En mathématiques, la fonction gamma (notée par Γ la lettre grecque majuscule gamma de l'alphabet grec) est une fonction utilisée communément, qui prolonge la fonction factorielle à l'ensemble des nombres complexes. En ce sens, il s'agit d'une fonction complexe. Elle est considérée également comme une fonction spéciale[pourquoi?]. La fonction gamma est définie pour tous les nombres complexes, à l'exception des entiers négatifs. On a pour tout entier strictement positif,
où est la factorielle de , c'est-à-dire le produit des entiers entre 1 et : .
On définit la fonction gamma, et notée par la lettre grecque Γ (gamma majuscule) de la façon suivante. Pour tout de partie réelle strictement positive, on pose
Cette fonction peut être prolongée analytiquement en une fonction méromorphe sur l'ensemble des nombres complexes, excepté pour z=0, −1, −2, −3… qui sont des pôles. C'est ce prolongement qu'on appelle généralement «fonction gamma». L'unicité du prolongement analytique permet de montrer que la fonction prolongée vérifie encore l'équation fonctionnelle précédente. Cela permet une définition plus simple, à partir de l'intégrale, et un calcul de proche en proche de Γ pour z – 1, z – 2,etc.
La définition suivante de la fonction gamma par produits infinis, due à Euler, a un sens pour les nombres complexes z qui ne sont pas des entiers négatifs ou nuls[2]:
On interprète donc la fonction gamma comme un prolongement de la factorielle à l'ensemble des nombres complexes (à l'exception des entiers négatifs ou nuls).
Une notation alternative est la fonction Π, introduite par Gauss:
(et donc ),
de telle façon que:
.
Caractérisations
Sur l'ensemble des réels
La fonction gamma est entièrement caractérisée sur par les trois propriétés suivantes (théorème de Bohr-Mollerup):
La fonction gamma est entièrement caractérisée parmi les fonctions holomorphes du demi-plan complexe Re(z)>0 par les trois propriétés suivantes (théorème de Wielandt):
La fonction gamma possède un pôle d'ordre 1 en z=−n pour tout entier natureln. Le résidu de la fonction en ce pôle est donné par:
Dérivées
La fonction gamma est infiniment dérivable sur (c’est-à-dire p fois dérivable pour tout entier p). Sa dérivée est exprimée à l'aide de la fonction digamma:
Plus généralement, sa dérivée p-ième possède sur l'expression intégrale suivante:
.
Lien avec les sommes de Gauss
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La définition de la fonction gamma sous forme d'intégrale la fait apparaître comme une convolution entre un caractère additif (l'exponentielle) et un caractère multiplicatif ().
Dans la définition de la fonction gamma sous forme d'intégrale, les bornes de l'intégrale sont fixées; la fonction gamma incomplète est la fonction obtenue en modifiant la borne inférieure ou la borne supérieure.
La fonction gamma est reliée à la fonction bêta par la formule:
Si l’on connaît les valeurs de la fonction sur une bande de largeur 1 en Re(z), on obtient par cette relation les valeurs dans une bande voisine de même largeur, et l’on peut répéter ce procédé. Partant d’un z avec Re(z) >> 1 pour lequel on connaît une bonne approximation, on peut ainsi atteindre la valeur pour un z quelconque.
Rocktaeschel (1922[8], suivant une indication de Gauss) propose l'approximation pour Re(z) grand:
.
On peut en déduire une approximation de ln Γ(z) pour Re(z) plus petit, en utilisant[9]:
Cette section indique quelques valeurs particulières de la fonction gamma(en) et de ses dérivées.
La valeur de Γ(1/2) = √π est celle de l'intégrale de Gauss; elle peut aussi se déduire de la formule des compléments.
Cette valeur permet, par récurrence, de déterminer les autres valeurs de la fonction gamma pour les demi-entiers positifs:
Par généralisation sur les complexes de la formule de Stirling, on sait que, pour z ∉ ℤ-:
.
Les nombres de Bernoulli de rang impair supérieur ou égal à 3 étant nuls, on peut également écrire, par changement de variablei = 2k et en introduisant les termes (nuls) de rang impair:
,
d’où:
.
z étant non nul, on peut factoriser z+a en z×(1+a/z):
Ayant posé |a| < |z|, on a |a/z| < 1, ce qui permet de développer d’une part la série de Taylor du logarithme ln(1 + x) (valable pour |x| < 1) et d’autre part le binôme négatif(1 + x)-n (valable pour |x| < 1 et n ∈ ℕ*):
,
On a donc d’une part, par le développement du logarithme:
et:
,
d’où:
On a d’autre part, par le développement du binôme négatif, puis en procédant au changement de variable k=i+j:
Puisque pour k < i, et i valant au moins 2, on peut étendre la somme ci-dessus pour k allant de 2 (en deçà, on aurait la forme indéterminée 0/0) à i – 1 (somme de i – 2 termes, donc au pire une somme vide, valide, si i = 2):
.
On rappelle que les polynômes de Bernoulli vérifient:
En posant a valant respectivement 0, ½ et 1, et connaissant les valeurs particulières des polynômes de Bernoulli en ces points, on retrouve immédiatement les équivalents en z, z + ½ et z + 1 mentionnés plus hauts.
La première occurrence d'un produit qui donnera naissance ultérieurement à la fonction gamma est due à Daniel Bernoulli[11] dans une lettre à Christian Goldbach.
«En 1844, 32 ans avant le célèbre travail de Weierstrass sur les fonctions entières»: (en) S. S. Dragomir, Ravi Agarwal(en) et N. S. Barnett, «Inequalities for Beta and Gamma functions via some classical and new integral inequalities», J. Inequal. Appl.(nl), vol.5, no2, , p.103-165 (lire en ligne) (p.107).
D'après (de) O. R. Rocktäschel, Methoden zur Berechnung der Gammafunktion für komplexes Argument, université technologique de Dresde, , thèse de doctorat.
Paul Heinrich Fuss, Correspondance mathématique et physique de quelques célèbres géomètres du XVIIIesiècle, vol.II, St. Pétersbourg, Académie impériale des sciences, (lire en ligne), p.324-325.
A.-M. Legendre, Exercices de calcul intégral sur divers ordres de transcendantes et sur les quadratures, t.1, Vve Courcier (Paris), (lire en ligne), p.221