Fonction homogène

En mathématiques, une fonction homogène est une fonction qui a un comportement d’échelle multiplicatif par rapport à son ou ses arguments : si l'argument (vectoriel au besoin) est multiplié par un scalaire, alors le résultat sera multiplié par ce scalaire porté à une certaine puissance, appelée degré.

Exemples de fonctions homogènes de degré 1 : les fonctions linéaires. Si x est multiplié par t, alors y l'est aussi.

Définitions

Soient ${\displaystyle E}$ et ${\displaystyle F}$ deux espaces vectoriels sur un même corps commutatif ${\displaystyle K}$.

Une fonction ${\displaystyle f}$ de ${\displaystyle E}$ dans ${\displaystyle F}$ est dite homogène de degré ${\displaystyle \alpha }$ si :

${\displaystyle \forall t\in K\quad \forall x\in E\qquad f\!\left(tx\right)=t^{\alpha }f\!\left(x\right)}$

Si ${\displaystyle K}$ est un sous-corps des réels, on dit que ${\displaystyle f}$ est positivement homogène de degré ${\displaystyle \alpha }$^{[note 1]} si^[2] :

${\displaystyle \forall t>0\quad \forall x\in E\qquad f\!\left(tx\right)=t^{\alpha }f\!\left(x\right)}$

Si ${\displaystyle K}$ est un sous-corps des complexes, on dit que ${\displaystyle f}$ est absolument homogène de degré ${\displaystyle \alpha }$ si :

${\displaystyle \forall t\in K\quad \forall x\in E\qquad f\!\left(tx\right)=|t|^{\alpha }f\!\left(x\right)}$

Selon le contexte, « positivement homogène » peut signifier « positivement homogène de degré ${\displaystyle \alpha }$ pour un certain ${\displaystyle \alpha }$ » ou « positivement homogène de degré 1 »^[3].

Propriétés

Continuité

Exemple de fonction homogène discontinue.

Une fonction homogène n'est pas nécessairement continue comme l'illustre l'exemple suivant (voir figure ci-contre) :

${\displaystyle f\!\left(x,y\right)={\begin{cases}x&{\text{si}}\,xy>0\\0&{\text{si}}\,xy\leq 0\end{cases}}}$

Cette fonction est homogène de degré 1, car ${\displaystyle \forall \left(t,x,y\right)\in \mathbb {R} ^{3}}$, ${\displaystyle f\!\left(tx,ty\right)=t\,f\!\left(x,y\right)}$. Mais elle n'est pas continue pour ${\displaystyle y=0}$, ${\displaystyle x\neq 0}$.

Identité d'Euler

Une fonction différentiable de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ dans ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ est positivement homogène de degré ${\displaystyle \alpha }$ si, et seulement si, elle vérifie l'identité d'Euler^[4] :

identité d'Euler : ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}{\partial f \over \partial x_{i}}\!\left(x\right)=\alpha \,f\!\left(x\right)}$

Dérivées partielles

Si ${\displaystyle f}$ est une fonction différentiable positivement homogène de degré ${\displaystyle \alpha }$, alors ses dérivées partielles sont positivement homogènes de degré ${\displaystyle \alpha -1}$^[4] :

${\displaystyle {\partial f \over \partial x_{i}}\!\left(tx\right)=t^{\alpha -1}{\partial f \over \partial x_{i}}\!\left(x\right)}$

Exemples

En mathématiques

• L'application qui à un n-uplet de réels associe son maximum est positivement homogène de degré 1.
• Une application linéaire est homogène de degré 1.
• Un polynôme homogène est homogène de degré égal à celui de chacun de ses monômes.
• Une fonction sous-linéaire est positivement homogène de degré 1. En particulier, il en est ainsi de la jauge d'un ensemble convexe, de la fonction d'appui d'un ensemble non vide, d'une norme, etc.
• La dérivée directionnelle (au sens de Dini) ${\displaystyle h\mapsto f^{\prime }\!\left(x;h\right)}$ d'une fonction ${\displaystyle f}$ définie sur un ℝ-espace vectoriel est, lorsqu'elle existe, positivement homogène de degré 1, lorsqu'on la voit comme fonction de la direction de dérivation.
• Le déterminant d'une matrice de ${\displaystyle M_{n}\!\left(K\right)}$ est homogène de degré ${\displaystyle n}$.

En thermodynamique

En thermodynamique, une fonction ${\displaystyle X}$ est extensive si sa valeur, à pression ${\displaystyle P}$ et température ${\displaystyle T}$ constantes, est proportionnelle à la quantité de matière (ou, de façon équivalente, à la masse) du mélange considéré. Soit ${\displaystyle n_{i}}$ la quantité du constituant ${\displaystyle i}$ du mélange et ${\displaystyle \lambda }$ un nombre réel positif quelconque, par lequel on multiplie toutes les quantités ${\displaystyle n_{i}}$. La valeur finale de ${\displaystyle X}$ est égale à ${\displaystyle \lambda }$ fois sa valeur initiale :

${\displaystyle X\!\left(P,T,\lambda \cdot n_{1},\lambda \cdot n_{2},\cdots \right)=\lambda \cdot X\!\left(P,T,n_{1},n_{2},\cdots \right)}$

Par exemple, à pression et température données, si l'on double les quantités de tous ses constituants, le volume d'un mélange est doublé ; inversement, si l'on divise par deux ces quantités, le volume est divisé par deux. Le volume est une fonction extensive, ainsi que les capacités thermiques, les potentiels thermodynamiques, l'entropie, etc.^[5]. Une fonction thermodynamique extensive est, en termes mathématiques, une fonction homogène de degré 1 par rapport aux quantités des constituants, à pression et température données^{[5],[6],[7],[8]}.

On définit la quantité de matière totale ${\displaystyle n=\sum _{i}n_{i}}$ du mélange et la fraction molaire ${\displaystyle x_{i}=n_{i}/n}$ de tout constituant ${\displaystyle i}$. L'extensivité de la fonction ${\displaystyle X}$ donne :

${\displaystyle X\!\left(P,T,n_{1},n_{2},\cdots \right)=X\!\left(P,T,n\cdot x_{1},n\cdot x_{2},\cdots \right)=n\cdot X\!\left(P,T,x_{1},x_{2},\cdots \right)}$

Puisque ${\displaystyle \sum _{i}x_{i}=\left(\sum _{i}n_{i}\right)/n=1}$, la fonction ${\displaystyle {\bar {X}}=X\!\left(P,T,x_{1},x_{2},\cdots \right)}$ est la valeur de la fonction ${\displaystyle X}$ pour une quantité totale de matière égale à 1 mole : la grandeur ${\displaystyle {\bar {X}}}$ est appelée grandeur molaire. Quelle que soit la quantité ${\displaystyle n}$ (exprimée également en moles), on a ${\displaystyle X=n\cdot {\bar {X}}}$.

Les mêmes raisonnements peuvent être tenus en considérant les masses des constituants en place de leurs quantités ; on emploie alors les fractions massiques et l'on définit les grandeurs massiques.

En économie

En économie, une fonction de production est généralement homogène, telle la fonction de Cobb-Douglas, très utilisée^[9].