En mathématiques , étant donné une suite de nombres complexes
(
a
n
)
n
∈
N
{\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
produit infini de la suite comme la limite , si elle existe, des produits partiels
a
0
a
1
…
a
N
{\displaystyle a_{0}a_{1}\dots a_{N}}
N tend vers l'infini ;
De même qu'une série utilise la lettre Σ , un produit infini utilise la lettre grecque Π (pi majuscule) :
a
0
⋅
a
1
⋅
a
2
⋯
=
∏
n
=
0
∞
a
n
=
def
lim
N
→
∞
∏
n
=
0
N
a
n
{\displaystyle a_{0}\cdot a_{1}\cdot a_{2}\dots =\prod _{n=0}^{\infty }a_{n}{\overset {\text{def}}{=}}\lim _{N\to \infty }\displaystyle \prod _{n=0}^{N}a_{n}}
Dans le cas où tous les termes de la suite sont non nuls[1]
∏
a
n
{\textstyle \prod a_{n}}
converge quand la suite des produits partiels
(
∏
n
=
0
N
a
n
)
N
{\displaystyle \left(\prod _{n=0}^{N}a_{n}\right)_{N}}
converge vers une limite non nulle ; sinon, on dit que le produit infini diverge[2] , [3]
En cas de convergence
Si le produit infini converge, alors la suite de ses termes converge vers 1 :
(
∃
l
∈
C
∗
∏
n
=
0
∞
a
n
=
l
)
⇒
lim
n
→
+
∞
a
n
=
1
{\displaystyle \left(\exists l\in \mathbb {C} ^{*}\quad \prod _{n=0}^{\infty }a_{n}=l\right)\Rightarrow \lim _{n\to +\infty }a_{n}=1}
La réciproque est fausse (comme le montre le contre-exemple an = e1/n
Pour étudier les produits infinis, on passe le plus souvent par le logarithme pour « transformer » le produit infini en une somme infinie, plus manipulable.
Puisque an tend vers 1, il existe un rang
N
∈
N
{\displaystyle N\in \mathbb {N} }
∀
n
⩾
N
|
a
n
−
1
|
<
1
{\displaystyle \forall n\geqslant N\quad |a_{n}-1|<1}
logarithme complexe , et l'on a
∏
n
=
N
∞
a
n
=
exp
(
∑
n
=
N
∞
ln
a
n
)
{\displaystyle \prod _{n=N}^{\infty }a_{n}=\exp \left(\sum _{n=N}^{\infty }\ln a_{n}\right)}
Le produit infini converge si et seulement si la série de droite converge.
On peut ainsi plus facilement étudier la convergence de produits infinis en s'appuyant sur les critères de convergence des sommes infinies .
Exemples de produits infinis divergents
Comme
∏
n
=
2
N
(
1
−
1
n
)
=
1
/
N
{\displaystyle \prod _{n=2}^{N}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)=1/N}
∏
n
=
2
∞
(
1
−
1
n
)
{\displaystyle \prod _{n=2}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{n}}\right)}
série harmonique .
