carré d'un nombre entier De Wikipédia, l'encyclopédie libre
En mathématiques, un carré parfait (ou nombre carré s'il est non nul, voire simplement carré s'il n'y a pas ambiguïté) est le carré d'un entier. Dans le système de numération décimal, le chiffre des unités d'un carré parfait ne peut être que 0, 1, 4, 5, 6, ou 9.
Un nombre carré est un nombre polygonal (donc entier strictement positif) qui peut être représenté géométriquement par un carré de n × n points. Les nombres carrés sont donc les carrés parfaits non nuls, le n-ième étant n2.
3. ab ≠ 0; si ab est un carré parfait et si a et b sont premiers entre eux, alors a et b sont aussi des carrés parfaits[1]. Ne pas oublier la seconde condition. Par exemple: 12×3 = 62, mais 12 et 3 ne sont pas premiers entre eux; 12 et 3 ne sont pas des carrés parfaits.
4. a ≠ 0; a(a + 1) et a(a + 2) ne sont pas des carrés parfaits.
5. a ≠ 0; a est un carré parfait si, et seulement si, le nombre de ses diviseurs est impair.
6. Un carré parfait ne peut se terminer que par 0, 1, 4, 5, 6, ou 9 dans le système décimal.
Les mathématiciens se sont souvent intéressés à certaines curiosités concernant les nombres carrés. La plus connue, notamment pour sa référence au théorème de Pythagore, est l'égalité 32 + 42 = 52, le plus petit des triplets pythagoriciens. D'après le théorème de Fermat-Wiles, démontré en 1995, il n'y a que les nombres carrés qui peuvent former une identité comme celle des triplets pythagoriciens. Par exemple, il n'y a aucune solution à l'équation a3 + b3 = c3 avec a,b, et c entiers non nuls.
7. La représentation du 1-ier nombre carré, 1, est un point. Celle du n-ième, n2, s'obtient en bordant deux côtés consécutifs du (n − 1)-ième carré de points par un «L» de 2n – 1 points, c.-à-d. en lui adjoignant le (n − 1)-ième gnomon:
1 = 12
1 + 3 = 4 = 22
4 + 5 = 9 = 32
9 + 7 = 16 = 42
1 + 3 + 5 + 7 = 42
8. 1 est à la fois le 1-ier nombre carré et le 1-ier nombre impair, et 2n – 1 est le n-ième nombre impair. Donc le n-ième nombre carré égale la somme des n plus petits nombres impairs:
Cette propriété fournit un moyen pratique pour former une table de carrés[2]. Elle est aussi utilisée comme méthode d'extraction de racine carrée, y compris avec un boulier.
Animation de deux vues d'un tétraèdre pour illustrer que la somme des n plus petits nombres impairs égale n2. (Ne pas confondre avec les nombres tétraédriques, dont les représentations comportent des points aussi à l'intérieur des tétraèdres.)La somme du 3e et du 4e nombres triangulaires égale le 4enombre carré.
9. Le n-ième nombre carré est égal à la somme du n-ième et du (n − 1)-ième nombres triangulaires:
10. La somme du n-ième et du (n − 1)-ième nombres carrés égale le n-ième nombre carré centré.
2. Si a ≠ 0 est un carré parfait, alors il existe un entier m > 0 tel que a = m2. En notant la décomposition de en produit de facteurs premiers, on déduit: donc tous les exposants dans la décomposition de a sont pairs.
Réciproquement: si tous les exposants dans la décomposition de a sont pairs, alors a est de la forme
3. Supposons que pgcd(a, b) = 1 et que ab = n2 où
Notons c = pgcd(a, n). On a:
De même, notons d = pgcd(b, n). On a:
b = d2.
4. Il suffit de remarquer que
5. Par la propriété 3, a est un carré parfait si et seulement si les exposants jp dans sa décomposition en produit de facteurs premiers sont tous pairs, ce qui équivaut à l'imparité du produit Or ce produit est le nombre de diviseurs de a.
Ce concept permet notamment de démontrer que certaines équations diophantiennes n'admettent pas de solution. Par exemple, avec k entier, l'équation n'admet pas de solution dans . En effet, les résidus quadratiques modulo 4 étant 0 et 1, un carré parfait ne peut pas posséder un reste égal à 2 dans la division euclidienne par 4.