un module 𝑃 sur un anneau 𝐴 tel que pour tout morphisme surjectif 𝑓 : 𝑁 → 𝑀 entre deux 𝐴‐modules et pour tout morphisme 𝑔 : 𝑃 → 𝑀, il existe un morphisme ℎ : 𝑃 → 𝑁 tel que 𝑔 = 𝑓ℎ De Wikipédia, l'encyclopédie libre
En mathématiques, un module projectif est un moduleP (à gauche par exemple) sur un anneauA tel que pour tout morphismesurjectiff: N → M entre deux A-modules (à gauche) et pour tout morphisme g: P → M, il existe un morphisme h: P → N tel que g = fh, c'est-à-dire tel que le diagramme suivant commute:
D'après le théorème de Quillen-Suslin, sur un anneau de polynômesA[X1,...,Xn] où A est un anneau principal (par exemple un corps commutatif), tout module projectif de type fini est libre[1],[2]. Cette propriété est également exacte si A est un anneau de Bézout commutatif ou un anneau de valuation et, dans le cas où A est un corps commutatif, lorsque l'anneau de polynômes ci-dessus est remplacé par l'anneau de polynômes de LaurentA[X1, …, Xn, Y1, …, Ym, Y1−1, …, Ym−1][3]. Voir également l'article Anneau d'Hermite.
Si A est un anneau commutatif noethérien sans idempotent non trivial (i.e. e2 = e implique que e = 0 ou 1), autrement dit, si son spectre est connexe pour la topologie de Zariski, tout module projectif non de type fini sur A est libre[4].
Pour tout module projectif de type fini P sur un anneau commutatif A, le rang du Ap-module libre Ppest appelé le rang de P en p, et P est dit de rang n si son rang en tout p vaut n[6].
Daniel Ferrand, «Les modules projectifs de type fini sur un anneau de polynômes sur un corps sont libres», Séminaire Bourbaki, vol.18, no484, , p.202-221 (lire en ligne)