Idem pour
∏
n
=
1
∞
(
1
+
1
n
)
{\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}
La divergence de la série des inverses des nombres premiers ,
∑
n
=
1
∞
1
p
n
=
+
∞
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{p_{n}}}=+\infty }
:
∏
n
=
1
∞
(
1
−
1
p
n
)
=
0
{\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{p_{n}}}\right)=0}
∏
n
=
1
∞
(
1
+
1
p
n
)
=
+
∞
{\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {1}{p_{n}}}\right)=+\infty }
∏
n
=
2
∞
(
1
+
(
−
1
)
n
n
)
=
0
{\displaystyle \prod _{n=2}^{\infty }\left(1+{\frac {(-1)^{n}}{\sqrt {n}}}\right)=0}
a
2
p
a
2
p
+
1
=
1
−
1
2
p
+
o
(
1
p
)
{\displaystyle a_{2p}a_{2p+1}=1-{\frac {1}{2p}}+o\left({\frac {1}{p}}\right)}
∑
(
−
1
)
n
n
{\textstyle \sum {\tfrac {(-1)^{n}}{\sqrt {n}}}}
∏
n
=
2
∞
(
1
+
(
−
1
)
n
n
)
=
1
{\displaystyle \prod _{n=2}^{\infty }\left(1+{\frac {(-1)^{n}}{n}}\right)=1}
(
1
+
1
2
p
)
(
1
−
1
2
p
+
1
)
=
1
{\displaystyle \left(1+{\frac {1}{2p}}\right)\left(1-{\frac {1}{2p+1}}\right)=1}
∑
|
ln
(
1
+
(
−
1
)
n
n
)
|
{\textstyle \sum \left\vert \ln \left(1+{\frac {(-1)^{n}}{n}}\right)\right\vert }
∑
(
−
1
)
n
n
{\textstyle \sum {\frac {(-1)^{n}}{n}}}
Il existe des exemples de produit
∏
(
1
+
b
n
)
{\textstyle \prod (1+b_{n})}
∑
b
n
{\textstyle \sum b_{n}}
[3] Exemples de produits infinis convergents classiques
Parmi les exemples les plus connus de produits infinis se trouvent les formules suivantes exprimant des constantes mathématiques classiques :
π
2
=
2
2
⋅
2
2
+
2
⋅
2
2
+
2
+
2
⋯
=
∏
n
=
2
∞
1
cos
(
π
2
n
)
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}={\frac {2}{\sqrt {2}}}\cdot {\frac {2}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}\cdot {\frac {2}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}\cdots =\prod _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{\cos \left({\frac {\pi }{2^{n}}}\right)}}}
formule de Viète (1593) — il s'agit du premier produit infini apparu dans l'histoire des mathématiques)
π
2
=
2
×
2
1
×
3
⋅
4
×
4
3
×
5
⋅
6
×
6
5
×
7
⋯
=
∏
n
=
1
∞
(
4
n
2
4
n
2
−
1
)
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}={\frac {2\times 2}{1\times 3}}\cdot {\frac {4\times 4}{3\times 5}}\cdot {\frac {6\times 6}{5\times 7}}\cdots =\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {4n^{2}}{4n^{2}-1}}\right)}
produit de Wallis (1655) )
π
2
6
=
2
2
2
2
−
1
⋅
3
2
3
2
−
1
⋅
5
2
5
2
−
1
⋯
=
∏
p
premier
p
2
p
2
−
1
{\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{6}}={\frac {2^{2}}{2^{2}-1}}\cdot {\frac {3^{2}}{3^{2}-1}}\cdot {\frac {5^{2}}{5^{2}-1}}\cdots =\prod _{p{\text{ premier}}}{\frac {p^{2}}{p^{2}-1}}}
produit eulérien )
π
4
=
3
3
+
1
⋅
5
5
−
1
⋅
7
7
+
1
⋅
11
11
+
1
⋅
13
13
−
1
⋯
=
∏
p
premier impair
p
p
+
(
−
1
)
(
p
+
1
)
/
2
