un résultat essentiel est que l'équation fonctionnelle vue au-dessus est encore vraie pour le prolongement, sur tout son domaine.

Démonstration

La démonstration est malgré la longueur très triviale, à condition de connaître le principe des zéros isolés...

On pose ${\displaystyle E=\mathbb {C} \setminus \{0,-1,-2,\ldots \}}$, et ${\displaystyle f:E\to \mathbb {C} ,\;z\mapsto \Gamma (z+1)-z\Gamma (z)}$.

L'objectif est de montrer que ${\displaystyle f}$ est nulle sur ${\displaystyle E}$ (la conclusion sera triviale).

• Déjà, on remarque ${\displaystyle E}$ est ouvert.

Pour ce faire, on montre que ${\displaystyle F=\{0,-1,-2,\ldots \}}$ est fermé. Soit ${\displaystyle (z_{n})\in F^{\mathbb {N} }}$ qui converge vers ${\displaystyle l}$. Alors on a classiquement ${\displaystyle z_{n+1}-z_{n}\to 0}$. On a donc ${\displaystyle z_{n+1}-z_{n}\leq {\frac {1}{2}}}$ à partir d'un certain rang ${\displaystyle N}$. Or, la distance entre deux éléments distincts de ${\displaystyle F}$ est trivialement ${\displaystyle \geq 1}$. Il s'ensuit que l'on a nécessairement ${\displaystyle z_{n+1}-z_{n}=0}$ pour ${\displaystyle n\geq N}$. Et donc (avec une récurrence immédiate) ${\displaystyle z_{n}=z_{N}}$ pour ${\displaystyle n\geq N}$, puis en faisant tendre ${\displaystyle n}$ vers ${\displaystyle +\infty }$, ${\displaystyle l=z_{N}}$, et donc ${\displaystyle l\in F}$.

• On montre également que ${\displaystyle E}$ est connexe.

${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ et ${\displaystyle \mathbb {C} }$ sont classiquement homéomorphes (en tant que ${\displaystyle \mathbb {R} }$-EVN, en considérant les topologies induites) via ${\displaystyle \phi (a,b)=a+ib}$. ${\displaystyle A=\mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0;0),(-1;0),(-2;0),\ldots \}}$ est classiquement connexe par arcs (on a en effet privé ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ d'une partie dénombrable). Dès lors, ${\displaystyle E=\phi (A)}$ est également connexe par arcs ; et donc connexe.

• Ensuite, on peut voir que ${\displaystyle f}$ est analytique. Cela découle trivialement du caractère analytique de ${\displaystyle \Gamma }$ (par construction), puis par conservation du caractère par opérations élémentaires (composition triviale, produit trivial, différence).

• Les hypothèses nécessaires pour appliquer le principe des zéros isolés sont donc réunies. Or, l'équation fonctionnelle invoquée dans la définition de base montre que ${\displaystyle f}$ est nulle pour tout ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ quand ${\displaystyle \mathrm {Re} (z)>0}$ ; ${\displaystyle f}$ est donc a fortiori nulle sur la boule ouverte ${\displaystyle \mathrm {B} (1,1)}$. ${\displaystyle f}$ est donc nulle sur tout son domaine. CQFD.

Calcul de Γ prolongée

Soit ${\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \{0,-1,-2,\ldots \}}$ tel que ${\displaystyle \mathrm {Re} (z)\leq 0}$.

En itérant l'équation fonctionnelle, on a cette relation :

${\displaystyle \forall k\in \mathbb {N} ,\quad \Gamma (z)={\frac {\Gamma (z+k)}{z(z+1)\ldots (z+k-1)}}}$.

Il suffit alors de prendre ${\displaystyle k}$ suffisamment grand (i.e. tel que ${\displaystyle \mathrm {Re} (z+k)>0}$) pour se ramener à la définition de base.

Par exemple, en usant de la valeur de ${\displaystyle \Gamma (1/2)}$ donnée plus bas, on a ${\displaystyle \Gamma (-3/2)={\frac {\Gamma (1/2)}{(-3/2)\times (-1/2)}}={\frac {4}{3}}\Gamma (1/2)={\frac {4{\sqrt {\pi }}}{3}}}$.

