application entre deux espaces vectoriels sur un corps ou deux modules sur un anneau qui préserve les combinaisons linéaires De Wikipédia, l'encyclopédie libre
Soient E et F deux espaces vectoriels sur un corpsK. Une application f: E → F est dite K-linéaire[6],[7] (ou «morphisme de K-espaces vectoriels») si elle vérifie à la fois
Ces deux propriétés peuvent être vérifiées simultanément par la caractérisation suivante:
ou plus simplement:
.
De façon équivalente, une application f: E → F est linéaire si et seulement si son graphe est un sous-espace vectoriel de E × F.
L'ensemble des applications linéaires de E dans F est généralement noté L(E, F) ou LK(E; F) voire HomK(E, F)[8], avec un indice souvent omis et implicite lorsqu'il est facile à dériver du contexte.
Cas particuliers
Un isomorphisme[9] d'espaces vectoriels est un morphisme bijectif. On note Isom(E, F) l'ensemble des isomorphismes de E sur F;
Un endomorphisme est un morphisme ayant même espace vectoriel de départ et d'arrivée. On note L(E) l'ensemble L(E, E) des endomorphismes de E;
Si l'espace vectoriel d'arrivée est le corps K, on parle de forme linéaire. On note E* l'ensemble des formes linéaires sur E (appelé aussi espace dual de E).
Étant donné un espace vectoriel E sur un corps K, toute famille de scalaires (a1, … , an) ∈ Kn définit une application linéaire
de l’ensemble En des n-uplets de vecteurs vers E.
Sur l’ensemble des fonctions réellesdérivables sur un intervalle I, la dérivation constitue une application linéaire vers l’ensemble des fonctions réelles.
La composition à droitef ↦ f ∘ g définit une application linéaire, mais en général pas la composition à gauche f ↦ h ∘ f.
L’intégration de fonction, l’évaluation en un point, f ↦ f(a) et les limites éventuelles sont aussi linéaires sur l’ensemble des fonctions pour lesquelles ces opérations sont définies.
Sur l’ensemble KN des suites à valeurs dans un corps K, le décalage (un) ↦ (un+1), la limite éventuelle et la construction de la série associée sont linéaires également.
Sur l’ensemble des matrices, la multiplication à gauche et/ou à droite, la transposée et la trace sont linéaires.
Toute application induite en homologie sur un corps est linéaire sur ce corps.
Toute application linéaire préserve les combinaisons linéaires: pour toute famille finie (xi)i ∈ I de vecteurs et pour toute famille (λi)i ∈ I de scalaires (c'est-à-dire d'éléments de K),
.
Soient E et F deux espaces vectoriels (respectivement deux modules) à gauche sur le corps (resp. l'anneau) K. L'ensemble L(E, F) des applications linéaires de E dans F est un espace vectoriel (resp. un module) sur le centre de K.
Démonstration
Montrons que L(E, F) est un sous-espace vectoriel (resp. un sous-module) de l'espace vectoriel (resp. du module) des applications de E dans F sur le centre C de K. Il est non vide car contient l'application nulle. Si a et b sont deux applications linéaires, leur somme est encore linéaire. Enfin, si λ est un élément de C, l'application λa est aussi linéaire, car elle est évidemment additive et pour tout α ∈ K et tout x ∈ E,
.
La composée de deux applications linéaires est linéaire. Plus précisément:
La réciproque d’un isomorphisme est linéaire également.
Si E est un K-espace vectoriel (resp. un K-module libre), une application linéaire f ∈ L(E, F) est entièrement déterminée par l'image par f d'une base de E. Plus précisément: pour toute base B de E, toute application de B dans F se prolonge de façon unique en une application linéaire de E dans F. Tout choix d'une base B de E fournit donc une bijection [10].
Si f est une application linéaire de E dans F, alors son noyau, noté Ker(f)[11], et son image, notée Im(f)[11], sont définis par:
;
.
Ker provient de Kern[12], traduction de «noyau» en allemand. Im provient de image.
Une application linéaire est injective si et seulement si son noyau est l'espace nul (c'est une propriété générale des morphismes de groupes). Une application (linéaire ou pas) est surjective si et seulement si son image est égale à son ensemble d'arrivée tout entier.
L'ensemble Ker(f) est un sous-espace vectoriel de E, et l'ensemble Im(f) est un sous-espace vectoriel de F. Plus généralement[13],
Le théorème de factorisation affirme que f induit un isomorphisme du quotient E/Ker(f) sur l'image Im(f).
Tout ce qui précède reste valide si «espace vectoriel» est remplacé par «module», et «corps» par «anneau». Ce qui suit, en revanche, est spécifique aux espaces vectoriels sur un corps:
Si E est de dimension finie et si le corps K est commutatif, alors la dimension de L(E, F) est donnée par:
En particulier, si F est aussi de dimension finie, alors L(E, F) l'est également.
Si E et F sont des espaces vectoriels de dimension finie (resp. des modules libres de type fini) à droite sur un corps (resp. un anneau) K, une application linéaire f de E dans Fse représente par une matrice dans des bases fixées dans E et F. Cette représentation matricielle est commode pour calculer le noyau et l'image de f.
Deux espaces isomorphes ayant même dimension, il suit de l'isomorphisme ci-dessus la relation suivante (valable pour E et F de dimensions finies ou infinies), appelée théorème du rang:
.
La dimension de Im(f) est aussi appelée le rang de f et est notée rg(f).
(en) Jeff Miller, «Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics» : «The use of kernel in algebra appears to be unrelated to its use in integral equations and Fourier analysis. The OED gives the following quotation from Pontrjagin’s Topological Groups i. 11 (translated by E. Lehmer 1946) "The set of all the elements of the group G which go into the identity of the group G* under the homomorphism g is called the kernel of this homomorphism."».