{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}={\frac {3}{3+1}}\cdot {\frac {5}{5-1}}\cdot {\frac {7}{7+1}}\cdot {\frac {11}{11+1}}\cdot {\frac {13}{13-1}}\cdots =\prod _{p{\text{ premier impair}}}{\frac {p}{p+(-1)^{(p+1)/2}}}}
produit eulérien )
2
=
2
×
2
1
×
3
⋅
6
×
6
5
×
7
⋅
10
×
10
9
×
11
⋯
=
∏
n
=
1
∞
(
1
−
(
−
1
)
n
2
n
−
1
)
=
∏
n
=
0
∞
(
(
4
n
+
2
)
2
(
4
n
+
1
)
(
4
n
+
3
)
)
=
∏
n
=
0
∞
(
1
+
1
(
4
n
+
1
)
(
4
n
+
3
)
)
{\displaystyle {\sqrt {2}}={\frac {2\times 2}{1\times 3}}\cdot {\frac {6\times 6}{5\times 7}}\cdot {\frac {10\times 10}{9\times 11}}\cdots =\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {(-1)^{n}}{2n-1}}\right)=\prod _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(4n+2)^{2}}{(4n+1)(4n+3)}}\right)=\prod _{n=0}^{\infty }\left(1+{\frac {1}{(4n+1)(4n+3)}}\right)}
[5] Catalan (1875)[6]
e
=
2
1
4
3
6
×
8
5
×
7
10
×
12
×
14
×
16
9
×
11
×
13
×
15
⋯
{\displaystyle \mathrm {e} ={\frac {2}{1}}{\sqrt {\frac {4}{3}}}{\sqrt {\sqrt {\frac {6\times 8}{5\times 7}}}}{\sqrt {\sqrt {\sqrt {\frac {10\times 12\times 14\times 16}{9\times 11\times 13\times 15}}}}}\cdots }
[7]
e
=
∏
n
=
1
∞
a
n
+
1
a
n
=
2
1
⋅
5
4
⋅
16
15
⋅
65
64
⋯
{\displaystyle \mathrm {e} =\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}+1}{a_{n}}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {5}{4}}\cdot {\frac {16}{15}}\cdot {\frac {65}{64}}\cdots }
(
a
n
)
{\displaystyle (a_{n})}
a
0
=
0
,
a
n
=
n
(
a
n
−
1
+
1
)
{\displaystyle a_{0}=0,a_{n}=n(a_{n-1}+1)}
A007526 ; la formule vient du fait que
∏
n
=
1
N
a
n
+
1
a
n
=
∑
n
=
0
N
1
n
!
{\displaystyle \prod _{n=1}^{N}{\frac {a_{n}+1}{a_{n}}}=\sum _{n=0}^{N}{\frac {1}{n!}}}
ln
2
=
∏
n
=
1
∞
2
1
+
2
1
/
2
n
=
2
1
+
2
⋅
2
1
+
2
⋅
2
1
+
2
⋅
⋯
{\displaystyle \ln 2=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {2}{1+2^{1/2^{n}}}}={\frac {2}{1+{\sqrt {2}}}}\cdot {\frac {2}{1+{\sqrt {\sqrt {2}}}}}\cdot {\frac {2}{1+{\sqrt {\sqrt {\sqrt {2}}}}}}\cdot \cdots }
Seidel (1871))
2
=
∏
n
⩾
0
(
2
n
+
2
2
n
+
1
)
(
−
1
)
t
n
=
2
1
×
3
4
×
5
6
×
8
7
×
.
.
.
{\displaystyle {\sqrt {2}}=\prod _{n\geqslant 0}\left({\frac {2n+2}{2n+1}}\right)^{(-1)^{t_{n}}}={\frac {2}{1}}\times {\frac {3}{4}}\times {\frac {5}{6}}\times {\frac {8}{7}}\times ...}
(
t
n
)
{\displaystyle (t_{n})}
suite de Prouhet-Thue-Morse [8] , [9] , [10]
2
=
∏
n
=
0
∞
(
1
+
1
a
n
)
=
(
1
+
1
3
)
(
1
+
1
17
)
(
1
+
1
577
)
⋯
{\displaystyle {\sqrt {2}}=\prod _{n=0}^{\infty }{\left(1+{\frac {1}{a_{n}}}\right)}=\left(1+{\frac {1}{3}}\right)\left(1+{\frac {1}{17}}\right)\left(1+{\frac {1}{577}}\right)\cdots }
a
0
=
3
{\displaystyle a_{0}=3}
a
n
+
1
=
2
a
n
2
−
1
{\displaystyle a_{n+1}=2a_{n}^{2}-1}
produit infini de Cantor (1869).Autres exemples
Un produit infini convergent « naturel » peut s'exprimer à l'aide des fonctions usuelles ou aboutir à la création de nouvelles constantes, par exemple[11] :
∏
n
=
0
∞
(
1
+
x
2
n
)
=
1
1
−
x
,
|
x
|
<
1