Autres définitions

Par changement de variable, l'intégrale précédente (pour Re(z) > 0) s'écrit aussi :

${\displaystyle \Gamma (z)=2\int _{0}^{+\infty }u^{2z-1}\mathrm {e} ^{-u^{2}}\,\mathrm {d} u\quad {\text{et}}\quad \Gamma (z)=\int _{0}^{1}\left(-\ln s\right)^{z-1}\,\mathrm {d} s}$.

La définition suivante de la fonction gamma par produits infinis, due à Euler, a un sens pour les nombres complexes z qui ne sont pas des entiers négatifs ou nuls^[2] :

${\displaystyle \Gamma (z)=\lim _{n\to {+\infty }}{\frac {n!\;n^{z}}{z\;(z+1)\cdots (z+n)}}={\frac {1}{z}}\,\prod _{k=1}^{+\infty }{\frac {\left(1+{\frac {1}{k}}\right)^{z}}{1+{\frac {z}{k}}}}}$.

Elle est équivalente à celle donnée par Schlömilch^[3],[4],[5] :

${\displaystyle \Gamma (z)={\frac {\operatorname {e} ^{-\gamma z}}{z}}\prod _{k=1}^{+\infty }{\frac {\operatorname {e} ^{\frac {z}{k}}}{1+{\frac {z}{k}}}}}$

où ${\displaystyle \gamma =\sum _{k=1}^{\infty }\left[{\frac {1}{k}}-\ln \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\right]}$ est la constante d'Euler-Mascheroni.

Propriétés

Lien avec la factorielle

De Γ(z+1) = zΓ(z) et Γ(1) = 1, on déduit :

${\displaystyle \forall \,n\in \mathbb {N} ,\;\Gamma (n+1)=n!}$.

On interprète donc la fonction gamma comme un prolongement de la factorielle à l'ensemble des nombres complexes (à l'exception des entiers négatifs ou nuls).

Une notation alternative est la fonction Π, introduite par Gauss :

${\displaystyle \Pi (z)=\Gamma (z+1)=z\;\Gamma (z)}$ (et donc ${\displaystyle \Gamma (z)=\Pi (z-1)=\Pi (z)/z}$),

de telle façon que :

${\displaystyle \Pi (n)=n!}$.

Pas de racine

La fonction gamma ne s'annule jamais. Ce résultat fondamental n'est pas trivial, à moins de connaitre la formule des compléments.

Caractérisations

Sur l'ensemble des réels > 0

La fonction gamma (restreinte à ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{*}}$) est la seule fonction de ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{*}}$ dans ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{*}}$ vérifiant les trois propriétés suivantes (théorème de Bohr-Mollerup) :

• ${\displaystyle \Gamma (1)=1\,}$;
• ${\displaystyle \Gamma (x+1)=x\;\Gamma (x)\,}$ (sur tout le domaine) ;
• ${\displaystyle \Gamma }$ est logarithmiquement convexe (i.e. ${\displaystyle \ln \circ \,\Gamma }$ est convexe).

Sur le demi-plan complexe Re(z)>0

La fonction gamma (restreinte à ${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} \mid \mathrm {Re} (z)>0\}}$) est la seule fonction de ${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} \mid \mathrm {Re} (z)>0\}}$ dans ${\displaystyle \mathbb {C} }$ vérifiant les quatre propriétés suivantes (théorème de Wielandt) :

• ${\displaystyle \Gamma (1)=1\,}$;
• ${\displaystyle \Gamma (z+1)=z\;\Gamma (z)\,}$ (sur tout le domaine) ;
• ${\displaystyle \Gamma }$ est holomorphe ;
• ${\displaystyle \Gamma }$ est bornée sur l'ensemble ${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} \mid 1<\mathrm {Re} (z)<2\}}$.

Autres propriétés

Formule des compléments

La fonction gamma vérifie la formule de réflexion d'Euler, ou formule des compléments :

${\displaystyle \forall z\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {Z} \quad \Gamma (1-z)\;\Gamma (z)={\pi \over \sin(\pi z)}}$.

On la démontre aisément à l'aide de la définition d'Euler en produit infini, en utilisant ensuite la factorisation classique ${\displaystyle \sin \pi z=\pi z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right)}$.

