Gnomon (géométrie)

En géométrie, un gnomon (du grec ancien γνώμων^[1]), est une figure plane formée en enlevant un parallélogramme d'un coin d'un plus grand parallélogramme. Lorsque le parallélogramme est un rectangle, le gnomon est alors une sorte d'équerre. La notion se généralise à toute figure géométrique qui doit être ajoutée à une figure donnée, pour que la nouvelle figure soit semblable à la première^[2].

Histoire

Le gnomon sert aux pythagoriciens d'équerre arithmétique. « Le gnomon est la figure coudée à angles droits qui reste quand on détache d'un carré un carré plus petit. Si l'on considère une série de points rangés en carré, et si l'on détache d'abord un point 0 en le séparant du reste par la ligne coudée AB, puis trois points par la ligne CD, puis cinq points par la ligne EF, on obtient une série de gnomons impairs qui s'entourent successivement, depuis le premier impair qui est l'unité : il est évident que l'addition de ces gnomons produit une figure qui, tout en grandissant constamment, reste toujours la même comme figure, à savoir un carré… »^[3],[4],[5]

Attention : Euclide, par la deuxième définition du livre II de ses Eléments^[6] ne parle pas de carrés mais de parallélogrammes. Limiter le gnomon à une figure "coudée à angle droit" est faux.

Utilisations

Résolution d'une équation de degré 2 à l'aide d'un gnomon.
Ce gnomon illustre l'équation x² + 2(2x) = 96 : en ajoutant un carré de côté 2, on obtient un carré de côté 10, ce qui permet de justifier l'existence de la solution positive x = 8.

La figure de droite est un exemple de gnomon, utilisé en géométrie, pour résoudre une équation du second degré^[7]. Un gnomon permet aussi d'établir des démonstrations géométriques des identités remarquables du second degré, ou encore de calculer la somme des n premiers nombres entiers ou des n premiers carrés.

Dans le cadre de l'étude des nombres figurés, le gnomon est une disposition de points dans un plan, représentant un nombre, et formant un modèle qui permet d'obtenir, par juxtaposition à la figure correspondant à un nombre figuré de la suite, la figure du nombre de rang suivant.

Notes et références

• Cet article est partiellement ou en totalité issu de l'article intitulé « Gnomon » (voir la liste des auteurs).

1. Un γνώμων / gnomon désigne chez Euclide un parallélogramme complémentaire d'un autre parallélogramme ou d'un triangle.
2. Alain Galonnier, Boèce, ou La chaîne des savoirs : actes du Colloque international de la Fondation Singer-Polignac, présidée par Edouard Bonnefous, Paris, 8-12 juin 1999, Peeters Publishers, 2003, p. 343.
3. Henri Carteron, in Aristote, Physique, t. I, Les Belles Lettres, 1966, p. 164.
4. Walter Burkert, Lore and Science in Ancient Pythagoreanism, Harvard University Press, 1972, p. 32-33.
5. André Pichot, La naissance de la science, Gallimard, coll. « Folio Essais », t. II, p. 136, 1991, 202 (le gnomon comme « équerre numérique »).
6. Les Eléments de géométrie d'EUCLIDE traduction de F.PEYRARD, LIVRE II : Dans tout parallélogramme, on appelle gnomon la réunion de l'un quelconque des parallélogrammes décrits autour de la diagonale avec les deux compléments.
7. Voir détails dans « Algèbre géométrique ».

Voir aussi

Articles connexes

• Nombre gnomonique
• gnomon

Bibliographie

• (en) Midhat J. Gazalé, Gnomon : From Pharaohs to Fractals [« Gnomon : des pharaons aux fractals »], Princeton, Princeton University Press, 1999, 259 p. (ISBN 9780691005140 et 0691005141, OCLC 40298400).
• Marcel Granet, La pensée chinoise (1934), Albin Michel, 1999.
• André Pichot, La naissance de la science (1991), Gallimard, coll. "Folio Essais", t. II.
• Michel Serres, Les origines de la géométrie, Flammarion, 1993, p. 261 sq.
• P. PEYARD, Les Eléments de géométrie d'EUCLIDE - Livre II (1804).

Liens externes

• André Ross, « Pythagore » [PDF], sur Accromath, Université de Montréal / Université du Québec à Montréal, 2010 (consulté le 22 mars 2020).

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