Nombre polytopique

En arithmétique géométrique, un nombre polytopique, ou nombre hyperpolyédrique, est un nombre figuré comptant des points disposés régulièrement dans un polytope, ou hyperpolyèdre.

Cas des trois familles de polytopes réguliers en toutes dimensions

Pour un polytope de dimension ${\displaystyle k}$ possédant, pour ${\displaystyle 0\leqslant i\leqslant k}$, ${\displaystyle N_{i}}$ cellules de dimension ${\displaystyle i}$ qui sont toutes des polytopes équivalents (${\displaystyle N_{0}=S,N_{1}=A}$) le nombre de points ajoutés à l'étape ${\displaystyle n}$ est

${\displaystyle P(n)-P(n-1)=\sum _{i=0}^{k}(N_{i}-D_{i})P_{n,i}^{*}=S-1+(A-D_{1})(n-2)+\cdots +(N_{k}-D_{k})P_{n,k}^{*}}$

où ${\displaystyle D_{i}}$ est le nombre, constant, de cellules de dimension ${\displaystyle i}$ aboutissant à un sommet, et ${\displaystyle P_{n,i}^{*}}$ le nombre polytopique d'ordre ${\displaystyle n}$ associé aux cellules de dimension ${\displaystyle i}$, auquel on retranche le nombre de points situés sur leur frontière^[1].

Nombres simpliciaux ou hypertétraédriques

Ce sont des nombres figurés comptant des points répartis dans un simplexe, polytope généralisant le triangle et le tétraèdre. Le ${\displaystyle n}$-ième nombre ${\displaystyle k}$-simplicial ou hypertétraédrique de dimension ${\displaystyle k}$ ^[1] est le nombre de points d'un ${\displaystyle k}$-simplexe dont les arêtes comportent ${\displaystyle n}$ points. On l'obtient comme somme des nombres ${\displaystyle (k-1)}$-simpliciaux d'indices 1 à ${\displaystyle n}$,

${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ^{*}\quad S_{k}(n)=S_{k-1}(1)+S_{k-1}(2)+\cdots +S_{k-1}(n)}$.

Partant de ${\displaystyle S_{1}(n)=n={\binom {n}{1}}}$, on obtient par récurrence, grâce à la formule d'itération de Pascal, de le calculer par récurrence :

${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ^{*}\quad S_{k}(n)={\binom {n+k-1}{k}}={{n(n+1)\cdots (n+k-1)} \over {k!}}={\frac {n^{\overline {k}}}{k!}}}$

où ${\displaystyle k!}$ est la factorielle de ${\displaystyle k}$, ${\displaystyle {n \choose k}=C_{n}^{k}}$ est un coefficient binomial, et ${\displaystyle n^{\overline {k}}}$ une factorielle croissante.

Triangle de Pascal avec indication des nombres hypertétraédriques.

Les nombres ${\displaystyle k}$-simpliciaux constituent donc la ${\displaystyle (k+1)}$-ième colonne du triangle de Pascal. Par exemple, pour les dimensions de 1 à 6, ce sont :

• ${\displaystyle S_{1}(n)=n}$ (nombres linéaires)
• ${\displaystyle S_{2}(n)={\frac {n(n+1)}{2}}}$ , nombres triangulaires, suite A000217 de l'OEIS
• ${\displaystyle S_{3}(n)={\frac {n(n+1)(n+2)}{6}}}$ , nombres tétraédriques, suite A000292 de l'OEIS
• ${\displaystyle S_{4}(n)={\frac {n(n+1)(n+2)(n+3)}{24}}}$ , nombres pentatopiques, suite A000332 de l'OEIS
• ${\displaystyle S_{5}(n)={\frac {n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}{120}}}$, suite A000389 de l'OEIS
• ${\displaystyle S_{6}(n)={\frac {n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)}{720}}}$, suite A000579 de l'OEIS.

Nombres hypercubiques

Ce sont des nombres figurés comptant des points répartis dans un hypercube, polytope généralisant le carré et le cube. Le ${\displaystyle n}$-ième nombre ${\displaystyle k}$- hypertétraédrique ou hypertétraédrique de dimension ${\displaystyle k}$ est le nombre de points d'un hypercube dont les arêtes comportent ${\displaystyle n}$ points. Il est égal à la puissance parfaite ${\displaystyle C_{k}(n)=n^{k}}$.