Formule de multiplication

La fonction gamma vérifie également la formule de duplication :

Pour tout ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ tel que ${\displaystyle 2z\notin \{0,-1,-2,\ldots \}}$,

${\displaystyle \Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\frac {1}{2}}\right)=2^{1-2z}\;{\sqrt {\pi }}\;\Gamma (2z)}$.

C'est un cas particulier du théorème de multiplication (à l'ordre ${\displaystyle m>0}$)  :

Pour tout ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ tel que ${\displaystyle mz\notin \{0,-1,-2,\ldots \}}$,

${\displaystyle \Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\frac {1}{m}}\right)\;\Gamma \left(z+{\frac {2}{m}}\right)\cdots \Gamma \left(z+{\frac {m-1}{m}}\right)=(2\pi )^{(m-1)/2}\;m^{1/2-mz}\;\Gamma (mz)}$.

Cette fonction apparaît également dans des formules incluant la fonction zêta de Riemann.

Résidus

La fonction gamma possède un pôle d'ordre 1 en z = −n pour tout entier naturel n. Le résidu de la fonction en ce pôle est donné par :

${\displaystyle \operatorname {Res} (\Gamma ,-n)={\frac {(-1)^{n}}{n!}}}$.

Dérivées

La fonction gamma est infiniment dérivable sur ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{*}}$(c’est-à-dire p fois dérivable pour tout entier p). Sa dérivée est exprimée à l'aide de la fonction digamma : ${\displaystyle \Gamma '(z)=\Gamma (z)\psi _{0}(z).\,}$

Plus généralement, sa dérivée p-ième possède sur ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{*}}$ l'expression intégrale suivante :

${\displaystyle \Gamma ^{(p)}(x)=\int _{0}^{+\infty }{(\ln t)^{p}\,t^{x-1}\,\operatorname {e} ^{-t}\,\mathrm {d} t}}$.

Lien avec les sommes de Gauss

La définition de la fonction gamma sous forme d'intégrale la fait apparaître comme une convolution entre un caractère additif (l'exponentielle) et un caractère multiplicatif (${\displaystyle x\mapsto x^{s}}$).

Lien avec d'autres fonctions

La fonction gamma est reliée à la fonction ζ de Riemann par :

${\displaystyle \zeta (s)\,\Gamma (s)=\int _{0}^{+\infty }{\frac {t^{s-1}}{\mathrm {e} ^{t}-1}}\,\mathrm {d} t}$.

Elle est reliée à la fonction êta de Dirichlet par^[6] :

${\displaystyle \Gamma (s)\,\eta (s)=\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}}{\mathrm {e} ^{x}+1}}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {(-\ln(xy))^{s-2}}{1+xy}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y}$.

Dans la définition de la fonction gamma sous forme d'intégrale, les bornes de l'intégrale sont fixées ; la fonction gamma incomplète est la fonction obtenue en modifiant la borne inférieure ou la borne supérieure.

La fonction gamma est reliée à la fonction bêta par la formule :

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\frac {\Gamma (x)\;\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}.}$

Le logarithme de la fonction gamma est parfois appelé lngamma ou loggamma. Il intervient notamment dans la résolution des problèmes de propagation d’ondes^[7] : l'équation fonctionnelle de la fonction lngamma est :

${\displaystyle \ln \Gamma (z)=\ln \Gamma (z+1)-\ln(z)}$.

Si l’on connaît les valeurs de la fonction sur une bande de largeur 1 en Re(z), on obtient par cette relation les valeurs dans une bande voisine de même largeur, et l’on peut répéter ce procédé. Partant d’un z avec Re(z) >> 1 pour lequel on connaît une bonne approximation, on peut ainsi atteindre la valeur pour un z quelconque.

Rocktaeschel (1922^[8], suivant une indication de Gauss) propose l'approximation pour Re(z) grand :

${\displaystyle \ln \Gamma (z)\approx (z-{\tfrac {1}{2}})\ln z-z+{\tfrac {1}{2}}\ln(2\pi )}$.

On peut en déduire une approximation de ln Γ(z) pour Re(z) plus petit, en utilisant^[9] :

${\displaystyle \ln \Gamma (z-m)=\ln \Gamma (z)-\sum _{k=1}^{m}\ln(z-k)}$.

La dérivée logarithmique de la fonction gamma est appelée fonction digamma. Les dérivées d'ordre supérieur sont les fonctions polygamma.

