Morphisme

En mathématiques, en algèbre générale, un morphisme (ou homomorphisme) est une application entre deux structures algébriques de même espèce, c'est-à-dire des ensembles munis de lois de composition interne ou externe (par exemple deux groupes ou deux espaces vectoriels), qui préserve certaines propriétés en passant d'une structure à l'autre.

La notion de morphisme se généralise en théorie des catégories où c'est l'un des concepts de base ; ce n'est alors pas nécessairement une application, mais une « flèche » reliant deux « objets » ou « structures » qui ne sont pas nécessairement des ensembles.

Définitions

Cas général (théorie des modèles)

Soient ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ et ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ deux ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$-structures, d'ensembles respectifs ${\displaystyle M}$ et ${\displaystyle N}$. Un morphisme de ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ dans ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ est une application ${\displaystyle m}$ de ${\displaystyle M}$ dans ${\displaystyle N}$ telle que :

• pour tout symbole de fonction ${\displaystyle n}$-aire ${\displaystyle f\in {\mathcal {L}}}$ et pour tout ${\displaystyle (a_{i})_{i}\in M^{n}}$ on a ${\displaystyle m(f^{\mathcal {M}}(a_{i})_{i})=f^{\mathcal {N}}(m(a_{i}))_{i}}$ (y compris pour n = 0, qui correspond au cas des constantes) ;
• pour tout symbole de relation ${\displaystyle n}$-aire ${\displaystyle R\in {\mathcal {L}}}$ et pour tout ${\displaystyle (a_{i})_{i}\in M^{n}}$, si ${\displaystyle (a_{i})_{i}\in R^{\mathcal {M}}}$ alors ${\displaystyle (m(a_{i}))_{i}\in R^{\mathcal {N}}}$

${\displaystyle c^{\mathcal {N}}}$ désignant l'interprétation du symbole ${\displaystyle c}$ dans la structure ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$.

Cas des monoïdes

Dans la catégorie des monoïdes, un morphisme est une application ${\displaystyle f:(M,*,e)\longrightarrow (M',\star ,e')}$ entre deux monoïdes ${\displaystyle (M,*,e)\,}$ et ${\displaystyle (M',\star ,e')}$, qui vérifie^[1] :

• ${\displaystyle \forall (g,h)\in M^{2},~f(g*h)=f(g)\star f(h)}$ ;
• ${\displaystyle f(e)=e'}$.

Cas des groupes

Dans la catégorie des groupes, un morphisme est une application ${\displaystyle f:(G,*)\longrightarrow (G',\star )\,}$, entre deux groupes ${\displaystyle (G,*)\,}$ et ${\displaystyle (G',\star )\,}$, qui vérifie :

• ${\displaystyle \forall (g,h)\in G^{2},~f(g*h)=f(g)\star f(h)}$.

On se contente de cette unique condition car elle a pour conséquence ${\displaystyle f(e)=e'}$ et ${\displaystyle \forall x\in G,f(x^{-1})=(f(x))^{-1}}$.

Cas des anneaux

Dans la catégorie des anneaux, un morphisme est une application ${\displaystyle f:A\to B}$ entre deux anneaux (unitaires), qui vérifie les trois conditions :

• ${\displaystyle \forall a,b\in A,~f(a+_{A}b)=f(a)+_{B}f(b)}$ ;
• ${\displaystyle \forall a,b\in A,~f(a*_{A}b)=f(a)*_{B}f(b)}$ ;
• ${\displaystyle f\left(1_{A}\right)=1_{B}}$.

dans lesquelles ${\displaystyle +_{A}}$, ${\displaystyle *_{A}}$ et ${\displaystyle 1_{A}}$ (respectivement ${\displaystyle +_{B}}$, ${\displaystyle *_{B}}$ et ${\displaystyle 1_{B}}$) désignent les opérations et neutre multiplicatif respectifs des deux anneaux ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle B}$.

