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généralisation de la notion de triangle ou de tétraèdre à une dimension quelconque De Wikipédia, l'encyclopédie libre
En mathématiques, et plus particulièrement en géométrie, un simplexe est une généralisation du triangle à une dimension quelconque.
En géométrie, un simplexe ou n-simplexe est l'analogue à n dimensions du triangle. Il doit son nom au fait que c'est l'objet géométrique clos le « plus simple » qui ait n dimensions. Par exemple sur une droite (1 dimension) l'objet le plus simple à 1 dimension est le segment, alors que dans le plan (2 dimensions) l'objet géométrique clos le plus simple à 2 dimensions est le triangle, et dans l'espace (3 dimensions) l'objet géométrique clos le plus simple à 3 dimensions est le tétraèdre (pyramide à base triangulaire).
Plus exactement, un simplexe est l'enveloppe convexe d'un ensemble de (n+1) points utilisé pour former un repère affine dans un espace affine de dimension n, ce qui signifie que :
Les coordonnées des sommets du simplexe (dans le repère formé de ses sommets) sont alors :
Cependant, par souci de symétrie entre les sommets, on préfère souvent plonger le simplexe dans un hyperplan affine de l'espace de dimension n+1, en attribuant à chaque sommet les n + 1 coordonnées suivantes :
Le nombre n est appelé la dimension ou le degré ou même l'ordre du n-simplexe s. Par exemple, un 0-simplexe est un point, un 1-simplexe est un segment, un 2-simplexe est un triangle, un 3-simplexe est un tétraèdre, un 4-simplexe est un pentachore (ou pentatope), etc. Comme le simplexe à 0 dimension est un singleton, on attribue parfois à l'ensemble vide la dimension –1.
Soit donc s un simplexe formé par les points a0..., an. Un point x de s s'écrit de manière unique :
où les ti sont les coordonnées barycentriques positives ou nulles de x relatives à a0..., an. On remarque la ressemblance entre cette formule et celle de l'équilibre d'un objet en physique mécanique statique : , qui dit que la somme des forces extérieures appliquées à un objet en équilibre est égale au vecteur nul. Cela vient du fait que l'objet, quel que soit l'intensité de ces n forces qui le tirent (qu'on peut se représenter comme n ressorts attachés à l'objet et aux n sommets d'un (n – 1)-simplexe), restera toujours dans ce simplexe : tout point du simplexe peut être défini par ces forces qui l'attirent plus ou moins vers tel ou tel sommet, d'où l'utilisation de la notion de barycentre. On notera de plus que, pour qu'un objet soit en équilibre, il doit nécessairement se trouver dans le simplexe formé par les points qui l'attirent.
Un simplexe régulier est un simplexe qui est aussi un polytope régulier (c'est-à-dire que toutes ses arêtes sont de même longueur, que ses faces sont de même nature géométrique, et s'organisent de la même façon dans les mêmes quantités à chaque sommet).
Le mot « simplexe » a été donné par Pieter Hendrik Schoute en 1902, mais Ludwig Schläfli avait déjà démontré l'existence des simplexes réguliers pour toute dimension n (donc des simplexes tout court) lorsqu'il a prouvé qu'il y avait toujours au moins trois polytopes réguliers pour toute dimension supérieure à 3 (à savoir le n-simplexe, ainsi que le n-hypercube et le n-hyperoctaèdre).
Les éléments d'un simplexe sont appelés n-faces, où n est leur dimension :
Les (n – 1)-faces d'un n-simplexe forment son enveloppe.
Les n-faces d'un simplexe sont elles-mêmes des simplexes de dimensions inférieures. Par exemple, un tétraèdre a des faces triangulaires.