Un analogue de la fonction gamma sur un corps fini ou un anneau fini est fourni par les sommes de Gauss.

En remarquant que la fonction gamma ne s'annule jamais, on peut définir son inverse (en). Or, on peut prolonger cet inverse à ${\displaystyle \mathbb {C} }$ tout entier (les inverses des pôles de Γ vaudront 0). On obtient alors une fonction entière (donc, informellement, se comportant un peu tel un polynôme).

Valeurs particulières

Cette section indique quelques valeurs particulières de la fonction gamma (en) et de ses dérivées.

La valeur de Γ(1/2) = √π est celle de l'intégrale de Gauss ; elle peut aussi se déduire de la formule des compléments. Cette valeur permet, par récurrence, de déterminer les autres valeurs de la fonction gamma pour les demi-entiers positifs :

${\displaystyle \Gamma (3/2)={\frac {\sqrt {\pi }}{2}},\quad \Gamma (5/2)={\frac {3{\sqrt {\pi }}}{4}},\ldots ,}$

${\displaystyle \Gamma \left(n+{\frac {1}{2}}\right)=\left(n-{\frac {1}{2}}\right)\Gamma \left(n-{\frac {1}{2}}\right)=\left(n-{\frac {1}{2}}\right)\left(n-{\frac {3}{2}}\right)\cdots {\frac {3}{2}}\,{\frac {1}{2}}\,\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\frac {(2n)!}{2^{2n}n!}}{\sqrt {\pi }}}$

mais aussi négatifs, par exemple :

${\displaystyle \Gamma (-1/2)=-2{\sqrt {\pi }}}$.

En ce qui concerne ses dérivées, avec γ la constante d'Euler-Mascheroni :

${\displaystyle \Gamma '(n+1)=\Gamma (n+1)\psi _{0}(n+1)=n!\left(-\gamma +\sum _{1\leq k\leq n}{\frac {1}{k}}\right)}$ ;

${\displaystyle \Gamma '\left(n+{\frac {1}{2}}\right)=\Gamma \left(n+{\frac {1}{2}}\right)\psi _{0}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)={\frac {(2n)!}{2^{2n}n!}}{\sqrt {\pi }}\left(-\gamma -2\ln 2+\sum _{1\leq k\leq n}{\frac {2}{2k-1}}\right)}$ ;

${\displaystyle \Gamma ''(1/2)={\sqrt {\pi }}(\gamma +2\,\ln(2))^{2}+{\frac {\pi ^{5/2}}{2}},\quad \Gamma ''(1)=\gamma ^{2}+{\frac {\pi ^{2}}{6}},\quad \Gamma ''(2)=(1-\gamma )^{2}+{\frac {\pi ^{2}}{6}}-1}$.

On connaît quelques résultats de transcendance et même d'indépendance algébrique sur les valeurs de Γ en certains points rationnels.

Une conjecture de Rohrlich^[10] prédit que toute relation multiplicative de la forme

${\displaystyle \pi ^{b/2}\prod \Gamma (a_{k})^{m_{k}}\in {\overline {\mathbb {Q} }},\quad (b\in \mathbb {Z} ,\;a_{k}\in \mathbb {Q} ,\;m_{k}\in \mathbb {Z} )}$

(où ℚ désigne le corps des nombres algébriques) se déduit des trois relations standard :

${\displaystyle \Gamma (z+1)=z\Gamma (z),\quad \Gamma (1-z)\Gamma (z)={\pi \over \sin(\pi z)},\quad \prod _{0\leq k<n}\Gamma \left(z+{\frac {k}{n}}\right)=(2\pi )^{(n-1)/2}n^{-nz+1/2}\Gamma (nz)}$.