Cas des espaces vectoriels

Dans la catégorie des espaces vectoriels (en) sur un corps K fixé, un morphisme est une application ${\displaystyle f:E\to F}$, entre deux K-espaces vectoriels ${\displaystyle (E,+_{E},\cdot _{E})}$ et ${\displaystyle (F,+_{F},\cdot _{F})}$, qui est linéaire c'est-à-dire qui vérifie :

• ${\displaystyle f}$ est un morphisme de groupes de ${\displaystyle (E,+_{E})}$ dans ${\displaystyle (F,+_{F})}$ ;
• ${\displaystyle \forall x\in E,~\forall \lambda \in K,~f(\lambda \cdot _{E}x)=\lambda \cdot _{F}f(x)}$,

ce qui est équivalent à :

${\displaystyle \forall (x,y)\in E\times E,~\forall \lambda \in K,~f(\lambda \cdot _{E}x+_{E}y)=\lambda \cdot _{F}f(x)+_{F}f(y)}$.

Cas des algèbres

Dans le cas de deux ${\displaystyle K}$-algèbres unifères ${\displaystyle (A,+,\times ,.)}$ et ${\displaystyle (B,{\dot {+}},{\dot {\times }},.)}$, un morphisme vérifie :

• ${\displaystyle f}$ est une application linéaire de ${\displaystyle A}$ dans ${\displaystyle B}$ ;
• ${\displaystyle f}$ est un morphisme d’anneaux,

ce qui est équivalent à :

• ${\displaystyle f(1_{A})=1_{B}}$ ;
• ${\displaystyle \forall (x,y)\in A^{2},~\forall (\lambda ,\mu )\in K^{2},~f(\lambda .x+\mu .y)=\lambda .f(x){\dot {+}}\mu .f(y)}$ ;
• ${\displaystyle \forall (x,y)\in A^{2},~f(x\times y)=f(x){\dot {\times }}f(y)}$.

Cas des ensembles ordonnés

Un morphisme entre deux ensembles ordonnés ( A, ⊑ ) et ( B, ≼ ) est une application f de A dans B croissante (qui préserve l'ordre), c'est-à-dire qui vérifie : pour tous x et y dans A tels que x ⊑ y, on a f(x) ≼ f(y)^[1],[2],[3].

La définition des morphismes d'ensembles préordonnés est identique^[1].

Cas des espaces topologiques

Dans la catégorie des espaces topologiques, un morphisme est simplement une application continue entre deux espaces topologiques. Dans le cadre topologique, le mot « morphisme » n'est pas utilisé, mais c'est le même concept.

Cas des espaces mesurables

Dans la catégorie des espaces mesurables, un morphisme est une fonction mesurable.

Classement

• Un endomorphisme est un morphisme d'une structure dans elle-même ;
• un isomorphisme est un morphisme ${\displaystyle f}$ entre deux ensembles munis de la même espèce de structure, tel qu'il existe un morphisme ${\displaystyle f'}$ dans le sens inverse, tels que ${\displaystyle f\circ f'}$ et ${\displaystyle f'\circ f}$ sont les identités des structures ;
• un automorphisme est un isomorphisme d'une structure dans elle-même ;
• un épimorphisme (ou morphisme épique ou epi^[4]) est un morphisme ${\displaystyle f:A\to B}$ tel que : pour tout couple ${\displaystyle g,h}$ de morphismes de type ${\displaystyle B\to E}$ (et donc aussi pour tout ${\displaystyle E}$), si ${\displaystyle g\circ f=h\circ f}$, alors ${\displaystyle g=h}$ ;
• un monomorphisme (ou morphisme monique^[4]) est un morphisme ${\displaystyle f:A\to B}$ tel que : pour tout couple ${\displaystyle g,h}$ de morphismes de type ${\displaystyle E\to A}$ (et donc aussi pour tout ${\displaystyle E}$), si ${\displaystyle f\circ g=f\circ h}$, alors ${\displaystyle g=h}$.

Exemple : l'identité d'un ensemble est toujours un automorphisme, quelle que soit la structure considérée.