Quand on liste les n-faces des simplexes ainsi que leur nombre, on obtient un triangle de Pascal :
Simplexe | Nombre de sommets | Nombre d'arêtes | Nombre de faces | Nombre de cellules | Nombre de 4-faces | Nombre de 5-faces | Nombre de 6-faces |
---|---|---|---|---|---|---|---|
Point | 1 | - | - | - | - | - | - |
Segment | 2 | 1 | - | - | - | - | - |
Triangle | 3 | 3 | 1 | - | - | - | - |
Tétraèdre | 4 | 6 | 4 | 1 | - | - | - |
Pentachore | 5 | 10 | 10 | 5 | 1 | - | - |
5 simplexe | 6 | 15 | 20 | 15 | 6 | 1 | - |
6 simplexe | 7 | 21 | 35 | 35 | 21 | 7 | 1 |
… |
Triangle de Pascal, dont une des caractéristiques est que la seconde colonne corresponde à chaque nombre triangulaire, la troisième à chaque nombre tétraédrique, la quatrième à chaque nombre pentatopique…
Le nombre de sommets d'un n-simplexe vaut , et le nombre de n-faces vaut toujours car il s'agit du simplexe lui-même. Le nombre d'arêtes d'un n-simplexe vaut , car il s'agit du nombre de couples de sommets différents que l'on peut réaliser.
Entre les nombres de chaque élément d'un simplexe, il y a une relation d'Euler dans laquelle, en ajoutant les éléments de dimension paire (sommets, faces, 4-faces, 6-faces…) et en retranchant les éléments de dimension impaire (arêtes, cellules, 5-faces, 7-faces…), on obtient la caractéristique d'Euler-Poincaré du simplexe, qui vaut 0 pour les simplexes de degré pair et 2 pour les simplexes de degré impair :
, où est le nombre de (n – 1)-faces (on utilise n – 1 dans la formule au lieu de n pour ne pas compter le n-simplexe lui-même et s'arrêter à ses éléments stricts).
Les n-simplexes ayant souvent plus de dimensions que les objets que nous sommes habitués à voir dans la vie courante, on utilise différents moyens de représentation pour travailler plus facilement avec. Parmi ces représentations, on utilise souvent les projections d'un n-simplexe dans un espace dimension inférieure (généralement 2 ou 3).
Il est impossible de représenter parfaitement un objet dans un espace qui a moins de dimensions que lui, donc il faut utiliser ces représentations avec prudence, certaines déforment les longueurs, les angles, voire la structure du simplexe, ou alors nous font voir des segments qui se croisent alors qu'en réalité ils ne se croisent pas.
La représentation en deux dimensions d'un n-simplexe est un graphe complet. Pour tracer le graphe d'un n-simplexe, il suffit de relier tous entre eux n + 1 points.
Quand on a affaire au graphe d'un simplexe dont on ne connaît pas le degré, il suffit de compter le nombre de segments qui sont reliés à un sommet.
Pour passer du graphe d'un n-simplexe à celui d'un (n + 1)-simplexe, on ajoute un nouveau point et on relie tous les autres à celui-ci.
Attention : le graphe n'étant qu'une projection du n-simplexe sur un plan, comme une ombre, les longueurs et les angles ne sont pas respectés : il faut s'imaginer que tous les segments sont de même longueur, et que tous les triangles qui relient 3 sommets sont équilatéraux si le simplexe est régulier. De plus, les diagonales du graphe ne se rencontrent jamais en réalité, mais passent devant ou derrière les autres.
Un graphe comme ceux-ci est aussi appelé polygone de Petrie car il est obtenu par la projection orthogonale d'un polytope sur un plan.
Le diagramme de Coxeter-Dynkin d'un n-simplexe est sous la forme :
…
, avec n ronds (appelés nœuds) dans la chaîne.
Le symbole de Schläfli d'un n-simplexe est {3,3,3,..., 3,3}, avec n – 1 fois le nombre 3.
Chaque simplexe possède un hypervolume qui correspond à son intérieur (pour le segment il s'agit de sa longueur, pour le triangle de son aire, pour le tétraèdre de son volume). Le n-volume d'un n-simplexe est le produit d'une hauteur (distance entre un sommet et le centre de la (n – 1)-face opposée) et de la base correspondante ((n – 1)-volume de cette (n – 1)-face), divisé par la dimension du simplexe.
Si l'on note Vn le n-volume du n-simplexe régulier d'arête a, on a donc :
Par récurrence, à partir de la longueur d'un segment () et de l'expression ci-dessus pour , on en déduit :
(en) James Munkres, Elements of Algebraic Topology (lire en ligne)