Formule asymptotique de Stirling

De Γ(z) et Γ(z+1)

La formule de Stirling donne un équivalent au voisinage de l'infini de la factorielle :

${\displaystyle n\,!={\sqrt {2\pi }}\,n^{n+{\frac {1}{2}}}{\rm {e}}^{-n+\mu (n)}{\text{ pour }}n\in \mathbb {N} \ ,}$

avec μ la fonction de Binet :

${\displaystyle \mu (z)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{2k(2k-1)z^{2k-1}}}\ ,}$

et B_i les nombres de Bernoulli. Sachant que Γ(n+1)=n! sur ℕ, cet équivalent se généralise à la fonction gamma :

${\displaystyle \Gamma (z+1)={\sqrt {2\pi }}\,z^{z+{\frac {1}{2}}}{\rm {e}}^{-z+\mu (z)}{\text{ pour }}z\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {Z_{-}^{*}} \ ,}$

d’où :

${\displaystyle \Gamma (z)={\frac {\Gamma (z+1)}{z}}={\sqrt {2\pi }}\,z^{z-{\frac {1}{2}}}{\rm {e}}^{-z+\mu (z)}{\text{ pour }}z\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {Z_{-}} \ .}$

En calculant les premiers termes de e ^μ grâce à la formule exponentielle, on obtient le développement asymptotique :

${\displaystyle \Gamma (z)={\sqrt {2\pi }}\,z^{z-{\frac {1}{2}}}{\rm {e}}^{-z}\left[1+{\frac {1}{12z}}+{\frac {1}{288z^{2}}}-{\frac {139}{51840z^{3}}}-{\frac {571}{2488320z^{4}}}+{\frac {163879}{209018880z^{5}}}+{\mathcal {O}}\left({\frac {1}{z^{6}}}\right)\right]\ .}$

De Γ(z+ ½)

L’équivalent en z+½ vaut :

${\displaystyle \Gamma \left(z+{\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {2\pi }}\,z^{z}{\rm {e}}^{-z+\beta (z)}\ ,}$

avec :

${\displaystyle \beta (z)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\left({\frac {1}{2^{2k-1}}}-1\right)B_{2k}}{2k(2k-1)z^{2k-1}}}\ ,}$

d’où le développement asymptotique :

${\displaystyle \Gamma \left(z+{\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {2\pi }}\,z^{z}{\rm {e}}^{-z}\left[1-{\frac {1}{24z}}+{\frac {1}{1152z^{2}}}+{\frac {1003}{414720z^{3}}}-{\frac {4027}{39813120z^{4}}}-{\frac {5128423}{6688604160z^{5}}}+{\mathcal {O}}\left({\frac {1}{z^{6}}}\right)\right]\ .}$

Cas général

De manière plus générale, pour |a| < |z|, l’équivalent en z + a ∉ ℤ_- vaut :

${\displaystyle \Gamma (z+a)={\sqrt {2\pi }}\,z^{z+a-{\frac {1}{2}}}\exp \left(-z-\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {B_{k}(a)}{k(k-1)(-z)^{k-1}}}\right)}$

où B_k sont les polynômes de Bernoulli.

Démonstration

Par généralisation sur les complexes de la formule de Stirling, on sait que, pour z ∉ ℤ_- :

${\displaystyle \Gamma (z)={\sqrt {2\pi }}\,z^{z-{\frac {1}{2}}}\exp \left(-z+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{2k(2k-1)z^{2k-1}}}\right)}$.

Les nombres de Bernoulli de rang impair supérieur ou égal à 3 étant nuls, on peut également écrire, par changement de variable i = 2k et en introduisant les termes (nuls) de rang impair :

${\displaystyle \Gamma (z)={\sqrt {2\pi }}\,z^{z-{\frac {1}{2}}}\exp \left(-z+\sum _{i=2}^{\infty }{\frac {B_{i}}{i(i-1)z^{i-1}}}\right)}$,

d’où :

${\displaystyle \Gamma (z+a)={\sqrt {2\pi }}\,(z+a)^{z+a-{\frac {1}{2}}}\exp \left(-(z+a)+\sum _{i=2}^{\infty }{\frac {B_{i}}{i(i-1)(z+a)^{i-1}}}\right)}$.

z étant non nul, on peut factoriser z+a en z×(1+a/z) :

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z+a)&={\sqrt {2\pi }}\,z^{z+a-{\frac {1}{2}}}\left(1+{\tfrac {a}{z}}\right)^{z+a-{\frac {1}{2}}}\exp \left(-z-a+\sum _{i=2}^{\infty }{\frac {B_{i}}{i(i-1)z^{i-1}(1+{\frac {a}{z}})^{i-1}}}\right)\\&={\sqrt {2\pi }}\,z^{z+a-{\frac {1}{2}}}\exp \left(-z+\left(z+a-{\frac {1}{2}}\right)\ln \left(1+{\frac {a}{z}}\right)-a+\sum _{i=2}^{\infty }{\frac {B_{i}}{i(i-1)z^{i-1}}}\left(1+{\frac {a}{z}}\right)^{-(i-1)}\right).\end{aligned}}}$

