Nombre icosaédrique

Un nombre icosaédrique est un nombre figuré polyédrique comptant des points régulièrement répartis dans un icosaèdre régulier. Le nombre icosaédrique d'ordre n, correspondant au cas où il y a n points sur chaque arête de l'icosaèdre, est donné par la formule :

Anaglyphe d'une construction de ${\displaystyle I_{3}=48}$ ; il y a 12 boules aux sommets, plus 30 boules aux milieux des arêtes, plus 6 boules supplémentaires pour le petit icosaèdre interne.

${\displaystyle I_{n}={n(5n^{2}-5n+2) \over 2}=n\left(5{\binom {n}{2}}+1\right)}$^[1],[2],[3].

Les premiers de ces nombres sont 1, 12, 48, 124, 255, 456, 742, 1128, 1629, 2260, 3036, 3972, 5083, ... ( suite A006564 de l'OEIS).

Obtention du nombre icosaédrique d'ordre n

On obtient ${\displaystyle I_{n}}$ à partir de la relation : ${\displaystyle I_{n}-I_{n-1}=(S-1)+(A-d)(n-2)+(F-d)(P_{k,n}-k(n-1))}$,

où ${\displaystyle S=12,A=30,F=20}$ sont les nombres de sommets, arêtes et faces de l'icosaèdre, ${\displaystyle \{k,d\}=\{3,5\}}$ son symbole de Schläfli : {nombre d'arêtes par face, nombre d'arêtes (et aussi de faces) par sommet} et ${\displaystyle P_{k,n}}$ le nombre k-gonal d'ordre n ^[2].

On obtient donc ${\displaystyle I_{n}-I_{n-1}=(12-1)+(30-5)(n-2)+(20-5)(n(n+1)/2-3(n-1))={\frac {15n^{2}-25n+12}{2}}}$.

D'où ${\displaystyle I_{n}={\frac {1}{2}}\left(15{\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}-25{\frac {n(n+1)}{2}}+12n\right)={n(5n^{2}-5n+2) \over 2}}$.