Morphisme

En mathématiques, le morphisme est la relative similitude d'objets mathématiques considérés du point de vue de ce qu'ils partagent comme entités ou par leurs relations.

Visualisation du critère valuatif de morphismes propres

En algèbre générale, un morphisme (ou homomorphisme) est une application entre deux structures algébriques de même espèce, c'est-à-dire des ensembles munis de lois de composition interne ou externe (par exemple deux groupes ou deux espaces vectoriels), qui respecte certaines propriétés en passant d'une structure à l'autre.

Plus généralement, la notion de morphisme est l'un des concepts de base en théorie des catégories ; ce n'est alors pas nécessairement une application, mais une « flèche » reliant deux « objets » ou « structures » qui ne sont pas nécessairement des ensembles.

Définitions

Cas général (théorie des modèles)

Soient ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ et ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ deux ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$-structures, d'ensembles respectifs ${\displaystyle M}$ et ${\displaystyle N}$. Un morphisme de ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ dans ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ est une application ${\displaystyle m}$ de ${\displaystyle M}$ dans ${\displaystyle N}$ telle que :

• pour tout symbole de fonction ${\displaystyle n}$-aire ${\displaystyle f\in {\mathcal {L}}}$ et pour tout ${\displaystyle (a_{i})_{i}\in M^{n}}$ on a ${\displaystyle m(f^{\mathcal {M}}(a_{i})_{i})=f^{\mathcal {N}}(m(a_{i}))_{i}}$ (y compris pour n = 0, qui correspond au cas des constantes) ;
• pour tout symbole de relation ${\displaystyle n}$-aire ${\displaystyle R\in {\mathcal {L}}}$ et pour tout ${\displaystyle (a_{i})_{i}\in M^{n}}$, si ${\displaystyle (a_{i})_{i}\in R^{\mathcal {M}}}$ alors ${\displaystyle (m(a_{i}))_{i}\in R^{\mathcal {N}}}$

${\displaystyle c^{\mathcal {N}}}$ désignant l'interprétation du symbole ${\displaystyle c}$ dans la structure ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$.

Cas des monoïdes

Dans la catégorie des monoïdes, un morphisme est une application ${\displaystyle f:(M,*,e)\longrightarrow (M',\star ,e')\,}$, entre deux monoïdes ${\displaystyle (M,*,e)\,}$ et ${\displaystyle (M',\star ,e')}$, qui vérifie^[1] :

• ${\displaystyle \forall (g,h)\in M^{2},~f(g*h)=f(g)\star f(h)}$ ;
• ${\displaystyle f(e)=e'}$.

Cas des groupes

Dans la catégorie des groupes, un morphisme est une application ${\displaystyle f:(G,*)\longrightarrow (G',\star )\,}$, entre deux groupes ${\displaystyle (G,*)\,}$ et ${\displaystyle (G',\star )\,}$, qui vérifie :

• ${\displaystyle \forall (g,h)\in G^{2},~f(g*h)=f(g)\star f(h)}$.

On se contente de cette unique condition car elle a pour conséquence ${\displaystyle f(e)=e'}$ et ${\displaystyle \forall x\in G,f(x^{-1})=(f(x))^{-1}}$.

Cas des anneaux

Dans la catégorie des anneaux, un morphisme est une application ${\displaystyle f:A\to B}$ entre deux anneaux (unitaires), qui vérifie les trois conditions :

• ${\displaystyle \forall a,b\in A,~f(a+_{A}b)=f(a)+_{B}f(b)}$ ;
• ${\displaystyle \forall a,b\in A,~f(a*_{A}b)=f(a)*_{B}f(b)}$ ;
• ${\displaystyle f\left(1_{A}\right)=1_{B}}$.

dans lesquelles ${\displaystyle +_{A}}$, ${\displaystyle *_{A}}$ et ${\displaystyle 1_{A}}$ (respectivement ${\displaystyle +_{B}}$, ${\displaystyle *_{B}}$ et ${\displaystyle 1_{B}}$) désignent les opérations et neutre multiplicatif respectifs des deux anneaux ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle B}$.