{\displaystyle \prod _{n=0}^{\infty }{\left(1+x^{2^{n}}\right)}={1 \over {1-x}},|x|<1}
mais on a seulement
∏
n
=
0
∞
(
1
−
x
2
n
)
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
t
n
x
n
,
|
x
|
<
1
{\displaystyle \prod _{n=0}^{\infty }{\left(1-x^{2^{n}}\right)}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{t_{n}}x^{n},|x|<1}
(
t
n
)
{\displaystyle (t_{n})}
suite de Prouhet-Thue-Morse
ainsi que
∏
n
=
1
∞
(
1
−
x
n
)
=
∑
n
=
−
∞
∞
(
−
1
)
n
x
n
(
3
n
−
1
)
/
2
=
1
∑
n
=
0
∞
p
(
n
)
x
n
,
|
x
|
<
1
{\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }(1-x^{n})=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}x^{n(3n-1)/2}={\frac {1}{\sum _{n=0}^{\infty }p(n)x^{n}}},|x|<1}
p
(
n
)
{\displaystyle p(n)}
partitions de n , fonction d'Euler
∏
n
=
2
∞
(
1
−
1
n
2
)
=
1
2
{\displaystyle \prod _{n=2}^{\infty }{\left(1-{1 \over n^{2}}\right)}={1 \over 2}}
produit télescopique
∏
n
=
1
∞
(
1
+
1
n
m
)
=
∏
ω
m
=
−
1
1
Γ
(
−
ω
)
{\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }{\left(1+{1 \over n^{m}}\right)}=\prod _{\omega ^{m}=-1}{\frac {1}{\Gamma (-\omega )}}}
m entier
⩾
2
{\displaystyle \geqslant 2}
:
∏
n
=
1
∞
(
1
+
1
n
2
)
=
sinh
π
π
{\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }{\left(1+{1 \over n^{2}}\right)}={\sinh \pi \over \pi }}
A156648
∏
n
=
1
∞
(
1
+
1
n
3
)
=
∏
n
=
1
∞
(
1
+
1
n
(
n
+
1
)
)
=
cosh
π
3
2
π
{\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }{\left(1+{1 \over n^{3}}\right)}=\prod _{n=1}^{\infty }{\left(1+{1 \over {n(n+1)}}\right)}={\frac {\cosh {\frac {\pi {\sqrt {3}}}{2}}}{\pi }}}
A073017
∏
n
=
1
∞
(
1
+
1
n
4
)
=
cosh
π
2
−
cos
π
2
2
π
2
{\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }{\left(1+{1 \over n^{4}}\right)}={\frac {\cosh \pi {\sqrt {2}}-\cos \pi {\sqrt {2}}}{2\pi ^{2}}}}
A258870
∏
n
=
2
∞
(
1
−
1
n
(
n
+
1
)
)
=
sin
(
π
/
φ
)
π
{\displaystyle \prod _{n=2}^{\infty }{\left(1-{1 \over {n(n+1)}}\right)}={\frac {\sin(\pi /\varphi )}{\pi }}}
φ
{\displaystyle \varphi }
nombre d'or , constante A146481
∏
n
=
1
∞
(
1
+
1
4
n
(
n
+
1
)
)
=
4
π
{\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }{\left(1+{1 \over {4n(n+1)}}\right)}={\frac {4}{\pi }}}
∏
p
premier
(
1
−
1
p
2
)
=
1
ζ
(
2
)
=
6
π
2
{\displaystyle \prod _{p{\text{ premier}}}{\left(1-{1 \over p^{2}}\right)}={1 \over \zeta (2)}={6 \over \pi ^{2}}}
A059956 ;
∏
p
premier
(
1
+
1
p
2
)
=
15
π
2
{\displaystyle \prod _{p{\text{ premier}}}{\left(1+{1 \over p^{2}}\right)}={15 \over \pi ^{2}}}
A082020
∏
p
p
r
e
m
i
e
r
(
1
−
1
p
(
p
−
1
)
)
=
0
,
3739558136
…
{\displaystyle \prod _{p\ \mathrm {premier} }\left(1-{\frac {1}{p(p-1)}}\right)=0,3739558136\ldots }
constante d'Artin ;
∏
p
premier
(
1
+
1
p
(
p
−
1
)
)
=
ζ
(
2
)
⋅
ζ
(
3
)
ζ
(
6
)
{\displaystyle \prod _{p{\text{ premier}}}\left(1+{\frac {1}{p(p-1)}}\right)={\frac {\zeta (2)\cdot \zeta (3)}{\zeta (6)}}}
nombres puissants .
