Hyperplan

En mathématiques et plus particulièrement en algèbre linéaire et géométrie, les hyperplans d'un espace vectoriel E de dimension quelconque sont la généralisation des plans vectoriels d'un espace de dimension 3 : ce sont les sous-espaces vectoriels de codimension 1 dans E. Si E est de dimension finie n non nulle, ses hyperplans sont donc ses sous-espaces de dimension n – 1 : par exemple l'espace nul dans une droite vectorielle, une droite vectorielle dans un plan vectoriel, etc.

Caractérisation

Soient E un espace vectoriel et H un sous-espace. Les propositions suivantes sont équivalentes^[1] :

1. H est un hyperplan de E ;
2. il existe dans E une droite vectorielle supplémentaire de H ;
3. H ≠ E et toute droite vectorielle de E engendrée par un vecteur n'appartenant pas à H est un supplémentaire de H ;
4. H est le noyau d'une forme linéaire non nulle ;
5. H est défini par une équation linéaire homogène non triviale.

Exemples

• Dans le K-espace vectoriel des matrices carrées d'ordre n à coefficients dans un corps K, l'ensemble des matrices de trace nulle est un hyperplan.
• Dans le K-espace vectoriel K[X] des polynômes à une indéterminée, l'ensemble des polynômes divisibles par X est un hyperplan, car c'est le noyau de la forme linéaire P ↦ P(0).

Représentation des sous-espaces

Pour tout entier naturel q et dans tout espace vectoriel (de dimension finie ou infinie), les sous-espaces de codimension q sont exactement les intersections de q hyperplans « indépendants ».

Hyperplans affines

Soit E un espace affine de direction V. Les sous-espaces affines de E dont la direction est un hyperplan (vectoriel) de V sont appelés les hyperplans (affines) de E.

Étant donné un hyperplan H de V, une partie F de E est donc un hyperplan de direction H si et seulement s'il existe un point A tel que${\displaystyle H=\{{\overrightarrow {AM}}\mid M\in F\}.}$ Un tel point A appartient alors nécessairement à F, et tout autre point de F vérifie la même propriété.

Références

1. Jean Dieudonné, Algèbre linéaire et Géométrie élémentaire, Hermann, 1964, p 48, adopte 2 comme définition de la notion d'hyperplan vectoriel, et démontre qu'elle équivaut à 3 et 4.

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