Fonction homogène

En mathématiques, une fonction homogène est une fonction qui a un comportement d’échelle multiplicatif par rapport à son ou ses arguments : si l'argument (vectoriel au besoin) est multiplié par un scalaire, alors le résultat sera multiplié par ce scalaire porté à une certaine puissance, appelée degré.

Exemples de fonctions homogènes de degré 1 : les fonctions linéaires. Si x est multiplié par t, alors y l'est aussi.

Définitions

Soient ${\displaystyle E}$ et ${\displaystyle F}$ deux espaces vectoriels sur un même corps commutatif ${\displaystyle K}$.

Une fonction ${\displaystyle f}$ de ${\displaystyle E}$ dans ${\displaystyle F}$ est dite homogène de degré ${\displaystyle \alpha }$ si :

${\displaystyle \forall t\in K\quad \forall x\in E\qquad f\!\left(tx\right)=t^{\alpha }f\!\left(x\right)}$

Si ${\displaystyle K}$ est un sous-corps des réels, on dit que ${\displaystyle f}$ est positivement homogène de degré ${\displaystyle \alpha }$^{[note 1]} si^[2] :

${\displaystyle \forall t>0\quad \forall x\in E\qquad f\!\left(tx\right)=t^{\alpha }f\!\left(x\right)}$

Si ${\displaystyle K}$ est un sous-corps des complexes, on dit que ${\displaystyle f}$ est absolument homogène de degré ${\displaystyle \alpha }$ si :

${\displaystyle \forall t\in K\quad \forall x\in E\qquad f\!\left(tx\right)=|t|^{\alpha }f\!\left(x\right)}$

Selon le contexte, « positivement homogène » peut signifier « positivement homogène de degré ${\displaystyle \alpha }$ pour un certain ${\displaystyle \alpha }$ » ou « positivement homogène de degré 1 »^[3].

Propriétés

Continuité

Exemple de fonction homogène discontinue.

Une fonction homogène n'est pas nécessairement continue comme l'illustre l'exemple suivant (voir figure ci-contre) :

${\displaystyle f\!\left(x,y\right)={\begin{cases}x&{\text{si}}\,xy>0\\0&{\text{si}}\,xy\leq 0\end{cases}}}$

Cette fonction est homogène de degré 1, car ${\displaystyle \forall \left(t,x,y\right)\in \mathbb {R} ^{3}}$, ${\displaystyle f\!\left(tx,ty\right)=t\,f\!\left(x,y\right)}$. Mais elle n'est pas continue pour ${\displaystyle y=0}$, ${\displaystyle x\neq 0}$.

Dérivées partielles

Si ${\displaystyle f}$ est une fonction différentiable positivement homogène de degré ${\displaystyle \alpha }$, alors ses dérivées partielles sont positivement homogènes de degré ${\displaystyle \alpha -1}$^[4],[5] :

${\displaystyle f\!\left(tx\right)=t^{\alpha }f\!\left(x\right)}$ ${\displaystyle {\partial f \over \partial x_{i}}\!\left(tx\right)=t^{\alpha -1}{\partial f \over \partial x_{i}}\!\left(x\right)}$

Démonstration^[4],[5].

Soit la fonction ${\displaystyle f}$ telle que :

${\displaystyle {\begin{matrix}f:&C&\longrightarrow &\mathbb {R} \\&x&\longmapsto &f\!\left(x\right)\end{matrix}}}$

Soit la fonction ${\displaystyle u}$ telle que :

${\displaystyle {\begin{matrix}u:&\mathbb {R} ^{+,*}\times C&\longrightarrow &C\\&\left(t,x\right)&\longmapsto &u\!\left(t,x\right)=\left(u_{1},\ldots ,u_{n}\right)=tx=\left(tx_{1},\ldots ,tx_{n}\right)\end{matrix}}}$

Soit la fonction ${\displaystyle F}$ telle que :

${\displaystyle {\begin{matrix}F:&C&\longrightarrow &\mathbb {R} \\&u&\longmapsto &F\!\left(u\right)=f\!\left(tx\right)\end{matrix}}}$

On a, ${\displaystyle \forall a\in C}$ et pour toutes variables ${\displaystyle u_{i}}$ et ${\displaystyle x_{i}}$ :

${\displaystyle {\partial F \over \partial u_{i}}\!\left(a\right)={\partial f \over \partial x_{i}}\!\left(a\right)}$

Le théorème de dérivation des fonctions composées donne, quelle que soit la variable ${\displaystyle x_{i}}$, la dérivée partielle :

${\displaystyle {\partial F \over \partial x_{i}}\!\left(u\right)={\partial u_{i} \over \partial x_{i}}\!\left(t,x\right){\partial F \over \partial u_{i}}\!\left(u\right)=t{\partial F \over \partial u_{i}}\!\left(u\right)=t{\partial f \over \partial x_{i}}\!\left(tx\right)}$