∏
p
premier impair
(
1
−
1
(
p
−
1
)
2
)
=
0
,
660161
…
{\displaystyle \prod _{p\ {\text{premier impair}}}\left(1-{\frac {1}{(p-1)^{2}}}\right)=0,660161\ldots }
constante des nombres premiers jumeaux , A005597
∏
n
=
3
∞
cos
π
n
=
0,114
9420448
…
{\displaystyle \prod _{n=3}^{\infty }\cos {\frac {\pi }{n}}=0{,}1149420448\dots }
constante de Kepler-Bouwkamp
∏
n
=
1
∞
cosh
1
n
=
2,116
4655365
…
{\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }\cosh {\frac {1}{n}}=2{,}1164655365\dots }
A249673
∏
n
=
2
∞
e
(
1
−
1
n
2
)
n
2
=
π
e
3
/
2
{\displaystyle \prod _{n=2}^{\infty }\mathrm {e} {\left(1-{1 \over n^{2}}\right)^{n^{2}}}={\pi \over \mathrm {e} ^{3/2}}}
A240984
Premiers exemples
sin
z
=
z
∏
n
=
1
∞
cos
z
2
n
{\displaystyle \sin z=z\prod _{n=1}^{\infty }{\cos {\frac {z}{2^{n}}}}}
[12] On en déduit la formule de Viète ci-dessus en posant z = π/2
En changeant z en iz , on obtient :
sinh
z
=
z
∏
n
=
1
∞
cosh
z
2
n
{\displaystyle \sinh z=z\prod _{n=1}^{\infty }{\cosh {\frac {z}{2^{n}}}}}
En prenant
z
=
ln
x
{\displaystyle z=\ln x}
Seidel du logarithme[13] , [14]
ln
x
=
(
x
−
1
)
∏
n
=
1
∞
2
1
+
x
1
/
2
n
{\displaystyle \ln x=(x-1)\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {2}{1+x^{1/2^{n}}}}}
x = 2ln 2 ci-dessus.
ζ
(
z
)
=
∑
n
⩾
1
1
n
z
=
∏
p
premier
p
z
p
z
−
1
{\displaystyle \zeta (z)=\sum _{n\geqslant 1}{\frac {1}{n^{z}}}=\prod _{p\operatorname {premier} }{\frac {p^{z}}{p^{z}-1}}}
Re(z ) > 1 , développement de la fonction zêta de Riemann en produit eulérien , donnant pour z = 2π2 /6 ci-dessus.
∑
n
⩾
0
(
−
1
)
n
(
2
n
+
1
)
z
=
∏
p
premier
impair
p
z
p
z
+
(
−
1
)
(
p
−
1
)
2
{\displaystyle \sum _{n\geqslant 0}{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{z}}}=\prod _{p\operatorname {premier} \operatorname {impair} }{\frac {p^{z}}{p^{z}+(-1)^{(p-1) \over 2}}}}
Re(z ) > 1 , donnant, pour z → 1π/4 ci-dessus.Factorisation de fonctions holomorphes sur le plan complexe
Un résultat majeur sur les produits infinis est le fait que toute fonction entière f (toute fonction holomorphe sur le plan complexe tout entier) se factorise en un produit infini de fonctions entières, ayant chacune au plus un zéro (s'annulant chacune au plus en une valeur).
