Uplet

En mathématiques, un uplet ^[1] (désigné aussi par liste^[1] , famille finie, ou suite finie) est une collection ordonnée finie d'objets. Plus précisément, si n est un entier naturel, alors un n-uplet, ou n-uple, ou n-liste est une collection ordonnée de n objets, appelés « composantes » ou « éléments » ou « termes » du n-uplet.

Coordonnées XYZ. Basé sur le travail d'InductiveLoad

En programmation informatique, on trouve une notion équivalente dans certains langages, tels que Python, Rust, OCaml, Scala, Swift ou MDX. Dans les langages fonctionnels, les tuples sont réalisés comme types produits ; dans les langages impératifs, on trouve des tuples nommés, où les composantes sont repérées par un nom, sous la forme de struct (C) ou record (Pascal).

Note : l'utilisation du terme anglais tuple, suffixe de quin-tuple/sex-tuple/…, est courante dans des ouvrages de programmation informatique en français^[2].

Définitions et propriétés

• Pour n > 0, si nous notons a₁ le premier élément, a₂ le deuxième élément, …, a_n le n-ième élément, le n-uplet s'écrit : (a₁,a₂,…,a_n).
• Le 0-uplet s'écrit ${\displaystyle ()}$.
• Un n-uplet ne peut être égal à un p-uplet qu'à la condition que n et p soient égaux.
• L'égalité des n-uplets se définit par

(a₁,a₂,…,a_n) = (b₁, b₂,…,b_n) si et seulement si a₁ = b₁ et a₂ = b₂ … et a_n = b_n.

En résumé, un n-uplet dont les composantes sont dans un ensemble E est un élément du produit cartésien ${\displaystyle E^{n}}$.

• Si E est fini, l'ensemble ${\displaystyle E^{n}}$ des n-uplets dont les composantes sont dans E est fini. L'ensemble ${\displaystyle \bigcup _{n\in \mathbb {N} }E^{n}}$des uplets dont les composantes sont dans E est dénombrable.

Cas particuliers

• un 2-uplet est appelé couple (ou doublet) ;
• un 3-uplet est appelé triplet^[3] ;
• un 4-uplet est appelé quadruplet ;
• un 5-uplet est appelé quintuplet ;
• un 6-uplet est appelé sextuplet ;
• etc^[4].

Exemples

• (1, 2) ≠ (2, 1).
• (♠ , ♥) ≠ (♥, ♠).
• Si le premier élément et le deuxième sont 1, si le troisième est 5 et si le quatrième est 20, alors le quadruplet formé par ces éléments s'écrit (1, 1, 5, 20).
• Si le premier élément est ♥, le deuxième et le quatrième sont ♣ et le troisième est ♦, alors le quadruplet formé par ces éléments s'écrit : (♥, ♣, ♦, ♣).
• La n-ième puissance cartésienne Eⁿ d'un ensemble E est l'ensemble des n-uplets d'éléments de E.
• Plus généralement, le produit cartésien E₁ × … × E_n de n ensembles E₁, …, E_n est l'ensemble des n-uplets (a₁,a₂,…,a_n) où a₁ appartient à E₁, …, a_n appartient à E_n.
• De manière générale, les coordonnées sont des n-uplets. En particulier, les points de l'espace vectoriel ordinaire sont représentés par des triplets de nombres réels.
• Les nombres complexes peuvent se construire à partir de couples de nombres réels.
• Un quaternion peut être représenté par un quadruplet de nombres réels.
• En théorie des nombres, les mathématiciens s'intéressent notamment aux triplets, quadruplets, quintuplets, sextuplets, etc. de nombres premiers.
• En informatique, les objets d'un type de données enregistrement sont des n-uplets.
• Un n-uplet constitue les paramètres d'une fonction informatique ou les arguments d'une fonction mathématique à n variables.

Formalisation

D'après la définition par récurrence du produit cartésien de n ensembles, un n-uplet peut être défini à partir de la notion de couple, qui elle-même peut se définir en termes d'ensembles :

(a₁, a₂, … ,a_n) = ((… ((a₁, a₂), a₃), … , a_n–1), a_n)

(c'est-à-dire qu'un (n + 1)-uplet est un couple dont la première composante est un n-uplet). Autrement dit :

1. ∅ est un 0-uplet
2. si x = (a₁, a₂, … ,a_n) est un n-uplet, alors (x,a_n+1) est un (n+1)-uplet, et (a₁, a₂, … ,a_n, a_n+1) = (x, a_n+1).

La propriété caractéristique des n-uplets (la définition de l'égalité) se démontre immédiatement par récurrence à partir de celle des couples.

On a choisi pour définir un n+1-uplet d'ajouter un élément « à la fin » d'un n-uplet : c'est arbitraire, et il est possible de commencer par le début, c'est-à-dire de définir un n+1-uplet comme un couple dont la seconde composante est un n-uplet. Ceci conduit à une définition différente mais qui a les mêmes propriétés.

Il est enfin possible de définir un n-uplet comme une suite finie, c'est-à-dire une fonction définie sur un ensemble fini, {0, …, n – 1} ou {1, …, n}.

Notes et références

1. Alain Bouvier, Michel George, François Le Lionnais, Dictionnaire des Mathématiques, PUF, 2005, p. 509, 868
2. Par exemple dans le manuel de F. Aprahamian, A Bertrand, D. Besancenot, J.-B. Ferrari et K. Huynh, Microéconomie, Bréal, 2007 (ISBN 9782749507491) , p. 226.
3. J.-P. Escofier, Toute l'algèbre de la Licence, Dunod, 2011, 3^e éd. (lire en ligne), p. 30.
4. Liste plus complète des cas particuliers sur Wiktionary.

Articles connexes

• Liste (mathématiques)
• Suite presque nulle

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