Si ${\displaystyle f:C\to \mathbb {R} }$ est une fonction positivement homogène de degré ${\displaystyle \alpha }$, alors :

${\displaystyle \forall t\in \mathbb {R} ^{+,*},\,\forall x\in C,\,F\!\left(u\right)=f\!\left(tx\right)=t^{\alpha }\,f\!\left(x\right)}$

d'où, quelle que soit la variable ${\displaystyle x_{i}}$, la dérivée partielle :

${\displaystyle {\partial F \over \partial x_{i}}\!\left(u\right)=t^{\alpha }{\partial f \over \partial x_{i}}\!\left(x\right)}$

Les deux expressions de la dérivée partielle de ${\displaystyle F}$ donnent par conséquent :

${\displaystyle {\partial F \over \partial x_{i}}\!\left(u\right)=t{\partial f \over \partial x_{i}}\!\left(tx\right)=t^{\alpha }{\partial f \over \partial x_{i}}\!\left(x\right)}$

d'où, puisque ${\displaystyle t\neq 0}$ :

${\displaystyle {\partial f \over \partial x_{i}}\!\left(tx\right)=t^{\alpha -1}{\partial f \over \partial x_{i}}\!\left(x\right)}$

Exemple

Soit la fonction ${\displaystyle f}$ telle que, ${\displaystyle \forall \left(a,b,c\right)\in \mathbb {R} ^{3}}$ :

${\displaystyle {\begin{matrix}f:&\mathbb {R} ^{2}&\longrightarrow &\mathbb {R} \\&x=\left(x_{1},x_{2}\right)&\longmapsto &f\!\left(x\right)=a\,{x_{1}}^{2}+b\,{x_{2}}^{2}+c\,x_{1}x_{2}\end{matrix}}}$

Cette fonction est homogène de degré 2 puisque, ${\displaystyle \forall t\in \mathbb {R} ^{+}}$ :

${\displaystyle {\begin{aligned}f\!\left(tx\right)&=a\,\left(tx_{1}\right)^{2}+b\,\left(tx_{2}\right)^{2}+c\,\left(tx_{1}\right)\left(tx_{2}\right)\\&=t^{2}\,\left(a\,{x_{1}}^{2}+b\,{x_{2}}^{2}+c\,x_{1}x_{2}\right)\\&=t^{2}\,f\!\left(x\right)\end{aligned}}}$

On a les dérivées partielles :

${\displaystyle {\partial f \over \partial x_{1}}\!\left(x\right)=2a\,x_{1}+c\,x_{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\partial f \over \partial x_{1}}\!\left(tx\right)&=2a\,\left(tx_{1}\right)+c\,\left(tx_{2}\right)\\&=t\,\left(2a\,x_{1}+c\,x_{2}\right)\\&=t{\partial f \over \partial x_{1}}\!\left(x\right)\end{aligned}}}$

ainsi que :

${\displaystyle {\partial f \over \partial x_{2}}\!\left(x\right)=2b\,x_{2}+c\,x_{1}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\partial f \over \partial x_{2}}\!\left(tx\right)&=2b\,\left(tx_{2}\right)+c\,\left(tx_{1}\right)\\&=t\,\left(2b\,x_{2}+c\,x_{1}\right)\\&=t{\partial f \over \partial x_{2}}\!\left(x\right)\end{aligned}}}$

On vérifie donc que, ${\displaystyle f}$ étant homogène de degré 2, ses dérivées partielles sont homogènes de degré 1.

Identité d'Euler

Une fonction différentiable de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ dans ${\displaystyle \mathbb {R} }$ est positivement homogène de degré ${\displaystyle \alpha }$ si, et seulement si, elle vérifie l'identité d'Euler^[4] :

identité d'Euler : ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}{\partial f \over \partial x_{i}}\!\left(x\right)=\alpha \,f\!\left(x\right)}$

Exemple

En prolongement de l'exemple précédent, on a :

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}{\partial f \over \partial x_{1}}\!\left(x\right)+x_{2}{\partial f \over \partial x_{2}}\!\left(x\right)&=x_{1}\,\left(2a\,x_{1}+c\,x_{2}\right)+x_{2}\,\left(2b\,x_{2}+c\,x_{1}\right)\\&=2\,\left(a\,{x_{1}}^{2}+b\,{x_{2}}^{2}+c\,x_{1}x_{2}\right)\\&=2\,f\!\left(x\right)\end{aligned}}}$

L'identité d'Euler est vérifiée.