Cas des espaces vectoriels

Dans la catégorie des espaces vectoriels (en) sur un corps K fixé, un morphisme est une application ${\displaystyle f:E\to F}$, entre deux K-espaces vectoriels ${\displaystyle (E,+_{E},\cdot _{E})}$ et ${\displaystyle (F,+_{F},\cdot _{F})}$, qui est linéaire c'est-à-dire qui vérifie :

• ${\displaystyle f}$ est un morphisme de groupes de ${\displaystyle (E,+_{E})}$ dans ${\displaystyle (F,+_{F})}$ ;
• ${\displaystyle \forall x\in E,~\forall \lambda \in K,~f(\lambda \cdot _{E}x)=\lambda \cdot _{F}f(x)}$,

ce qui est équivalent à :

${\displaystyle \forall (x,y)\in E\times E,~\forall \lambda \in K,~f(\lambda \cdot _{E}x+_{E}y)=\lambda \cdot _{F}f(x)+_{F}f(y)}$.

Cas des algèbres

Dans le cas de deux ${\displaystyle K}$-algèbres unifères ${\displaystyle (A,+,\times ,.)}$ et ${\displaystyle (B,{\dot {+}},{\dot {\times }},.)}$, un morphisme vérifie :

• ${\displaystyle f}$ est une application linéaire de ${\displaystyle A}$ dans ${\displaystyle B}$ ;
• ${\displaystyle f}$ est un morphisme d’anneaux,

ce qui est équivalent à :

• ${\displaystyle f(1_{A})=1_{B}}$ ;
• ${\displaystyle \forall (x,y)\in A^{2},~\forall (\lambda ,\mu )\in K^{2},~f(\lambda .x+\mu .y)=\lambda .f(x){\dot {+}}\mu .f(y)}$ ;
• ${\displaystyle \forall (x,y)\in A^{2},~f(x\times y)=f(x){\dot {\times }}f(y)}$.

Cas des ensembles ordonnés

Un morphisme entre deux ensembles ordonnés ( A, ⊑ ) et ( B, ≼ ) est une application f de A dans B croissante (qui préserve l'ordre), c'est-à-dire qui vérifie : pour tous x et y dans A tels que x ⊑ y, on a f(x) ≼ f(y)^[1],[2],[3].

La définition des morphismes d'ensembles préordonnés est identique^[1].

Cas des espaces topologiques

Dans la catégorie des espaces topologiques, un morphisme est simplement une application continue entre deux espaces topologiques. Dans le cadre topologique, le mot « morphisme » n'est pas utilisé, mais c'est le même concept.

Cas des espaces mesurables

Dans la catégorie des espaces mesurables, un morphisme est une fonction mesurable.

Classement

• Un endomorphisme est un morphisme d'une structure dans elle-même ;
• un isomorphisme est un morphisme ${\displaystyle f}$ entre deux ensembles munis de la même espèce de structure, tel qu'il existe un morphisme ${\displaystyle f'}$ dans le sens inverse, tels que ${\displaystyle f\circ f'}$ et ${\displaystyle f'\circ f}$ sont les identités des structures ;
• un automorphisme est un isomorphisme d'une structure dans elle-même ;
• un épimorphisme (ou morphisme épique ou epi^[4]) est un morphisme ${\displaystyle f:A\to B}$ tel que : pour tout couple ${\displaystyle g,h}$ de morphismes de type ${\displaystyle B\to E}$ (et donc aussi pour tout ${\displaystyle E}$), si ${\displaystyle g\circ f=h\circ f}$, alors ${\displaystyle g=h}$ ;
• un monomorphisme (ou morphisme monique^[4]) est un morphisme ${\displaystyle f:A\to B}$ tel que : pour tout couple ${\displaystyle g,h}$ de morphismes de type ${\displaystyle E\to A}$ (et donc aussi pour tout ${\displaystyle E}$), si ${\displaystyle f\circ g=f\circ h}$, alors ${\displaystyle g=h}$.

Exemple : l'identité d'un ensemble est toujours un automorphisme, quelle que soit la structure considérée.

Références

1. (en) Nicolae Popescu et Liliana Popescu, Theory of Categories, Sijthoff & Noordhoff, 1979 (lire en ligne), p. 3.
2. Pour plus de détails, voir par exemple (en) Maurice Auslander et David Buchsbaum, Groups, Rings, Modules, Dover, 2014 (1^re éd. 1974) (lire en ligne), p. 85-86.
3. N. Bourbaki, Éléments de mathématique : Théorie des ensembles [détail des éditions], p. IV.11 et 12 (exemple 1).
4. Saunders Mac Lane, Categories for the working mathematician, Springer-Verlag, [©1971] (ISBN 0-387-90035-7, 978-0-387-90035-3 et 0-387-90036-5, OCLC 267783), p. 19

Voir aussi

• Antimorphisme
• Cryptomorphisme
• Morphisme de graphes
• Chiffrement homomorphe

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