Nombres hyperoctaédriques

Ce sont des nombres figurés comptant des points répartis dans un hyperoctaèdre, polytope généralisant le carré et l'octaèdre. Le ${\displaystyle n}$-ième nombre ${\displaystyle k}$- hyperoctaédrique ou hyperoctaédrique de dimension ${\displaystyle k}$ est le nombre de points d'un hyperoctaèdre dont les arêtes comportent ${\displaystyle n}$ points. Il est égal à ${\displaystyle O_{k}(n)=\sum _{i=0}^{k-1}{\binom {k-1}{i}}{\binom {n+i}{k}}}$^[1],[2].

Par exemple, pour les dimensions de 1 à 6, ce sont :

• ${\displaystyle O_{1}(n)=n}$ (nombres linéaires)
• ${\displaystyle O_{2}(n)={\binom {n}{2}}+{\binom {n+1}{2}}=n^{2}}$ , nombres carrés : 1, 4, 9, 16, 25, ..., suite A000290 de l'OEIS
• ${\displaystyle O_{3}(n)={\binom {n}{3}}+2{\binom {n+1}{3}}+{\binom {n+2}{3}}={n(2n^{2}+1) \over 3}}$ , nombres octaédriques : 1, 6, 19, 44, 85, ..., suite A005900 de l'OEIS
• ${\displaystyle O_{4}(n)={\binom {n}{4}}+3{\binom {n+1}{4}}+3{\binom {n+2}{4}}+{\binom {n+3}{4}}={n^{2}(n^{2}+2) \over 3}}$, nombres 4-hyperoctaédriques : 1, 8, 33, 96, 225, ..., suite A014820 de l'OEIS
• ${\displaystyle O_{5}(n)={\frac {n(2n^{4}+10n^{2}+3)}{15}}}$, nombres 5-hyperoctaédriques : 1, 10, 51, 180, 501, ..., suite A069038 de l'OEIS
• ${\displaystyle O_{6}(n)={\frac {n^{2}(2n^{4}+20n^{2}+23)}{45}}}$, nombres 6-hyperoctaédriques : 1, 12, 73, 304, 985, ..., suite A069039 de l'OEIS.

La suite double ${\displaystyle (O_{k}(n))}$ est répertoriée, avec inversion de ${\displaystyle k}$ et ${\displaystyle n}$, comme suite A142978 de l'OEIS.

Elle peut être définie par récurrence par :${\displaystyle {\begin{cases}O_{k}(1)=1,O_{1}(n)=n,&\\O_{k}(n)=O_{k}(n-1)+O_{k-1}(n-1)+O_{k-1}(n),&{\text{pour }}2\leqslant k\leqslant n\end{cases}}}$.

Ceci permet de construire facilement le triangle de ces nombres, les suites ${\displaystyle (O_{k}(n))_{n}}$ se lisant dans les diagonales descendantes :

            1
          1   2
        1   4   3
      1   6   9   4
    1   8  19   16   5
  1   10  33  44  25   6
1  12   51  96  85  36   7

Le triangle de Delannoy a la même définition, sauf que les deux bordures sont remplies de 1.

Il existe de plus une formule de symétrie : ${\displaystyle kO_{k}(n)=nO_{n}(k)}$.

Cas des cinq polytopes réguliers exotiques

En dimension trois

En dimension quatre

Pour les nombres hyperdodécaédriques ou hécatonicosachoriques, les nombres hypericosaédriques ou hexacosichoriques et les nombres hypergranatoédriques ou icositétrachoriques :

Voir aussi

• Nombre polytopique centré

Notes et références

1. (en) Elena Deza et Michel Deza, Figurate Numbers, Singapour, World Scientific Publishing, 2012, 456 p. (ISBN 978-981-4355-48-3, lire en ligne), p. 186, 194, 200
2. (en) Hyun Kwang Kim, « On Regular Polytope Numbers », PROCEEDINGS OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY, vol. 131, n^o 1,‎ 2002, p. 73 (lire en ligne)

• Arithmétique et théorie des nombres