Pedaalinen kolmio

Pedaalinen kolmio (engl. pedal triangel ^[1]) on geometriassa kolmioon, annetun pisteen P avulla, muodostettu uusi kolmio. Pistettä P voidaan kutsua pedaaliseksi pisteeksi (engl. pedal triangel ^[2]) ja siinä leikkaavat kolme eri kolmion sivuja leikkaavaa normaalia. Pedaalinen kolmio syntyy, kun normaalien kantapisteet yhdistetään janoilla kolmioksi.^[3]

Pedaalinen piste (sininen) toimii normaalien (pisteviivat) leikkauspisteenä, ja normaalien kantapisteet (harmaat) ovat pedaalisen kolmion (punainen) kärkinä.

Kolmion ominaisuuksia

Mikäli pedaalinen piste sijaitsee kolmion ulkopuolella, osuvat normaalit (katkoviivat) joskus sivujen jatkeille.

Pedaalinen kolmio on kolmion sisäkolmio, kun kantapisteet sattuvat kaikki kolmion sivuille. Mikäli pedaalinen piste sijaitsee tarpeeksi kaukana kolmion ulkopuolella, osuvat normaalit (katkoviivat) sivujen jatkeille.

Seuraavissa kaavoissa pätevät seuraavat merkinnät. Alkuperäisen kolmion ${\displaystyle \scriptstyle \triangle ABC}$ sivut ovat a = BC, b = AC ja c = AB sekä pinta-ala ${\displaystyle \scriptstyle \triangle }$. Kärkien A, B ja C kulmia ovat ${\displaystyle \alpha ,\,\beta }$ ja ${\displaystyle \gamma }$. Pedaalisen kolmion ${\displaystyle \scriptstyle \triangle A'B'C'}$ sivut ovat a' = B'C', b' = A'C' ja c' = A'B'. Kolmion ${\displaystyle \scriptstyle \triangle ABC}$ ympäröivän ympyrän säde on R ja sen pedaalisen pisteen trilineaariset koordinaatit ovat P = x : y : z.

Trilineaariset koordinaatit

Kolmion ${\displaystyle \scriptstyle \triangle ABC}$ pedaalisen kolmion ${\displaystyle \scriptstyle \triangle A'B'C'}$ trilineaariset koordinaatit ovat

${\displaystyle A'=0:(y+x\cos \gamma ):(z+x\cos \beta ),}$

${\displaystyle B'=(x+y\cos \gamma ):0:(z+y\cos \alpha )}$ ja

${\displaystyle C'=(x+z\cos \beta ):(y+z\cos \alpha ):0.}$ ^[3]

Pedaalikolmion sivut

Pedaalikolmion sivun pituus

${\displaystyle a'={\frac {abc{\sqrt {y^{2}+z^{2}+2yz\cos \alpha }}}{2R|ax+by+cz|}},}$

.

${\displaystyle b'={\frac {abc{\sqrt {x^{2}+z^{2}+2xz\cos \beta }}}{2R|ax+by+cz|}}}$ ja

.

${\displaystyle c'={\frac {abc{\sqrt {x^{2}+y^{2}+2xy\cos \gamma }}}{2R|ax+by+cz|}}.}$ ^[1]

Pedaalikolmion ala

Pedaalikolmion pinta-ala on

${\displaystyle \triangle '={\frac {4(cxy+bxz+ayz)\triangle ^{3}}{abc(ax+by+cz)^{2}}}.}$ ^[1]

Pedaalisia kolmioita

Pedaalisten kolmioiden muoto riippuu sekä isäntäkolmion muodosta että normaalien leikkauspisteen P paikasta. Kolmiot voidaan kuitenkin luetteloida käyttäen leikkauspistettä indeksinä.

• Sisäympyrän sivuamispisteistä voidaan muodostaa pedaalinen kolmio (engl. contact triangle). Sisäympyrän keskipiste on kolmion kulmanpuolittajien leikkauspiste (Kimberlingin tunnus ${\displaystyle \scriptstyle X_{1}}$ ^[4]).
• Keskinen kolmio on alkuperäisen kolmion ympäröivän ympyrän keskipisteen (${\displaystyle \scriptstyle X_{3}}$ ^[4]) suhteen pedaalinen kolmio.^[5]
• Ortokolmio syntyy korkeusjanojen kantapisteistä (jotka ovat myös kulmanjakajia), kun ne leikkaavat ortokeskuksessa (Kimberlingin tunnus on ${\displaystyle \scriptstyle X_{4}}$ ^[4]) ja jatkavat osuen kohtisuoraan kolmion vastaisille sivuille.^[6]
• Kolmion Symmediaaninen piste (${\displaystyle \scriptstyle X_{6}}$ ^[4]) on määrittämänsä pedaalisen kolmion painopiste (${\displaystyle \scriptstyle X_{2}}$ ^[4]).^[1]
• Kolmion isodynaamisten pisteiden (${\displaystyle \scriptstyle X_{15}}$, ${\displaystyle \scriptstyle X_{16}}$) suhteen olevat pedaaliset kolmiot ovat tasasivuisia kolmioita.^[4]
• Pedaalinen kolmio Bevan pisteen (${\displaystyle \scriptstyle X_{40}}$ ^[4]) suhteen syntyy, kun kolmiota ulkoisesti sivuavien ympyröiden sivuamispisteet yhdistetään kolmioksi.^[7]

Pedaalikolmion rajatapaus lienee Simsonin jana, joka syntyy, kun pedaalipiste viedään kolmion ulkopuolelle. Ulkopuolinen pedaalipiste tekee pedaalikolmiosta tylppäkulmaisen ja lopulta, kun pedaalipiste osuu kolmion ympäröivälle ympyrälle, kapenee janaksi.

Katso myös

• Sisäkolmio
• Ceviaanikolmio

Lähteet

Viitteet

1. Weisstein, Eric W.: Pedal Triangle (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
2. Weisstein, Eric W.: Pedal Point (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
3. Koivulahti, Perttu: Trilineaariset koordinaatit (pdf) (tutkielma) 2012. Jyväskylä: Jyväskylän Yliopisto. Viitattu 20.4.2013.
4. Kimberling, Clark: Encyclopedia (html) Tekijän kotisivut. 2013. Evansville: Evansvillen Yliopisto. Viitattu 20.4.2013. (englanniksi)
5. Weisstein, Eric W.: Medial Triangle (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
6. Weisstein, Eric W.: Orthic Triangle (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
7. Weisstein, Eric W.: Extouch Triangle (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)