Ayant posé |a| < |z|, on a |a/z| < 1, ce qui permet de développer d’une part la série de Taylor du logarithme ln(1 + x) (valable pour |x| < 1) et d’autre part le binôme négatif (1 + x)^-n (valable pour |x| < 1 et n ∈ ℕ^*) :

${\displaystyle \ln \left(1+{\tfrac {a}{z}}\right)=-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\left(-{\frac {a}{z}}\right)^{k}}{k}}=-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-a)^{k}}{k\,z^{k}}}=-\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {(-a)^{k-1}}{(k-1)\,z^{k-1}}}}$,

${\displaystyle \left(1+{\tfrac {a}{z}}\right)^{-(i-1)}=\sum _{j=0}^{\infty }{\binom {i+j-2}{j}}\left(-{\frac {a}{z}}\right)^{j}=\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(i+j-2)!\,(-a)^{j}}{(i-2)!\,j!\,z^{j}}}.}$

On a donc d’une part, par le développement du logarithme :

${\displaystyle z\ln \left(1+{\tfrac {a}{z}}\right)=-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-a)^{k}}{k\,z^{k-1}}}=a-\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {(-a)^{k}}{k\,z^{k-1}}}}$

et :

${\displaystyle a\ln \left(1+{\tfrac {a}{z}}\right)=-a\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {(-a)^{k-1}}{(k-1)\,z^{k-1}}}=\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {(-a)^{k}}{(k-1)\,z^{k-1}}}}$,

d’où :

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(z+a-{\tfrac {1}{2}}\right)\ln \left(1+{\tfrac {a}{z}}\right)-a&=a+\sum _{k=2}^{\infty }\left({\frac {1}{k-1}}-{\frac {1}{k}}\right){\frac {(-a)^{k}}{z^{k-1}}}+{\frac {1}{2}}\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {(-a)^{k-1}}{(k-1)\,z^{k-1}}}-a\\&=\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {(-a)^{k}}{k\,(k-1)\,z^{k-1}}}+{\frac {1}{2}}\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {(-a)^{k-1}}{(k-1)\,z^{k-1}}}\\&=\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {(-a)^{k}+{\frac {k}{2}}\,(-a)^{k-1}}{k\,(k-1)\,z^{k-1}}}.\end{aligned}}}$

On a d’autre part, par le développement du binôme négatif, puis en procédant au changement de variable k=i+j :

${\displaystyle {\frac {B_{i}}{i\,(i-1)\,z^{i-1}}}\left(1+{\frac {a}{z}}\right)^{-(i-1)}=\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {B_{i}\,(i+j-2)!\,(-a)^{j}}{i!\,j!\,z^{i-1+j}}}=\sum _{k=i}^{\infty }{\frac {B_{i}\,(k-2)!\,(-a)^{k-i}}{i!\,(k-i)!\,z^{k-1}}}=\sum _{k=i}^{\infty }{\binom {k}{i}}{\frac {B_{i}\,(-a)^{k-i}}{k\,(k-1)\,z^{k-1}}}\ .}$

Puisque ${\displaystyle {\tbinom {k}{i}}=0}$ pour k < i, et i valant au moins 2, on peut étendre la somme ci-dessus pour k allant de 2 (en deçà, on aurait la forme indéterminée 0/0) à i – 1 (somme de i – 2 termes, donc au pire une somme vide, valide, si i = 2) :

${\displaystyle {\frac {B_{i}}{i\,(i-1)\,z^{i-1}}}\left(1+{\frac {a}{z}}\right)^{-(i-1)}=\sum _{k=2}^{\infty }{\binom {k}{i}}{\frac {B_{i}\,(-a)^{k-i}}{k\,(k-1)\,z^{k-1}}}}$.