En général, si f a un zéro d'ordre m à l'origine et d'autres zéros en
u
0
,
u
1
,
u
2
,
…
{\displaystyle u_{0},u_{1},u_{2},\dots }
:
f
(
z
)
=
z
m
e
φ
(
z
)
∏
n
=
0
∞
(
1
−
z
u
n
)
exp
{
z
u
n
+
(
z
u
n
)
2
+
⋯
+
(
z
u
n
)
λ
n
}
{\displaystyle f(z)=z^{m}\;{\rm {e}}^{\varphi (z)}\;\prod _{n=0}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{u_{n}}}\right)\;\exp \left\lbrace {\frac {z}{u_{n}}}+\left({\frac {z}{u_{n}}}\right)^{2}+\cdots +\left({\frac {z}{u_{n}}}\right)^{\lambda _{n}}\right\rbrace }
où les exposants
λ
n
{\displaystyle \lambda _{n}}
entiers positifs qui peuvent être choisis pour assurer la convergence de la série, et
φ
(
z
)
{\displaystyle \varphi (z)}
fonction analytique uniquement déterminée (ce qui signifie que le terme devant le produit ne s'annule pas sur le plan complexe).
Cette factorisation n'est pas unique, car elle dépend du choix des
λ
n
{\displaystyle \lambda _{n}}
p minimal tel que le choix constant
λ
n
=
p
{\displaystyle \lambda _{n}=p}
canonique et, lorsque p = 1 :
f
(
z
)
=
z
m
e
φ
(
z
)
∏
n
=
0
∞
(
1
−
z
u
n
)
{\displaystyle f(z)=z^{m}\;{\rm {e}}^{\varphi (z)}\;\prod _{n=0}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{u_{n}}}\right)}
Ceci peut-être vu comme une généralisation du théorème fondamental de l'algèbre car ce produit devient fini dans le cas des polynômes et lorsque
φ
{\displaystyle \varphi }
fonction constante . Cette forme est équivalente à celle donnée par le théorème de factorisation de Weierstrass .
Exemples remarquables
On peut donner comme exemples remarquables les formules suivantes :
sin
π
z
=
π
z
∏
n
=
1
∞
(
1
−
z
2
n
2
)
{\displaystyle \sin \pi z=\pi z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right)}
Formule due à Euler — le développement de Wallis pour π et celui de √ 2
∏
n
=
1
∞
(
1
+
1
n
2
)
{\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }{\left(1+{1 \over n^{2}}\right)}}
cos
π
z
=
∏
n
=
1
∞
(
1
−
z
2
(
n
−
1
2
)
2
)
{\displaystyle \cos \pi z=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{(n-{\frac {1}{2}})^{2}}}\right)}
Voir [15]
1
/
Γ
(
z
)
=
z
e
γ
z
∏
n
=
1
∞
(
1
+
z
n
)
e
−
z
/
n
{\displaystyle 1/\Gamma (z)=z\;\mathrm {e} ^{\gamma z}\;\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)\;\mathrm {e} ^{-z/n}}
Formule due à Schlömilch — la valeur de
∏
n
=
1
∞
(
1
+
1
n
m
)
{\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }{\left(1+{1 \over n^{m}}\right)}}
Si l'un des termes de la suite est nul, on ne parle en général pas de convergence, bien que la suite des produits partiels soit alors une suite stationnaire . Srishti D. Chatterji, Cours d'analyse , vol. 2 : Analyse complexe , PPUR , 1997 (lire en ligne ) , p. 345 Léonard Euler, Introduction à l'analyse infinitésimale , t. 1, 1796 (lire en ligne ) , p. 142 (en) D. R. Woods, « Elementary problem proposal E 2692 », Amer. Math. Monthly vol. 85, 1978 , p. 48(en) D. Robbins, « Solution to Problem E 2692 », Amer. Math. Monthly vol. 86, 1979 , p. 394-395Jean Moussa, « Quelques propriétés associées à la suite de Prouhet-Thue-Morse », Bulletin de l'APMEP , mars-avril 2016 , p. 199-206 (lire en ligne ) (en) Prudnikov, A. P.; Brychkov, Yu. A.; Marichev, O. I., Integrals and Series, Vol. 1: Elementary Functions , New York, Gordon & Breach, 1986 , p. 753-757(en) Paul Loya, Amazing and Aesthetic Aspects of Analysis , 2006 , 508 p. (lire en ligne ) , p. 354 
A007526 ; la formule vient du fait que 