Relations entre fonctions homogènes

Si ${\displaystyle f}$ et ${\displaystyle g}$ sont deux fonctions homogènes de degré ${\displaystyle \alpha }$, alors ${\displaystyle f+g}$ est une fonction homogène de degré ${\displaystyle \alpha }$^[6].

Si ${\displaystyle f}$ est une fonction homogène de degré ${\displaystyle \alpha }$ et ${\displaystyle g}$ est une fonction homogène de degré ${\displaystyle \beta }$, alors ${\displaystyle fg}$ est une fonction homogène de degré ${\displaystyle \alpha +\beta }$ et ${\displaystyle {f \over g}}$ est une fonction homogène de degré ${\displaystyle \alpha -\beta }$^[6].

Si ${\displaystyle f}$ est une fonction homogène de degré ${\displaystyle \alpha }$ et ${\displaystyle \gamma \in R^{*}}$, alors ${\displaystyle f^{\gamma }}$ est une fonction homogène de degré ${\displaystyle \alpha \gamma }$^[6].

Exemples

En mathématiques

• L'application qui à un n-uplet de réels associe son maximum est positivement homogène de degré 1.
• Une application linéaire est homogène de degré 1.
• Un polynôme homogène est homogène de degré égal à celui de chacun de ses monômes.
• Une fonction sous-linéaire est positivement homogène de degré 1. En particulier, il en est ainsi de la jauge d'un ensemble convexe, de la fonction d'appui d'un ensemble non vide, d'une norme, etc.
• La dérivée directionnelle (au sens de Dini) ${\displaystyle h\mapsto f^{\prime }\!\left(x;h\right)}$ d'une fonction ${\displaystyle f}$ définie sur un ℝ-espace vectoriel est, lorsqu'elle existe, positivement homogène de degré 1, lorsqu'on la voit comme fonction de la direction de dérivation.
• Le déterminant d'une matrice de ${\displaystyle M_{n}\!\left(K\right)}$ est homogène de degré ${\displaystyle n}$.

En thermodynamique

En thermodynamique, une fonction ${\displaystyle X}$ est extensive si sa valeur, à pression ${\displaystyle P}$ et température ${\displaystyle T}$ constantes, est proportionnelle à la quantité de matière (ou, de façon équivalente, à la masse) du mélange considéré. Soit ${\displaystyle n_{i}}$ la quantité du constituant ${\displaystyle i}$ du mélange et ${\displaystyle \lambda }$ un nombre réel positif quelconque, par lequel on multiplie toutes les quantités ${\displaystyle n_{i}}$. La valeur finale de ${\displaystyle X}$ est égale à ${\displaystyle \lambda }$ fois sa valeur initiale :

${\displaystyle X\!\left(P,T,\lambda \,n_{1},\lambda \,n_{2},\cdots \right)=\lambda \,X\!\left(P,T,n_{1},n_{2},\cdots \right)}$

Par exemple, à pression et température données, si l'on double les quantités de tous ses constituants, le volume d'un mélange est doublé ; inversement, si l'on divise par deux ces quantités, le volume est divisé par deux. Le volume est une fonction extensive, ainsi que les capacités thermiques, les potentiels thermodynamiques, l'entropie, etc.^[7]. Une fonction thermodynamique extensive est, en termes mathématiques, une fonction homogène de degré 1 par rapport aux quantités des constituants, à pression et température données^{[7],[8],[9],[10]}.

On définit la quantité de matière totale ${\displaystyle n=\sum _{i}n_{i}}$ du mélange et la fraction molaire ${\displaystyle x_{i}=n_{i}/n}$ de tout constituant ${\displaystyle i}$. L'extensivité de la fonction ${\displaystyle X}$ donne :

${\displaystyle X\!\left(P,T,n_{1},n_{2},\cdots \right)=X\!\left(P,T,n\,x_{1},n\,x_{2},\cdots \right)=n\,X\!\left(P,T,x_{1},x_{2},\cdots \right)}$

Puisque ${\displaystyle \sum _{i}x_{i}=\left(\sum _{i}n_{i}\right)/n=1}$, la fonction ${\displaystyle {\bar {X}}=X\!\left(P,T,x_{1},x_{2},\cdots \right)}$ est la valeur de la fonction ${\displaystyle X}$ pour une quantité totale de matière égale à 1 mole : la grandeur ${\displaystyle {\bar {X}}}$ est appelée grandeur molaire. Quelle que soit la quantité ${\displaystyle n}$ (exprimée également en moles), on a ${\displaystyle X=n\,{\bar {X}}}$.

Les mêmes raisonnements peuvent être tenus en considérant les masses des constituants en place de leurs quantités ; on emploie alors les fractions massiques et l'on définit les grandeurs massiques.

En économie

En économie, une fonction de production est généralement homogène, telle la fonction de Cobb-Douglas, très utilisée^[11].