On rappelle que les polynômes de Bernoulli vérifient :

${\displaystyle B_{k}(x)=\sum _{i=0}^{k}{\binom {k}{i}}B_{i}\,x^{k-i}=B_{0}\,x^{k}+k\,B_{1}\,x^{k-1}+\sum _{i=2}^{k}{\binom {k}{i}}B_{i}\,x^{k-i}=x^{k}-{\frac {k}{2}}\,x^{k-1}+\sum _{i=2}^{k}{\binom {k}{i}}B_{i}\,x^{k-i}}$,

ainsi que :

${\displaystyle B_{k}(-x)=(-1)^{k}\left[B_{k}(x)+k\,x^{k-1}\right]=(-1)^{k}B_{k}(x)-k\,(-x)^{k-1}}$,

d’où :

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i=2}^{\infty }{\frac {B_{i}}{i\,(i-1)\,z^{i-1}}}\left(1+{\frac {a}{z}}\right)^{-(i-1)}&=\sum _{k=2}^{\infty }\sum _{i=2}^{\infty }{\binom {k}{i}}{\frac {B_{i}\,(-a)^{k-i}}{k\,(k-1)\,z^{k-1}}}=\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {B_{k}(-a)-(-a)^{k}+{\frac {k}{2}}\,(-a)^{k-1}}{k\,(k-1)\,z^{k-1}}}\\&=\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}B_{k}(a)-k\,(-a)^{k-1}-(-a)^{k}+{\frac {k}{2}}\,(-a)^{k-1}}{k\,(k-1)\,z^{k-1}}}\\&=\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}B_{k}(a)-(-a)^{k}-{\frac {k}{2}}\,(-a)^{k-1}}{k\,(k-1)\,z^{k-1}}}\\&=-\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {B_{k}(a)}{k\,(k-1)\,(-z)^{k-1}}}-\left[\left(z+a-{\tfrac {1}{2}}\right)\ln \left(1+{\tfrac {a}{z}}\right)-a\right].\end{aligned}}}$

Donc, pour |a| < |z| :

${\displaystyle \Gamma (z+a)={\sqrt {2\pi }}\,z^{z+a-{\frac {1}{2}}}\exp \left(-z-\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {B_{k}(a)}{k(k-1)(-z)^{k-1}}}\right)}$.

En posant a valant respectivement 0, ½ et 1, et connaissant les valeurs particulières des polynômes de Bernoulli en ces points, on retrouve immédiatement les équivalents en z, z + ½ et z + 1 mentionnés plus hauts.

Histoire

La première occurrence d'un produit qui donnera naissance ultérieurement à la fonction gamma est due à Daniel Bernoulli^[11] dans une lettre à Christian Goldbach.

En notation moderne^[12]

${\displaystyle x!=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(n+1+{\frac {x}{2}}\right)^{x-1}\prod _{i=1}^{n}{\frac {i+1}{i+x}}}$.

En 1729 également, Euler entreprend l'étude de ce produit et lui donne sa forme intégrale^[13],[14].

C'est Legendre qui, en 1811, note cette fonction ${\displaystyle \Gamma }$, en apportant de nombreux compléments à son étude^[13],[15].

L'article de Borwein et Corless^[16] passe en revue trois siècles de travaux mathématiques sur la fonction gamma.

Notes et références

1. Voir par exemple le début de ce devoir corrigé sur Wikiversité.
2. Pour le cas particulier où z est un réel strictement positif, voir l'article Théorème de Bohr-Mollerup. Pour le cas général, voir cet exercice corrigé sur Wikiversité.
3. (de) O. Schlömilch, « Einiges über die Eulerischen Integrale der zweiten Art », Archiv der Mathematik und Physik, vol. 4,‎ 1844, p. 171 (lire en ligne).
4. (en) J. L. W. V. Jensen, « An elementary exposition of the theory of the Gamma function », Ann. of Math., 2^e série, vol. 17, n^o 3,‎ 1916, p. 124-166 (JSTOR 2007272) (p. 128).
5. « En 1844, 32 ans avant le célèbre travail de Weierstrass sur les fonctions entières » : (en) S. S. Dragomir, Ravi Agarwal (en) et N. S. Barnett, « Inequalities for Beta and Gamma functions via some classical and new integral inequalities », J. Inequal. Appl. (nl), vol. 5, n^o 2,‎ 2000, p. 103-165 (lire en ligne) (p. 107).
6. (en) Jesús Guillera et Jonathan Sondow, « Double integrals and infinite products for some classical constants via analytic continuations of Lerch's transcendent », The Ramanujan Journal, vol. 16, n^o 3,‎ 2008, p. 247-270 (DOI 10.1007/s11139-007-9102-0, arXiv math/0506319).
7. (en) Karl Rawer, Wave Propagation in the Ionosphere, Dordrecht, Kluwer Academic Publishers, 1993.
8. D'après (de) O. R. Rocktäschel, Methoden zur Berechnung der Gammafunktion für komplexes Argument, université technique de Dresde, 1922, thèse de doctorat.
9. (de) P. E. Böhmer, Differenzengleichungen und bestimmte Integrale, Leipzig, Köhler Verlag, 1939.
10. (en) Serge Lang, Complex Analysis, Springer, coll. « GTM » (n^o 103), 1998, 489 p. (ISBN 978-0-387-98592-3, lire en ligne), p. 418.
11. Paul Heinrich Fuss, Correspondance mathématique et physique de quelques célèbres géomètres du XVIII^e siècle, vol. II, St. Pétersbourg, Académie impériale des sciences, 1843 (lire en ligne), p. 324-325.
12. (en) Detlef Gronau, « Why is the gamma function so as it is? », Teaching Mathematics and Computer Science, vol. 1, n^o 1,‎ 2003, p. 43-53.
13. G. K. Srinivasan, « The Gamma function: An Eclectic Tour », The American Mathematical Monthly, vol. 114, n^o 4,‎ 2007, p. 297-315 (DOI 10.1080/00029890.2007.11920418)
14. L. Euler, « De progressionibus transcendentibus seu quarum termini generales algebraice dari nequeunt », sur scholarlycommons.pacific.edu.
15. A.-M. Legendre, Exercices de calcul intégral sur divers ordres de transcendantes et sur les quadratures, t. 1, Vve Courcier (Paris), 1811 (lire en ligne), p. 221
16. (en) Jonathan M. Borwein et Robert M. Corless, Gamma and Factorial in the Monthly, 17 mars 2017 arXiv:1703.05349

Voir aussi

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• Fonction gamma, sur Wikimedia Commons

Articles connexes

• Constante de Gauss
• Loi Gamma
• Fonction bêta
• Fonction digamma
• Fonction gamma elliptique (en)
• Fonction gamma incomplète
• Fonction gamma multidimensionnelle
• Fonction polygamma
• Fonction trigamma
• Fonction loggamma
• Fonction K
• Fonction G de Barnes
• Formule de Chowla-Selberg
• Formule de Hadjicostas
• Formule de Stirling
• Théorème de Bohr-Mollerup
• Fonctions spéciales
• Théorème de Hölder

Bibliographie

• N. Bourbaki, Éléments de mathématique, Livre IV, Fonctions d'une variable réelle, Berlin, Hermann, 1976 (réimpr. 2007) (1^re éd. 1949-1951) (ISBN 978-3-540-34036-2), chap. VII (« La fonction gamma »)
• (en) Emil Artin, The Gamma Function, Dover, 2015 (1^re éd. 1964), 48 p. (lire en ligne)
  Élémentaire et classique, traduit de (de) Einführung in die Theorie der Gammafunktion, 1931.
• Jean Dieudonné, Calcul infinitésimal [détail des éditions]
  p. 292-296 dans l'éd. Hermann de 1968
• (en) Refaat El Attar, Special Functions and Orthogonal Polynomials, Lulu Press, 2006, 310 p. (ISBN 978-1-4116-6690-0, lire en ligne), p. 57-76
• Maurice Godefroy, La fonction Gamma : théorie, histoire, bibliographie, Gauthier-Villars, 1901 (lire en ligne)
• Thomas Joannes Stieltjes, « Sur le développement de log Γ(a) », J. Math. Pures Appl., 4^e série, vol. 5,‎ 1889, p. 425-466 (lire en ligne)
• (en) Edmund Taylor Whittaker et George Neville Watson, A Course of Modern Analysis, CUP, coll. « Cambridge Mathematrical Library », 1927 (réimpr. 1996), 4^e éd., 608 p. (ISBN 0-521-58807-3, lire en ligne), chap. XII (« The Gamma function »), p. 235-264

Liens externes

• (en) Eric W. Weisstein, « Gamma Function », sur MathWorld
• (en) R. A. Askey et R. Roy, « Gamma function », sur NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, 2010 (ISBN 978-0521192255)

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